HPM視角下的“點到直線的距離”教學

任念兵 (華東師范大學第二附屬中學 201203)

盧成嫻 (華東師范大學教師教育學院 200062)

雷沛瑤 (華東師范大學數學科學學院 200241)

1 引言

在解析幾何中，用代數方法研究幾何對象、用方程表示直線后，通過方程研究兩條直線的位置關系：相交、平行和重合．對于相交直線，定量研究它們的夾角；對于平行直線，則研究它們之間的距離，兩條平行直線之間的距離可以轉化為點到直線的距離，“點到直線的距離”遂成為解析幾何研究中的經典內容．《普通高中數學課程標準(2017年版)》對該部分內容的要求是“探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離”．[1]現行各種版本教材采取了不同的方式來求直線l:ax+by+c=0外一點P(x0,y0)到l的距離．滬教版高二數學“11.4 點到直線的距離”中通過向量求點P到直線l的距離；人教A版必修二“3.3.3 點到直線的距離”中構造了以點P為直角頂點的直角三角形，利用三角形面積的不同表示方法來求P到l的距離；北師大版必修二“1.5 平面直角坐標系中的距離公式”中設計算法程序求出點P在直線l上射影(垂足)H的坐標來得到距離PH；蘇教版必修二“2.1.6 點到直線的距離”中則同時詳細展示了構造直角三角形利用面積、設計算法程序求出垂足H的坐標這兩種思路．

目前，對于“點到直線的距離”的教學研究基本都是圍繞著推導點到直線的距離公式展開的．除了主流教材中的幾種推導方法外，利用整體計算(對垂足H的坐標設而不求)、直角三角形中的三角比、二次函數最值、柯西不等式等方法[2]也被廣泛討論，對距離公式各種推導方法在計算上孰繁孰簡、邏輯上是否自然的討論[3][4]是相關教學研究的熱點話題．

點到直線距離公式的推導入口寬，思路豐富，是溝通幾何、三角、不等式、函數、向量等知識之間聯系的一座橋梁，是啟發學生創造性思維的良好問題載體．根據歷史相似性原理，鼓勵學生多角度思考“點到直線的距離”的求法，自然融入并對比數學史上的相關推導方法，可以高效地凸顯問題的數學本質，促進學生對“點到直線的距離”相關內容的深度理解．

基于對教材中“直線的方程”的單元、課程標準中的內容要求和相關教學研究的分析，筆者從HPM視角設計“點到直線的距離”教學，擬定如下教學目標：(1)掌握點到直線的距離公式；(2)會求兩條平行線之間的距離； (3)理解點到直線距離的內涵．

2 歷史材料及應用

圖1

2.1 交點法

早期解析幾何教科書多采用“交點法”，化點到直線的距離為兩點之間的距離[5]：如圖1，先求過點P且垂直于l的直線與l的交點Q(x1,y1)的坐標，再利用兩點之間距離公式得出(*)式．英國數學家Young(1830)將直線l,PQ的方程化成關于x-x0和y-y0的方程[6]，即有

Gibson等人(1919)將上述兩個方程的兩邊平方之后求和來得到PQ[7]，避免直接求x-x0和y-y0，這種設而不求的技巧進一步簡化了計算．

2.2 三角法

英國數學家Todhunter(1855)將點到直線的距離轉化為直角三角形中的邊長，用斜邊和銳角三角比來表示．[8]

圖2

2.3 面積法

圖3

圖4

2.4 向量法

圖5

2.5 最值法

交點法的主要內容是解方程組，計算繁雜.利用設而不求的方法整體處理，雖然避免了繁雜的計算，但是代數變形的思維量陡增；三角法利用“角”來刻畫“距離”，和面積法一樣都是最為自然的，但都有一定的計算量；最值法挖掘了距離的本質內涵，但無論是利用柯西不等式還是轉化為二次函數最值，都有一定的思維量或計算量；向量法則充分發揮了向量的代數和幾何雙重特性，利用向量法不但可以求出點到直線的距離，還可以得到有向距離(點相對于直線的離差)，反映出點相對于直線的具體方位．比較上述各類方法，根據學生的認知特點及教學內容，適當選取數學史材料并以恰當方式融入課堂教學．

