用數學體驗奠定高中生數學抽象的基礎

范紅梅

[摘? 要] 數學學科核心素養的諸多要素，肯定不可能畢其功于一役，選擇其中的一個要素進行細致的研究，并能夠尋找到突破的途徑，也能夠讓核心素養更加順利地落地. 數學抽象是數學學科核心素養的第一要素，也是數學學科的基本特征. 學生在了解數學抽象的時候，一個重要的前提就是必須在一定的情境當中，而情境實際上是為學生提供思維素材的，思維素材要想進入學生的大腦，教師就必須拓展新的更加有效的途徑. 實踐表明，數學體驗應當是一條比較好的途徑. 高中數學要重視數學體驗，要明確數學體驗的數學抽象目標指向，這樣兩者銜接，可以保證教學的高效，也可以保證數學學科核心素養切實落地.

[關鍵詞] 高中數學;數學體驗;數學抽象

自從數學學科核心素養這一概念在核心素養概念的演繹之下被提出之后，如何培育學生的數學學科核心素養，就成為高中數學教師認真思考的問題之一. 考慮這個問題并解決這個問題，一個重要的原則就是要了解學生的基礎，了解學生對數學學習的感受. 事實上，長期以來高中數學的教與學都面臨著較大的挑戰，常聽年輕的數學教師無奈地說：“高中數學太抽象了，沒法讓學生理解透. 難教！”又常聽高中學生苦惱地說：“數學離生活太遠了，理解不了. 難學！”難教與難學形成了高中數學教學的一道難關，這個難關不破除，核心素養的培育就是一句空話. 而且需要強調的是，數學學科核心素養的諸多要素，肯定不可能畢其功于一役，選擇其中的一個要素進行細致的研究，并能夠尋找到突破的途徑，也能夠讓核心素養更加順利地落地.

數學抽象是數學學科核心素養的第一要素，也是數學學科的基本特征，長期囿于應試的高中數學教學，往往在知識的學習與應用（解題）中淡化了數學抽象的印跡，這顯然并不符合核心素養培育的需要. 彰顯數學抽象在高中數學知識學習中的價值，應當成為數學教師的重要任務. 筆者在教學反思中發現，學生在了解數學抽象的時候，一個重要的前提就是必須在一定的情境當中，而情境實際上是為學生提供思維素材的，思維素材要想進入學生的大腦，教師就必須拓展新的更加有效的途徑. 實踐表明，數學體驗應當是一條比較好的途徑. 本文就重點談談數學實驗在學生數學抽象過程中能夠發揮的基礎性作用.

高中生的數學抽象需要基礎

數學抽象一定是需要基礎的，沒有了這個基礎，數學抽象就不可能真正發生. 這個基礎包括兩個方面的內容：一是數學抽象必須具有抽象的對象，否則數學抽象就是無源之水、無本之木;二是數學抽象必須具有抽象的思維動機，只有有了數學抽象的動機，學生才有可能主動地用數學思維去抽象數學對象. 相比較而言，傳統的高中數學教學中，教師往往重視前者而忽視后者，往往只側重于給學生創設情境而提供素材，卻忽視了學生在面對這些素材的時候，如何激發學生主動地對這些素材進行抽象. 很顯然，后者更加重要！

舉一個簡單的例子，學習“柱、椎、臺、球的結構特征”，就需要學生大腦中有清晰的關于柱、椎、臺、球的表象，這個表象怎么來呢？當然是學生自己去建立，建立的過程就是一個數學抽象的過程. 在生活中，找出與柱、椎、臺、球相關的具體物體并不困難，甚至讓學生從數學角度對這些物體進行描述也不困難，而這就已經是一定程度上的數學抽象了. 但在筆者看來，這種數學抽象還屬于思維水準較低的，還是學生的一種直覺性的反映，如果高中數學教學滿足于這樣的抽象，那是無法培養學生的數學抽象素養的. 之所以這么認為，是因為學生在這樣的抽象過程中缺乏抽象的動機，思維水平不處于高階. 有效的教學設計可以是，讓學生比較柱、椎、臺、球——通過比較來發現不同“體”的不同，來發現“體”的“特征”的不同，這樣學生在比較的時候有動機，在比較的過程中會運用數學思維，于是高水準的數學抽象就發生了. 很顯然，這是一個數學體驗的過程. 從這個角度來看，高中數學尤其是其中的數學抽象有著較強的理論性，在學習上要求有較高的思維能力才能獲得有效掌握，為此高中數學教學中有必要引入體驗式教學模式，以提高教學效果.

