探尋高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有效性的“支點(diǎn)”

梁健

[摘? 要] 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性，最終體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有學(xué)生在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，能夠有效地建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)體系，且能夠在建筑數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)概念與規(guī)律之間的聯(lián)系，并且將這種聯(lián)系運(yùn)用到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，那么這樣的復(fù)習(xí)就是有效的. 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，要通過(guò)概括能力的培養(yǎng)，來(lái)提高復(fù)習(xí)的有效性. 將概括能力的培養(yǎng)與三輪復(fù)習(xí)結(jié)合起來(lái)，可以發(fā)現(xiàn)概括能力的培養(yǎng)與支點(diǎn)作用的發(fā)揮，具有遞進(jìn)特征. 高三復(fù)習(xí)原本追求的就是完整知識(shí)體系的建立與較強(qiáng)解題能力的形成，只有當(dāng)學(xué)生帶著概括的思路進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，這一目標(biāo)才能有效地達(dá)成.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);高三教學(xué);數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

高三復(fù)習(xí)備考是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要階段，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期，如何通過(guò)高效教學(xué)，全面提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量，是當(dāng)前需要探索和實(shí)踐的一個(gè)重要問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題也是長(zhǎng)期以來(lái)高三數(shù)學(xué)教師一直孜孜以求而探究的問(wèn)題. 不同的教師在探究的過(guò)程中，基于不同的思路而尋找到不同的方法. 在筆者的探究過(guò)程當(dāng)中，樹立的一個(gè)基本觀點(diǎn)是：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性，最終體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有學(xué)生在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，能夠有效地建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)體系，且能夠在建筑數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)概念與規(guī)律之間的聯(lián)系，并且將這種聯(lián)系運(yùn)用到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，那么這樣的復(fù)習(xí)就是有效的. 要達(dá)到這樣的目標(biāo)，很重要的一點(diǎn)就是要能夠?qū)ふ业揭粋€(gè)有效的“支點(diǎn)”.

支點(diǎn)是一個(gè)隱喻，意思是說(shuō)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，要讓學(xué)生尋找到一個(gè)能夠放大自己學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵點(diǎn). 這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)不應(yīng)當(dāng)是知識(shí)性的，而應(yīng)當(dāng)是能力性的，當(dāng)學(xué)生在復(fù)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中能夠通過(guò)某一種能力，來(lái)高效地整合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且遷移到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，那么這種能力就能夠發(fā)揮支點(diǎn)的作用. 在經(jīng)過(guò)筆者的理論梳理與實(shí)踐比較之后，筆者以為這一能力應(yīng)當(dāng)是概括能力. 也就是說(shuō)，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，要通過(guò)概括能力的培養(yǎng)，來(lái)提高復(fù)習(xí)的有效性. 下面以人教版“解三角形”知識(shí)的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的認(rèn)識(shí).

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性須關(guān)注支撐點(diǎn)

之所以在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中一方面強(qiáng)調(diào)概括能力的作用，另一方面又不直接以概括能力描述其對(duì)復(fù)習(xí)的重要性，是考慮到概括能力，作為一個(gè)相對(duì)抽象的概念，很難在日常的復(fù)習(xí)中發(fā)揮對(duì)教師乃至于學(xué)生的提醒作用. 事實(shí)上，很多情況下，高三數(shù)學(xué)教師在總結(jié)復(fù)習(xí)有效性的時(shí)候，往往都是一些程序化的結(jié)論，如有教師認(rèn)為提高一輪復(fù)習(xí)有效性四點(diǎn)建議，即學(xué)案引領(lǐng)，先學(xué)后練;引導(dǎo)思考，鼓勵(lì)質(zhì)疑;尊重差異，保持彈性;打破順序，縱橫發(fā)散. 筆者并不是說(shuō)這樣的總結(jié)沒(méi)有意義，只是強(qiáng)調(diào)：要想從學(xué)生的角度尋找到提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有效性的策略，就一定要建立起明確的支點(diǎn)認(rèn)識(shí)，這是因?yàn)閺?fù)習(xí)原本就是一個(gè)具有放大效應(yīng)的過(guò)程. 如果忽視了復(fù)習(xí)過(guò)程中的放大效應(yīng)，只是滿足于將零散的知識(shí)綜合起來(lái)，那不是真正的復(fù)習(xí)，至少不是真正的高三復(fù)習(xí). 相反，將概括能力作為支點(diǎn)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，不僅概括出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且概括出數(shù)學(xué)知識(shí)在運(yùn)用的過(guò)程中有哪些注意點(diǎn)與技巧，那就可以切實(shí)有效地引導(dǎo)學(xué)生形成問(wèn)題解決的能力.

