一道解三角形題的解法探究和思考

李 英 (江蘇省鎮江中學 212000)

1 試題與考情分析

圖1

2 試題分析與解答

第一部分的解答如下：

解法2如圖2，過點M，N分別作CP的平行線MQ，NR交AN于點Q和點R.

圖2

圖3

解法3以CA為x軸、點C為坐標原點，建立如圖3所示的平面直角坐標系，設AB=6，則BC=4，A(6,0)，B(4 cosC，4 sinC)，M(4,0),N(2 cosC，2 sinC)．

圖4

解法4以AB為x軸、線段AB中點為坐標原點，建立如圖4所示的平面直角坐標系,設AB=30，則A(-15,0)，B(15,0),設C(x,y)．

3 復習建議

正如希爾伯特所說：“算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式.沒有一個數學家能缺少這些圖像化的公式，正如在數學演算中他們不能不使用加、脫括號的操作或其他的分析符號一樣.”本題就是這樣一道與向量結合、與直線和圓位置關系相結合的題目，幾何問題代數化，體現了數形結合的數學思想.在考查數學知識和思想方法的同時，本題還考查了向量線性表示、余弦定理、分式函數值域、二元齊次式消元的方法、幾何問題坐標化、圓上動點到圓外定點距離的最值問題等知識點.最新修訂的《普通高中數學課程標準》對平面向量與解三角形提出的要求是：會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用；借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.因此，在高三復習的過程中，不能只注重題海戰術，更要引導學生在弄清概念、公式的本質的同時，感悟知識的內在聯系，深入拓展，尋求通性通法.

學生數學核心素養水平的達成不是一蹴而就的，而是具有階段性、連續性、整合性等特點的.教師應該理解不同數學學科核心素養水平的具體要求，關注每一節課的教學目標，創設合理的教學情境，提出適合學生水平的問題，從整體上把握教學內容，加強學法指導，幫助學生養成良好的學習習慣，敢于質疑、善于思考，理解概念、把握本質，讓學生有足夠的時間去消化積累．就像本題中，考查了學生數據分析、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心思想.因此在復習過程中，教師不能只就單個單元復習整理，也需要有大格局，不能把學生當成容器，只顧節奏快、容量大；一定要注重學生的接受能力，把課堂還給學生，讓學生自主發現、探索，這樣才是真的提高學習效率，培養出“高分高能”的學生.