數學抽象的認知機制及教學反思

姚春穎

[摘? 要] 對數學抽象的認識水平決定著數學抽象教學的高度以及深度，而數學抽象的認識也就亟需要從經驗角度切換到認知角度. 之所以強調從認知角度對數學抽象進行解析，一個重要原因是因為認知心理學作為解釋學生學習過程的最佳理論之一，在我國的學科教學中一直發揮著重要的作用. 數學抽象的起始階段是知覺抽象，數學抽象的必經階段是數量抽象，數學抽象的較高水平是概念抽象. 具體可以包括這樣的幾個步驟：一是給學生提供思維素材，以促使學生完成知覺抽象;二是引導學生進行思維，以完成數量抽象;三是概念抽象過程中完成數列概念的建立.

[關鍵詞] 高中數學;數學抽象;認知機制;教學反思

數學抽象是數學學科異于其他學科的基本特征之一，作為抽象的下位概念，數學抽象的特征在于從數學的角度進行抽象，因而其保留的是與數學學科相關的元素，去除的則是與數學學科無關的元素. 從抽象結果的角度來看，數學抽象之后得出的往往都是具有模型意義的數學、規律、法則等，從這個意義上來看，數學抽象可以理解為數學建模過程中的一個重要環節，由此也可以看出數學抽象在數學知識建構過程中的重要地位. 對數學抽象的認識水平決定著數學抽象教學的高度以及深度，而數學抽象的認識也就亟須從經驗角度切換到認知的角度. 之所以強調從認知角度對數學抽象進行解析，一個重要原因是因為認知心理學作為解釋學生學習過程的最佳理論之一，在我國的學科教學中一直發揮著重要的作用，即使今天熱門的腦科學研究，某種程度上也是以認知解釋作為參考的. 同時，認知角度的數學抽象研究又是比較薄弱的，盡管國內有教學專家以及教研員等對此開展過研究，但從推廣應用的角度來看，還存在不小的空間. 在核心素養的背景之下，可以肯定這一思路是正確的，那么在具體的教學實踐過程中，教師就要認真探究，認真總結. 此思路即是有同行提出的：對抽象的高中數學知識感、悟、學，從基于感性的學習到基于理性的思考，將數學抽象如何形成的過程在課堂教學中層層展現，同時思考核心素養在一線教學實踐中如何落地. 本文就此話題談談筆者的一些理解與反思，以期與同行進行切磋，為數學學科核心素養的落地提供一份有價值的參考.

高中數學抽象的認知機制初梳理

從認知機制的角度認識數學抽象，首先需要研究數學抽象的發生過程，有研究者認為學生在數學抽象的過程中，要經歷“數學現象——心象——抽象——操作”這樣一個過程，并簡稱其為“三‘象一‘作過程”，并認為這是一種可應用于中學數學教學的“數學認知過程”. 進一步的研究則表明，這種過程源自認知心理學與教育研究，基本上體現了反映論的觀點，而強調“數學現象”的概念和觀點，對數學教育與教學具有重要意義. 筆者通過梳理發現，這個意義在認知視角下至少可以從這樣的幾個方面進行理解：

一是數學抽象的起始階段是知覺抽象. 眾所周知，數學抽象的對象是比較形象的生活實例，而學生對生活實例信息獲取的第一通道就是感覺與知覺，其中感覺是直覺性的，知覺則具有一定的思維加工特征. 比如學生在建立“數列”概念的時候，教師提供給學生的往往都是一些生活中的數列實例，如筆者讓學生思考“堆鋼管”的例子，具體可以借助于照片來打開學生的視覺通道，相應的學生的第一反應就是“越往上鋼管數量越少”，這就是感覺;其后則會認識到“每向上一層，鋼管的數量就會少一根”，這就是知覺. 正是知覺發揮了作用，所以學生認識到鋼管規程的時候，數量關系表現為n，n-1，n-2，…，于是一個數列的形象就初步建立了起來. 需要指出的是，知覺抽象中存在一類圖形抽象，這主要是面向幾何知識的學習而進行的，當學生的知覺開始加工圖形對象時，圖形便由線、角、數量特征等進行表征，相應的圖形抽象結果或表象就會形成.

二是數學抽象的必經階段是數量抽象. 一般認為，數學是研究空間關系與數量關系的學科，其中數量關系非常重要，其也是描述空間關系的重要工具，因此對數量關系把握到位了，那么數學學習就是成功的. 認知視角下的數量抽象，主要表現在從數量及數量關系的角度去對研究對象進行表征，數形結合這一重要的數學思想方法背后，其實就普遍存在著數量抽象.