正因?yàn)槿绱?，在高三?shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性追求中，關(guān)注概括能力這樣一個(gè)支點(diǎn)，就可以將復(fù)習(xí)的重心確定在學(xué)生身上，通過(guò)研究學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)知識(shí)之間聯(lián)系的把握，通過(guò)研究學(xué)生在問(wèn)題解決中的能力遷移，去培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，進(jìn)而提升復(fù)習(xí)的有效性.

復(fù)習(xí)過(guò)程中深化對(duì)支撐點(diǎn)意義的理解

當(dāng)然要培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中的概括能力，并且使其發(fā)揮支點(diǎn)的作用，首先要對(duì)高三復(fù)習(xí)的概況做一個(gè)準(zhǔn)確的把握. 一般認(rèn)為，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)可以分為三個(gè)輪次，隨著學(xué)情的變化，每輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)及其相應(yīng)的策略也將隨之發(fā)生改變：第一輪復(fù)習(xí)主要強(qiáng)調(diào)對(duì)考點(diǎn)知識(shí)全面覆蓋基礎(chǔ)上的學(xué)科體系構(gòu)建;第二輪復(fù)習(xí)主要是強(qiáng)化框架性問(wèn)題的梳理和專題綜合訓(xùn)練，提升學(xué)生知識(shí)遷移，學(xué)以致用的能力;第三輪復(fù)習(xí)則主要是調(diào)整狀態(tài)，反思建構(gòu)，完善應(yīng)試策略，積淀學(xué)科素養(yǎng). 將概括能力的培養(yǎng)與三輪復(fù)習(xí)結(jié)合起來(lái)，也可以發(fā)現(xiàn)概括能力的培養(yǎng)與支點(diǎn)作用的發(fā)揮，具有遞進(jìn)特征.

在“解三角形”的復(fù)習(xí)中，包括正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用三個(gè)內(nèi)容，在復(fù)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理與余弦定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，并且從日常的解題經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出解此類題目的關(guān)鍵. 三輪復(fù)習(xí)中的循序漸進(jìn)，可以從基本問(wèn)題開始，如給出一個(gè)三角形的A和B兩個(gè)角，并且給出a邊的長(zhǎng)度，讓學(xué)生去解三角形. 這是正弦定理的直接運(yùn)用（類似的也可以提供同等難度的余弦定理的運(yùn)用）;其后，結(jié)合對(duì)高考題中解三角形相關(guān)題型及分值的分析，如結(jié)合填空題、解答題（主要高考題型）來(lái)給學(xué)生提供復(fù)習(xí)的內(nèi)容，如這樣的一道題目：在三角形ABC中，已知AC的長(zhǎng)度為10■，BC的長(zhǎng)度為20，∠A=45°，求∠B的大小及三角形ABC的周長(zhǎng).

通過(guò)類似于這樣的一些難度不同的題目地提供，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中不斷地總結(jié)與概括，于是學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)，影響解三角形的基本要素有6個(gè)，也就是三角形的三條邊和三個(gè)角，進(jìn)一步則可以總結(jié)出這樣的一些關(guān)系，如某三角形ABC中，若其外接圓的半徑為R，則有■+■=■=2R……這些結(jié)論的得出，應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生總結(jié)概括的過(guò)程，也就是要讓學(xué)生自己總結(jié)得出這些結(jié)論，這不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，也能夠讓學(xué)生在解題的過(guò)程中表現(xiàn)出更好的直覺(jué)——準(zhǔn)確判斷問(wèn)題解決的方向，準(zhǔn)確尋找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所需要的數(shù)學(xué)工具.

