球文化知多少

童廣鵬 (河南省民權(quán)縣高級中學(xué) 476800)

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，“球”文化始終伴隨左右，經(jīng)歷了中西多少代數(shù)學(xué)家直觀性和萌芽性的艱辛奮斗歷程，體現(xiàn)出卓越的數(shù)學(xué)價(jià)值．我們就來領(lǐng)略一番古人的聰明才智和風(fēng)采吧！

1 埃拉托色尼顯奇妙

圖1

例1古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托色尼是世界上第一個測量地球大小的人．公元前240年左右，他住在亞歷山大城(圖1中的點(diǎn)A)．據(jù)測量，夏至正午太陽光偏離該地鉛垂方向7.2°；他又了解到，該城正南800 km處的塞尼城(圖1中的點(diǎn)B)夏至正午太陽正好懸在頭頂．由此，他算出了地球經(jīng)線的周長和半徑．請你計(jì)算一下，地球經(jīng)線的周長為km，半徑為km．(精確到1 km)

命題背景埃拉托色尼(約公元前275年-前194年)博學(xué)多才,他不僅通曉天文而且熟知地理，曾擔(dān)任過亞歷山大博物館的館長．他認(rèn)為：直立物的影子是由亞歷山大城的陽光與直立物形成的夾角所造成．從地球是圓球和陽光直線傳播這兩個前提出發(fā)，從假想的地心向塞恩城和亞歷山大城引兩條直線，其中的夾角應(yīng)等于亞歷山大城的陽光與直立物形成的夾角．按照相似三角形的比例關(guān)系，已知兩地之間的距離，便能測出地球的圓周長．埃拉托色尼測出夾角約為7°，是地球圓周角(360°)的五十分之一，由此推算地球的周長大約為4萬公里，這與實(shí)際地球周長(40 076公里)相差無幾．他還算出太陽與地球間距離為1.47億公里，和實(shí)際距離1.49億公里也驚人地相近．這充分反映了埃拉托色尼的學(xué)說和智慧．本題反映了歷史上首次嘗試用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法計(jì)算球半徑的過程，屬“球”文化的萌芽，思維關(guān)鍵在于從圓弧出發(fā)按照相似來計(jì)算．

2 阿基米德見真章

例2古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德構(gòu)造了一個“圓柱容器”的幾何體：在圓柱容器里放一個球，使該球四周碰壁，且球頂天立地與上、下底面相切，若記這個球的表面積和體積分別為S1和V1，圓柱的表面積和體積分別為S2和V2，則( )．

圖2

命題背景阿基米德于公元前287年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古．對于他自己對球體積的計(jì)算，阿基米德一直引以為豪：他考慮一個球和它的外切圓柱，以及一個輔助的圓錐，其基本做法是將這些立體分割成無數(shù)的薄片，并用力學(xué)平衡的方法比較它們的體積，最后求得球體積的正確公式.阿基米德的方法可以看成是積分學(xué)的先聲．本題使學(xué)生體會球文化是人類文化的一部分，樹立發(fā)展的數(shù)學(xué)觀，有助于學(xué)生感受追求真理、不斷探索等人文精神和理性思維．

3 張衡思想引后人

命題背景《九章算術(shù)》成書后，張衡的腦子里出現(xiàn)了一個有價(jià)值的思想，他設(shè)想了一個邊長等于球直徑的立方體，把球裝在里面，使它們相切．他想：若能求出立方體與內(nèi)切球的體積之比，球體積問題便容易解決了．這種想法是數(shù)學(xué)中比較“標(biāo)準(zhǔn)”的想法——把難解決的問題轉(zhuǎn)化為可以解決或相對容易解決的問題．遺憾的是，他的計(jì)算方法不夠科學(xué)，最后推出立方體與球的體積之比為8∶5，這比原來的誤差更大．結(jié)果雖然不夠理想，但張衡的研究方法卻給了后人有益的啟示．

4 牟合方蓋淵源長

5 祖氏二人放光芒

例5為推導(dǎo)球的體積公式，劉徽制造了一個牟合方蓋，但沒有得到牟合方蓋的體積．200年后，祖暅給出牟合方蓋的體積計(jì)算方法，其核心過程被后人稱為祖暅原理：緣冪勢既同，則積不容異．意思是，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積也相等．現(xiàn)在截取牟合方蓋的八分之一，它的外切正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，如圖3所示，根據(jù)以上信息，則該牟合方蓋的體積為( )．

圖3

命題背景在中國古代，祖沖之的兒子祖暅利用祖氏定理“冪勢既同，則積不容異”和“出入相補(bǔ)原理”的方法，在牟合方蓋的基礎(chǔ)上解決了劉徽絞盡腦汁未果的球體積問題，得出了球體積的正確公式．從中可以看出，在求解有關(guān)球的性質(zhì)的時(shí)候，我國古代科學(xué)家并沒有涉及微積分；求解球積問題的基本方法是構(gòu)造方法，利用數(shù)學(xué)建模的方式求得與原來的問題等價(jià)，借助外來的力量解決幾何問題，并且劉徽、祖暅二人在具體求解時(shí)正確計(jì)算出了球的體積．本題讓學(xué)生真正理解祖暅原理，亦感悟到古代數(shù)學(xué)家在推導(dǎo)球體積公式時(shí)所迸發(fā)出的創(chuàng)造性的思維火花和豐富的文化內(nèi)涵．