認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)抽象理解與實(shí)踐

王堅(jiān)

[摘? 要] 面向數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，有包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的六個要素，數(shù)學(xué)抽象位居第一要素. 研究發(fā)現(xiàn)，作為闡述學(xué)生學(xué)習(xí)過程最為科學(xué)的理論之一，認(rèn)知心理學(xué)在解釋數(shù)學(xué)抽象的時候，也有著重要的作用，因此建立認(rèn)知的視角去建立對數(shù)學(xué)抽象的理解，也成為高中數(shù)學(xué)一線教師的重要選擇. 從認(rèn)知角度理解數(shù)學(xué)抽象，至少有這樣兩點(diǎn)值得注意：第一，數(shù)學(xué)抽象離不開高度概括;第二，數(shù)學(xué)抽象是在概括的基礎(chǔ)上，提取新的研究視角下需要的要素，然后在更高水平上進(jìn)行重組. 有研究表明，數(shù)學(xué)抽象的基本步驟是：分離屬性與建構(gòu)模型——概括與一般化——定義與符號化——系統(tǒng)化.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;認(rèn)知視角

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出了培養(yǎng)核心素養(yǎng)的問題，即認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn). 進(jìn)一步，面向數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，有包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的六個要素，數(shù)學(xué)抽象位居第一要素. 一般認(rèn)為，這六個要素的排序不是隨意的，數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系建立的最基本的方式，理應(yīng)受到教師的重視. 這個重視應(yīng)當(dāng)是怎樣的形態(tài)呢？這個問題引發(fā)了筆者的高度重視，筆者以為，重視既是一種態(tài)度，更是一種水平. 沒有恰當(dāng)?shù)乃剑袝r的“重視”反而會讓教學(xué)走彎路，對數(shù)學(xué)抽象的重視首先建立在對數(shù)學(xué)抽象的科學(xué)理解上，這個科學(xué)理解指的是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程，這個過程是否符合學(xué)習(xí)心理規(guī)律，是問題的關(guān)鍵所在. 筆者在研究中發(fā)現(xiàn)，作為闡述學(xué)生學(xué)習(xí)過程最為科學(xué)的理論之一，認(rèn)知心理學(xué)在解釋數(shù)學(xué)抽象的時候，也有著重要的作用，因此建立認(rèn)知的視角去建立對數(shù)學(xué)抽象的理解，也成為高中數(shù)學(xué)一線教師的重要選擇. 盡管認(rèn)知心理學(xué)對于絕大多數(shù)一線教師來說，還存在陌生的地方，但選擇其中最基本的理論去尋找對數(shù)學(xué)抽象的解釋，還是可行的. 本文試就認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)抽象理解與實(shí)踐，談?wù)劰P者的一些初步思路.

對數(shù)學(xué)抽象的理解需要建立認(rèn)知視角

通常情況下，對數(shù)學(xué)抽象的理解常常關(guān)注的是這樣幾個問題：數(shù)學(xué)抽象的對象是什么？數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是什么？如何保證一個高效的抽象過程？分析這幾個問題可以發(fā)現(xiàn)：這幾個問題都是指向數(shù)學(xué)抽象本身的，或者說這是數(shù)學(xué)角度的數(shù)學(xué)抽象. 當(dāng)然可能有人要問：除了數(shù)學(xué)角度的數(shù)學(xué)抽象，難道還有其他視角來解讀數(shù)學(xué)抽象嗎？其實(shí)這個問題很簡單，在教學(xué)的視野里，數(shù)學(xué)抽象的主體是學(xué)生，也就是說數(shù)學(xué)抽象的對象是要學(xué)生去關(guān)注的，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是學(xué)生建構(gòu)出來的，數(shù)學(xué)抽象的過程更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程. 因此以學(xué)生為主體，研究學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過程中的心理活動，才算是真正抓住了數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，而這就是數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知視角.