除此之外，作為面向考試需要的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，從題型的角度進(jìn)行概括也是非常必要的. 一般來(lái)講，在解三角形的知識(shí)中對(duì)應(yīng)的高考題有這樣幾種類型：一是三角形的邊長(zhǎng)與角的計(jì)算問(wèn)題，通常都是已知三個(gè)條件，要求剩下的三個(gè)要素;二是三角形的形狀判斷問(wèn)題;三是求三角形的邊長(zhǎng)與角度范圍的問(wèn)題（包括三角形的周長(zhǎng)與面積）;四是結(jié)合實(shí)際問(wèn)題求三角形的高與角度測(cè)量相關(guān)問(wèn)題. 實(shí)際復(fù)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，在進(jìn)行了幾輪復(fù)習(xí)與考試之后，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地讓學(xué)生進(jìn)行這樣的概括，大學(xué)生具有了題型分析的高度時(shí)，往往意味著在后續(xù)的復(fù)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生會(huì)對(duì)所遇到的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行知識(shí)上的對(duì)應(yīng)與題型上的判斷，這也是一種非常重要的概括能力.

事實(shí)表明，通過(guò)以上的復(fù)習(xí)尤其是復(fù)習(xí)過(guò)程中學(xué)生概括能力的培養(yǎng)，可以超越傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)思路與結(jié)果，讓學(xué)生真正形成通過(guò)概括能力的培養(yǎng)，放大復(fù)習(xí)效應(yīng)的作用. 要知道高三復(fù)習(xí)原本追求的就是完整知識(shí)體系的建立與較強(qiáng)解題能力的形成，只有當(dāng)學(xué)生帶著概括的思路進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，這一目標(biāo)才能有效地達(dá)成.

尋找復(fù)習(xí)支撐點(diǎn)應(yīng)是師生共同的追求

從以上的分析可以看出，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師要以學(xué)生為主體，要在關(guān)注知識(shí)的同時(shí)，關(guān)注能力的養(yǎng)成. 傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)認(rèn)識(shí)當(dāng)中，強(qiáng)調(diào)只有夯實(shí)雙基，提升能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，才是高考備考的不變的主題. 筆者認(rèn)同這樣的觀點(diǎn)，同時(shí)也認(rèn)為這樣的觀點(diǎn)需要拓展與提升，說(shuō)得通俗一點(diǎn)就是既要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立，也要關(guān)注概括能力的培養(yǎng). 因?yàn)樵谥T多能力當(dāng)中，概括能力是最能夠發(fā)揮杠桿效應(yīng)的，只要學(xué)生能夠進(jìn)行高度的概括，那么無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立還是解題能力的養(yǎng)成，都能夠起到事半功倍的作用.

尤其是如同本文開始所強(qiáng)調(diào)的那樣，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生，本質(zhì)上就是關(guān)注學(xué)生的能力養(yǎng)成. 這是因?yàn)闊o(wú)論是知識(shí)的建構(gòu)與組合能力，還是解題能力的養(yǎng)成，說(shuō)到底都應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的能力. 如果在復(fù)習(xí)的過(guò)程中忽視了學(xué)生概括能力的養(yǎng)成，那么學(xué)生只可能通過(guò)模仿來(lái)獲得能力，這是一個(gè)非常低效的過(guò)程. 反之，有了概括能力的支撐，讓概括能力成為學(xué)生能力養(yǎng)成的原動(dòng)力，那就可以讓學(xué)生再遇到新的是陌生問(wèn)題的時(shí)候，較為準(zhǔn)確地把握解題方向. 這是一個(gè)非常重要的指向，因?yàn)楫?dāng)前的高考非常強(qiáng)調(diào)新概念新情境背景下對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決能力的考查，這種能力往往是模仿所無(wú)法培養(yǎng)出來(lái)的. 學(xué)生只有在概括能力足夠的情況下，才能生成新的解題認(rèn)識(shí)，從而讓學(xué)生在面對(duì)新情境、新概念、新問(wèn)題的時(shí)候，有足夠的自信（影響著學(xué)生的解題心態(tài)）和能力，去解決這些新問(wèn)題，從而驗(yàn)證高三復(fù)習(xí)的效果.

以上是筆者對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中尋找“支點(diǎn)”，并在此過(guò)程中著力培養(yǎng)學(xué)生概括能力的一點(diǎn)探索與認(rèn)識(shí)，文中若有不當(dāng)之處，還請(qǐng)高三數(shù)學(xué)同行們提出寶貴意見(jiàn).