三是數學抽象的較高水平是概念抽象. 這里所說的概念是廣義角度的概念，凡是凝聚了數學內涵并以精練的數學語言描述的，均可稱之為數學概念. 數學概念不僅涉及了數學抽象的過程，還涉及了抽象結果的表征，對學生的思維水平要求較高. 例如，“數列”并不只是“一列數”，而是“按照一定順序排列著的數”，顯然，對“順序”的理解才是數列概念建構的關鍵，同時也是數學抽象的關鍵.

認知指引下的高中數學抽象教學

從上述理解可以看出，認知視角下的數學抽象的最大價值在于，可以賦予學生一個更符合學習規律的數學抽象過程，學生在這樣的過程中，數學抽象意識以及數學抽象的能力都可以得到切實的培養. 從這個角度來看，對數學抽象的認識就有了兩個層次：一是數學抽象能夠簡化學生對所研究數學對象的認知，是一種拋棄數學對象一切外在物理屬性的思維過程;二是數學抽象的認知解讀能夠讓數學抽象的過程變得更加合理，學生可以在數學抽象的過程中更好地把握數學抽象的本質.

仍然以“數列”概念的教學為例，通過數學抽象得出數列的概念，對于相當一部分高中學生而言非常必要，因為數學本身比較抽象，尤其是后續的數列的通項式求解、數列求和等，都是高度抽象的產物. 因此在數列概念建立的時候，要認真設計一個能夠讓學生充分體驗數學抽象的過程，具體可以包括這樣幾個步驟：

一是給學生提供思維素材，以促使學生完成知覺抽象. 比如上面所舉的堆鋼管的例子，在生活中有很多變式，教師提供給學生的可以是一個實物圖，也可以是一個抽象圖（如圖1）. 但需要強調的是，必須以“圖”的形式來引入，也就是說必須讓學生在這個環節實現思維對圖形的加工，學生很容易實現由“圖”向“數”的轉化，于是抽象就進入下一個階段.

二是引導學生進行思維，以完成數量抽象. 數量抽象不只是完成由“圖”向“數”的轉化，還需要尋求數量之間的關系，尤其是對于數列概念的建構而言，只有發現數之間的關系，數列概念才有可能形成. 如圖1之中，得到的數是“1，3，6， 10，…”，那么這些數之間的關系是什么？這才是數量抽象這一環節的本質. 這個過程中，學生的思維很難一下子邏輯化，因為學生一下子發現不了這些數字之間的邏輯關系，因此學生的思維必然要試錯，即猜想基礎上的判斷. 如有學生認為3是1+2的結果，而6是3+3的結果，10則是6+4的結果，于是規律就若隱若現，探究也就進一步深入……隨著探究的深入，抽象的水平其實也就越來越高，數量抽象同樣也就越來越充分.

三是概念抽象過程中完成數列概念的建立. 如同上面所說的一樣，數列概念建立的關鍵是“一定順序”的理解，這個理解實際上是建立在上述數量抽象的基礎之上的，但在建立概念的時候，要進行一定程度上的變式，要讓學生對“按一定順序排列著的一列數”產生非常直觀的感覺，這是概念建立的認知基礎.

事實證明，通過上述教學設計與實施，學生對數列的認識是深刻的，所理解的數列概念，可以支撐起后續知識的學習.

基于數學抽象研究教育理論

筆者一直認為，高中數學教學作為一門具有高度重要性的基礎性學科，擔負著發展學生思維、培養學生核心素養的重要作用. 對于這門學科的教學，不能只滿足于應試，不能只從分數這一個角度去判斷自己的教學過程. 核心素養雖然與考試評價分屬學生的當前與未來兩個維度，但是數學教師就是要同時關注學生當下與未來的發展，而要做到這一點，除了日常教學中積累教學經驗之外，還需要進行必要的理論研究.

從數學抽象的背景、產生、內容、方法和形式等方面探討數學抽象活動的過程與結果、形式與實質之間的思辨關系是深化數學教育理論研究的需要. 筆者以為，作為一線數學教師，要研究的更多的理論應當是符合當下學生成長需要的（如核心素養理論），同時是對學生的學業的成績有發展、有促進作用的，如見之于常見教育期刊上的同行文章等. 認知視角下的數學抽象研究，就是筆者在這一思路下進行的初步嘗試. 實踐之后發現，雖然整個認知理論比較繁雜，但從中選擇最基本的部分，來解釋高中數學教學，還是非常恰當的，尤其是對數學學科核心素養的要素研究，都能夠帶來新的啟發. 認知視角下的數學抽象研究是筆者進行的第一個研究，后面筆者還將繼續努力.