眾所周知，數(shù)學(xué)抽象是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素之一，數(shù)學(xué)抽象有其特定的含義和要求，數(shù)學(xué)抽象活動的內(nèi)容包括概念、法則、命題、方法及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等. 從認(rèn)知角度理解數(shù)學(xué)抽象，至少有這樣兩點(diǎn)值得注意：

第一，數(shù)學(xué)抽象離不開高度概括. 很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是一個剝離的過程，即將研究對象中的非數(shù)學(xué)因素剝離，所得就是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 其實(shí)數(shù)學(xué)抽象與高度概括密切相關(guān)，概括是學(xué)生學(xué)習(xí)中最重要的能力之一，通過概括可以將事物的特性描述出來，這實(shí)際上就是一個“數(shù)學(xué)化”的過程.

比如“函數(shù)”概念教學(xué)中，從生活中尋找存在函數(shù)關(guān)系的事例，然后進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”，即提取集合與對應(yīng)法則相關(guān)的材料，其余皆不考慮，于是就可以得到函數(shù)關(guān)系式，從而奠定函數(shù)概念形成的基礎(chǔ).

第二，數(shù)學(xué)抽象是在概括的基礎(chǔ)上，提取新的研究視角下需要的要素，然后在更高水平上進(jìn)行重組. 數(shù)學(xué)抽象一定是要追求數(shù)學(xué)化的結(jié)果的，這個結(jié)果一定是重組的結(jié)果. 從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，學(xué)生基于原有的感覺與知覺經(jīng)驗(yàn)，基于自身的數(shù)學(xué)抽象能力，將形象的研究對象與抽象的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行對應(yīng)，就可以完成數(shù)學(xué)抽象.

比如函數(shù)概念建立的時候，通常要分析自由落體等實(shí)例，然后得出“f：A→B”，最終得出“y=f（x），x∈A”. 這種數(shù)學(xué)表達(dá)其實(shí)就是用數(shù)學(xué)語言對概括出的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行重組的過程.

基于數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知理解的教學(xué)思與行

基于上述兩點(diǎn)理解，具體到數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐當(dāng)中，教師的主要任務(wù)就是在認(rèn)知理解的基礎(chǔ)之上，進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)抽象教學(xué)實(shí)踐. 通過理論學(xué)習(xí)與經(jīng)驗(yàn)梳理，考慮到抽象過程的本質(zhì)是大腦神經(jīng)細(xì)胞集群對數(shù)量和空間信息的選擇性、簡約化激活反應(yīng)，抽象活動的基本步驟為：分離屬性與建構(gòu)模型——概括與一般化——定義與符號化——系統(tǒng)化. 筆者在結(jié)合自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合這樣的步驟進(jìn)一步實(shí)踐，取得了非常豐富的收獲，舉例試述如下.

以“指數(shù)函數(shù)”為例，基于數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知視角，結(jié)合上述數(shù)學(xué)抽象的幾個步驟，具體設(shè)計(jì)如下：

第一步，分離屬性與建構(gòu)模型. 這一步當(dāng)中，分離屬性對應(yīng)著數(shù)學(xué)抽象的過程，所建構(gòu)出來的模型可以視作是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 從認(rèn)知的角度來看，這一步的關(guān)鍵在于給學(xué)生提供形象的思維材料，然后讓學(xué)生去進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象. 提供的材料一般來講必須是學(xué)生比較熟悉的. 例如，國務(wù)院發(fā)展研究中心在2000年曾經(jīng)作出判斷，認(rèn)為中國從2000年至2020年，GDP的平均增長率可以達(dá)到7.3%，提出的問題則是：在這20年里，每年的GDP是2000年的多少倍？

學(xué)生在分析這個問題的時候，會啟動自己的感覺與知覺，先基于情境的表述，建立起對情境及其當(dāng)中的邏輯關(guān)系的理解，這里的邏輯關(guān)系其實(shí)就是某一年與下一年之間GDP的（1+7.3%）的倍數(shù)關(guān)系.