3 教學設計與實施

3.1 提出問題

問題1若兩條直線相交，則研究兩者的夾角．若兩條直線平行，如何定量刻畫兩條直線的位置關系？

師：由于兩條直線平行時，一條直線上任意一點到另一條直線的距離即為兩條平行線之間的距離，所以我們將研究點到直線的距離．

問題2已知直線l的方程是ax+by+c=0(a,b不同時為0)，點P(x0,y0)是直線l外一點，那么點P到直線l的距離如何求呢？

圖6

師：很好，把垂線放到了特殊的直角三角形中(也可以過P作y軸的垂線)，這也是數學史上研究點到直線距離的重要方法．不過，圖6有一個缺陷，它默認了直線的傾斜角為銳角．如果傾斜角為鈍角，那就需要再考慮一次(分類討論)．

師：非常好，剛剛同學們想到三種方法求出了點到直線的距離，其實也是歷史上研究點到直線距離最常見的三種思路．最近我們才學習了向量，為什么我們要引入向量數量積的概念？

生：研究角度．

師：很好，除了研究角度，還有別的嗎？

生：研究長度．

師：很好，向量的數量積運算可以用來研究長度和角度問題．

3.2 推導公式

問題3能否用向量的數量積來推導點到直線的距離公式？(師生互動，板書推導過程)

師：在點到直線的距離公式的上述推導過程中，總結分類討論的兩種情況，還可以收獲一個“副產品”．

師：我們要“不忘初心”，研究點到直線的距離是為了求兩條平行直線之間的距離．

問題4兩條平行直線l1:ax+by+c1= 0與l2:ax+by+c2=0之間的距離是多少？

3.3 運用知識

例1求平行線l1:3x+ 4y+ 5=0與l2:6x+8y+ 9=0之間的距離．

師：由例1我們知道，要運用兩條平行直線之間的距離公式，首先要將直線方程化成統一的形式．

師：由例2解法1可以發現，點P到直線ax+by+c=0的距離，實際上是點P到該直線上動點的距離的最小值，即“點線間距離”是“兩點間距離”的最小值，這是點到直線的距離概念的內涵．解法2通過消元、配方求二次函數最值的思路，可以用來推導點到直線的距離公式，不過計算量也比較大．

3.4 課堂小結

(1)對點到直線距離概念的認識，靜態看是垂線段的長度，動態看是兩點間距離的最小值，對概念的認識決定著公式推導的思路．

(2)對點到直線距離公式的推導，代數上，求垂足坐標從而直接得到垂線段長度，也可以通過消元求二次函數的最值；幾何上，將垂線段置于某個直角三角形中，著眼于角度,利用三角比定義求直角邊，著眼于面積，利用三角形面積的兩種計算方式求斜邊上的高．

(3)利用向量方法推導點到直線距離公式，計算量較小，而且還得到重要的“副產品”——有向距離，這在線性規劃等問題中都將發揮作用．

4 學生反饋

本節課在實施前后，筆者設置了課前與課后學習單．其中課前學習單發放42份，有效回收30份；課后學習單發放42份，有效回收31份．

4.1 課前學習單分析

所有學生均能準確地表述出兩點間的距離，且都以文字表述為主，部分學生會配以幾何表示．在表述點到直線的距離時(以下簡稱“點線距離”)，學生大致有如下一些想法：

·點線距離可以看成點到垂足的距離．

·點線距離可以看作一個動點的軌跡，研究點線距離即研究定點與動點間的距離．

·點線距離即點到直線上任一點的距離的最小值，點與直線上一點連線段的最短長度．

從以上可以看出，學生對點線距離的理解還是比較到位的，這為思考推導點線距離公式的方法也奠定了基礎．

4.2 課后學習單分析

(1)學生對數學史融入數學課堂的態度.在本節課例實施后，調查學生對于數學史融入數學課堂的態度．有45%(14人)的學生非常同意教師在以后的數學課中也能融入數學史；52%(16人)的學生同意融入數學史；還有3%(1人)的學生未給予回答．可見，大多數學生對數學史融入課堂持肯定態度．