數學體驗奠定數學抽象基礎

從上面的初步分析可以發現，在高中數學教學中，引導學生進行數學體驗，是可以為數學抽象奠定堅實的基礎的. 這本身也符合數學抽象的本義，作為數學教師都知道，教學抽象體現了人類的活動. 從數學抽象的背景、產生、內容、方法和形式等方面探討數學抽象活動的過程與結果、形式與實質之間的思辨關系是深化數學教育理論研究的需要. 為了滿足這種需要，在高中數學教學中應當盡可能地讓學生進行數學體驗，并引導學生進入數學抽象的情境，進而引導學生運用數學思維對研究對象進行抽象.

例如，在建立“點、直線、平面之間的位置關系”的時候，筆者引導學生去完成這樣的一個體驗：一是尋找能夠表示點、直線和面的實際物體. 這是學生根據數學概念尋找數學原型，本身是數學抽象的相反過程，但這個難度不大，學生容易想到，譬如用粉筆頭表示點，用筆或直尺表示線，用紙或書表示平面;二是讓學生通過三者在空間中的關系，去判斷點與線的位置、點與面的位置、線與面的位置存在哪些關系. 這是一個基于形象事物思考的數學抽象過程，學生首先要通過實物處理，判斷點與線的位置、點與面的位置、線與面的位置，這是一個比較復雜的過程，學生需要在空間中想象、模擬到兩兩之間可能的位置關系，如點與直線的直線外或直線上，線與面的平行、重合、相交，等等，其中前者可以為后者奠定思維基礎. 因為實物是有體積和大小的，“點在線上”這一認識此前學生就已經具有，在此處體驗的過程中，“點的體積與大小”就要被忽視，而忽視的過程就是抽象的過程，其后尋找線與面的位置關系的過程，更加是數學抽象的過程，因此學生此處更多的是數學抽象過程支配著空間位置關系的構建. 有的學生并不能把三種位置關系都想全面，尤其是直線與平面平行的表象很難構建出來，這個時候他們就會自發地“比劃”，這就是體驗，同時又是抽象——大腦中進行抽象，手上進行體驗（當然這里還與空間想象有一定的關系，具體不展開闡述）.

總之，在這樣的過程中，學生的體驗是充分的，思考也是充分的，思考的對象逐步由形象的實物，過渡到抽象的點、線、面，從形象物體到抽象的數學概念的演變，再到空間關系的構建，一個建立在數學體驗基礎上的數學抽象過程也就充分地呈現在面前. 特別需要指出的是，學生一旦完成了這個數學體驗，他們還會用數學抽象的結果研究生活中的新情境中的事物. 如將教室中墻角當作一個點，將兩個墻面的交界處當作線，將墻當作面，這樣就能夠更好地鞏固點、線、面位置關系的認識. 可以肯定地講，有了數學體驗做基礎，學生的數學抽象過程就是實實在在有收獲的，能夠真正培養學生的數學抽象素養.

數學抽象視角下的數學體驗

在高中數學教學中，數學體驗其實一直是數學教師所追求的學習過程，這是因為數學學習原本就是一個數學再創造的過程，學生學習數學的過程猶如數學自身發展的過程. 從這個角度而言，學習數學的過程也是伴隨著抽象的過程. 因此，在教學中，教師應引導學生感受抽象活動的必要性，體驗抽象活動的過程性，講究抽象活動的方法性，在抽象活動中培養數學抽象思想. 這闡述了數學體驗與數學抽象之間的關系，同時也給了高中數學教師一個啟發，那就是在數學抽象的視角之下思考數學體驗，并設計數學體驗的過程，就可以讓數學抽象更符合學生的發展需要，更符合學生數學學科核心素養落地的需要. 對此，筆者總結了兩點認識：一是基于數學抽象設計數學體驗，不至于讓數學體驗偏離教學的目標，很多時候數學體驗被當成了數學教學的目標，這顯然是不對的. 因為其只是促進數學知識生成的途徑，本身不能夠因為體驗過程熱鬧而喧賓奪主. 二是數學體驗明確了數學抽象的目標之后，學生的思維更加容易在體驗過程中基于數學抽象的需要而運行. 數學抽象與數學思維密切相關，數學思維的高效與否，決定了數學抽象的過程的質量，在數學體驗中數學思維可以自然發生，而數學抽象的目標則明確了學生的數學思維方向所指，學生的思維就不容易偏轉甚至是偏離，那數學教學的過程就可以保證高效.

總的來說，高中數學要重視數學體驗，要明確數學體驗的數學抽象目標指向，這樣兩者銜接，可以保證教學的高效，也可以保證數學學科核心素養切實落地. 這也提醒數學教師，研究數學知識發生的邏輯關系，這樣就能夠更好地將先進的教學理念轉化為實踐.