第二步，概括與一般化. 在上述分析的基礎(chǔ)之上，學(xué)生首先從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行分析與概括，可以得出y=（1+7.3%）x的關(guān)系式，當(dāng)然此時要強(qiáng)調(diào)x的取值范圍，即x∈R*且x≤20. 其后教師要提供其他的例子，讓學(xué)生在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合與概括，從而將個例一般化. 從認(rèn)知心理的角度來看，一般化的過程對應(yīng)著學(xué)生的精加工過程，是數(shù)學(xué)抽象的核心階段之一.

第三步，定義與符號化. 這是在上述基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語言對一般化的結(jié)論進(jìn)行表述的過程，對于指數(shù)函數(shù)而言，要建立的是這么一個關(guān)系式：f（x）=ax. 這個解析式是在分析綜合的基礎(chǔ)上，經(jīng)由變式例子概括得出的，是上述環(huán)節(jié)中一般化的數(shù)學(xué)體現(xiàn). 對于學(xué)生而言，可以用演繹思維得出，因?yàn)閷W(xué)生在此前的函數(shù)知識學(xué)習(xí)過程中，已經(jīng)知道函數(shù)與變量之間的具體表示，因此“指數(shù)函數(shù)”必然對應(yīng)著“指數(shù)是變量”這樣的基本認(rèn)識，然后用解析式表達(dá)出來即可.

第四步，系統(tǒng)化. 系統(tǒng)化實(shí)際上是學(xué)生在得出指數(shù)函數(shù)解析式之后，將指數(shù)函數(shù)納入原有的函數(shù)認(rèn)知體系的過程，這個過程對應(yīng)著學(xué)生對原有認(rèn)知體系的擴(kuò)充與重組，如果這個過程是成功的，那么系統(tǒng)化就是成功的.

通過上述四個環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了一個豐富的指數(shù)函數(shù)建立的過程，從學(xué)生學(xué)習(xí)心理的角度來看，這個過程中無論是感覺還是知覺，無論是精加工還是記憶，效果都要優(yōu)于傳統(tǒng)的教學(xué).

在數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知理解下培育核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一個要素，其中的意義不言而喻. 在認(rèn)知視角下認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象，使得數(shù)學(xué)更具科學(xué)性. 正如有同行所概括的那樣：數(shù)學(xué)抽象位居六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，史寧中教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”. 筆者以為，對數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行認(rèn)知角度的理解，不僅有利于數(shù)學(xué)抽象本身的教學(xué)，還有助于整個核心素養(yǎng)的培育.

核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科中體現(xiàn)為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，建立了認(rèn)知視角，就可以知道數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的每一個要素，對應(yīng)著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程時，都可以獲得更加科學(xué)的理解，這顯然可以讓數(shù)學(xué)教師在積累經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從科學(xué)理論的角度獲得幫助，而當(dāng)認(rèn)知心理理論能夠幫助數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)因素落地時，整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地也就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在核心素養(yǎng)的研究進(jìn)行得如火如荼之際，高中數(shù)學(xué)教學(xué)尋找出這樣的途徑，顯然是一種非常有價值的探究.

總的來說，對于高中數(shù)學(xué)教師而言，在認(rèn)知理論的視角之下，完成數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)的積累，可以提升教師的教學(xué)水平，可以提升教師對核心素養(yǎng)的理解. 如果數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素，也能夠獲得這樣的理解，并且建立起相應(yīng)的實(shí)施步驟，那么對于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)而言，就是建立了一個可靠的基礎(chǔ). 其中值得一提的是，這樣的探究過程，對教師建立起對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)及培育途徑的理解而言，也非常有益，因?yàn)檫@本身也是一個促進(jìn)教師自身認(rèn)知發(fā)展的過程，有助于教師形成核心素養(yǎng)培育的默會知識.