(2)學生對多元推導方法的態度.97%(30人)的學生認為有必要給出多元的推導方法，理由主要分為以下幾類：

·拓寬思路，促進知識系統化．

·可以為做題提供思路，考試光靠一種方法是不夠的．

·知道多個方法很有趣，帥！

·能夠發展思維，彌補知識盲區．

3%(1人)的學生認為既有必要又沒有必要，其中有必要的理由是這是特定的題要用的方法，多元方法可以幫助做題，沒有必要是因為一種方法足以覆蓋大部分的題目．

(3)學生對點線距離公式的掌握程度.在課后學習單中，筆者設置了求兩平行線間的距離和對點線距離內涵理解的題目，100%的學生都給予了正確的回答，說明學生對本節課的內容掌握得很好．

(4)學生對不同方法的認識.23%(7人)的學生在教師未引導前，沒有想到任何推導點線距離公式的方 法；55%(17人)的學生最先想到交點法，這與課前預設相符合；還有9%(3位)的學生想到了面積法，3%(1位)的學生想到了平行線的距離(三角比)．在問到認為最 精彩的方法時，學生對向量法和面積法最為推崇，26% (8位)的學生覺得向量法結合了幾何與代數，計算簡便，而且將向量與距離結合了起來；32%(10位)的學生選擇面積法最為精彩，理由如下：2位覺得面積法是自己先想到的，8位認為面積法來回變換得很巧妙，計算也比較簡單．

當被問到本節課的收獲時，學生覺得收獲了不同的推導方法，拓寬了思路；掌握了點線距離公式、平行線間的距離公式．令人欣喜的是，在闡述對本節課的困惑時，部分學生不滿足于歷史上的這些方法，想尋找更好的辦法，期待他們能再進一步思考，創造新的方法．

綜上所述，多數學生對歷史上的方法融入課堂持肯定態度，認為對拓展思維有幫助．所有方法中，大部分學生最先想到的方法是交點法，這與預期相符．最精彩的方法中，學生更愿意選擇巧妙且計算簡單的向量法和面積法．

5 結語

“點到直線的距離”這節內容不僅僅是得到了一個公式，公式推導的背后還蘊含了許多思想方法.因此本節課基于學生的認知基礎，選取交點法、面積法、三角法和向量法四種方法進行講解；在習題練習時，拓展了從函數的視角求點線距離的方法．采用復制式、附加式和順應式將上述方法融入課堂，使得各種方法的出現既符合歷史序和學生的心理序，也符合教科書“從向量到點線距離”的邏輯序．

從幾何、代數、向量等角度推導公式，能較好地拓寬學生的思維，展示數學的方法之美，發展學生的直觀想象和數學運算等素養，從而實現能力之助．正如學生所說，這些方法拓展了他們的思維，能促進知識的系統化．在探究公式推導的環節，教師指出學生想到的方法和歷史上的一樣，可以增強學生的自信心．通過學生的反饋，我們也驚喜地看到學生的思考并沒有因為這節課的結束而停止，多種方法激起了他們不斷追問的科學精神，彰顯了數學史的德育之效．但由于本節課的內容比較豐富，所以在課堂上直接給出了向量法，學生思考的時間較少，本該讓學生自己去探究，為他們營造探究之樂．

此外，HPM視角下的公式教學中，公式推導方法固然是重難點，但各種方法背后的人文故事和科學精神也可以適當滲透，從而更好地達到數學史德育之效的價值，這也正是后續教學中需要關注的問題．