邏輯推理 類比生成 培養學生的核心素養
——“空間的角的計算”的教學實錄與反思

張 超 (江蘇省蘇州第一中學 215006)

1 基本情況

1.1 學情分析

學生來自四星級高中高二年級普通歷史政治地理班，基礎知識較扎實，有一定的數學運算、數據分析、觀察、歸納能力，但直觀想象、數學抽象、邏輯推理、發現問題和探索問題的能力較為薄弱．在知識上，學生在高一已經學習了高中數學必修2中的立體幾何，掌握了異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的概念，能解決基本的求異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的大小問題；在思想方法上，學生能運用特殊到一般的方法，也初步掌握了類比和分類討論的思想．

1.2 教材分析

“空間的角的計算”是蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-1)》的第3章第2節內容，是空間向量的應用課，盡管知識難度不大，但蘊含豐富的數學思想．教材的安排一方面讓學生回憶空間的線線角、線面角和二面角的概念以及傳統求空間的線線角、線面角和二面角的方法，感受人類理性思維的拓展以及從新的角度認識空間的線線角、線面角和二面角，體會立體幾何引入空間向量的必要性及其優越性；另一方面，讓學生進一步理解空間向量夾角的概念，掌握利用空間向量求空間的線線角、線面角和二面角的基本方法，進一步體會向量的工具性(也為利用空間向量求空間的距離打下基礎)；再者，本節涉及的等價轉化、類比思想、數學抽象、數學建模以及邏輯推理等核心素養的發展，貫穿整個高中數學，給學生運用數學知識解決問題增添了新的工具，同時也為他們后續學習高等數學奠定了思維基礎． 本節課分成三個內容：一是空間的線線角、線面角、二面角的概念以及傳統求空間的線線角、線面角、二面角方法的簡要回顧；二是兩條異面直線的方向向量的夾角與兩條異面直線所成角的關系；三是探究直線的方向向量與平面的法向量的夾角與直線與平面所成角的關系，探究兩個平面的法向量的夾角與二面角的平面角的關系及其簡單應用．

基于以上理解，本節課的教學目標確定為：(1)探究兩條異面直線的方向向量的夾角與兩條異面直線所成角的關系，直線的方向向量與平面的法向量的夾角與直線與平面所成角的關系，兩個平面的法向量的夾角與二面角的平面角的關系，在探究過程中感受等價轉化、類比推理、特殊到一般的數學思想，感受數學抽象、數學建模的過程；(2)在情境中抽象出數學問題，運用數學抽象的思維方式思考和解決問題，把握問題的本質；培養一般性思考問題的習慣，把握問題的本質，化繁為簡；(3)初步認識數學的應用價值，崇尚數學具有的理性精神和科學態度，樹立辯證唯物主義世界觀．

教學重點 利用向量方法解決空間異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的大小問題．

教學難點 直線方向向量和平面法向量夾角，兩個平面法向量的夾角與直線和平面所成角、二面角的平面角的關系．

2 過程實錄

2.1 問題驅動，流淌著的數學思想

類比是數學的基本思想，運用類比的思想在已有的知識基礎上產生新的問題，是數學中發現問題的常見想法，于不疑之處生疑，方是進矣．

回顧 用空間向量可以研究空間的線面位置關系(課本第101頁)，那么，能否用空間向量來研究空間的角呢？(課本第106頁)

·活動1——共同探究，溫故知新

圖1

例1如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線BD和CB1所成角的大小．

問題1什么是異面直線BD和CB1所成角.例1中，如何求異面直線BD和CB1所成角的大小．

生：連接A1D,A1B，因為A1D∥CB1，所以∠BDA1就是異面直線BD和CB1所成角，故異面直線BD和CB1所成角為60°．

師：都是求BD和CB1所成角，為什么答案不一致呢？(學生討論)

設計意圖在正方體中，求兩條異面直線所成角和求兩個向量夾角角都是常見問題，然而求解后會發現新的問題，讓學生意識到兩條異面直線所成角與兩條異面直線的方向向量所成角并不完全一致，這恰恰會激發學生的學習興趣和求知欲，探求兩條異面直線所成角與兩條異面直線的方向向量所成角的關系，從而使得利用兩條異面直線的方向向量所成角計算兩條異面直線所成角的產生比較自然．

(學生活動：獨立思考，發現問題，產生求知欲)

生：通過畫圖分析，發現兩條異面直線所成角與兩條異面直線的方向向量所成角有時相等，有時互補．

師：同學們太棒了，不僅從范圍的角度發現兩條異面直線所成角與兩條異面直線的方向向量所成角并不一致，還通過圖形分析發現兩條異面直線所成角與兩條異面直線的方向向量所成角有時相等，有時互補，同學們的觀察、歸納能力很強啊．

師：利用空間向量的夾角計算公式可以計算兩條異面直線的方向向量所成角α的余弦，那么兩條異面直線所成角θ與兩條異面直線的方向向量所成角α的余弦有何關系呢？

生：設兩條異面直線的方向向量為a,b，兩條異面直線所成角為θ，那么cosθ=|cos〈a,b〉|．

師：歸納得太精彩了，一個式子概括了兩種情況．

·活動2——類比推理，認識本質

師：上訴做法實質上是用方向向量表達直線的方向，然而直線兩端是無線延伸的，由于方向向量表達直線的哪一端的不確定性，導致兩條異面直線所成角與兩條異面直線的方向向量所成角有時相等，有時互補，但可以歸納為cosθ=|cos〈a,b〉|，在上述的分析過程中，我們著重分析了異面直線所成角和空間向量的夾角的概念，并進行數學抽象，分類討論，加以概括．

問題2什么是直線與平面所成角？如何用空間向量計算直線與平面所成角．

例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長 為1，則

圖2

(1)直線B1C和平面ABCD所成角的大小為；

(2)直線CD1和平面CAA1所成角的大小為．

(學生活動：獨立思考，組內交流，代表解釋；教師活動：對學生回答點評及完善)

設計意圖通過問題1的解決，讓學生自然而然的類比推理借助直線的方向向量和平面的法向量的夾角與直線與平面所成角的關系，設直線的方向向量為a，平面的法向量為n，設直線與平面所成角為θ，從而解決問題2，分析圖形得出，直線的方向向量和平面的法向量的夾角與直線與平面所成角的關系sinθ=|cos〈a,n〉|，類比推理是數學中極其重要的思想方法，將新事物和老事物在某些方面做類似的比較，把已經獲得的知識和方法遷移到新事物中，從而解決新問題，類比不僅是一種富有創造性的方法，更能體現數學的美感．

師：同學們的觀察和歸納能力很強啊．

生：設直線的方向向量為a，平面的法向量為n，其所成角為θ，那么sinθ=|cos〈a,n〉|．

師：歸納的太精彩了，一個式子概括了兩種情況．

問題3什么是二面角的平面角？二面角的范圍是什么？如何用空間向量計算二面角的大小．

例3如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則二面角C-A1B1-B的大小為．

圖3 圖4

(1)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(2)求二面角P-CD-B的平面角的余弦值．

(學生活動：獨立思考，組內交流，代表解釋；教師活動：對學生回答點評及完善)

設計意圖通過問題1，2的解決，類比推理，借助兩個平面的法向量的夾角與二面角的平面角的關系求二面角的平面角，簡潔是數學的美，嚴謹更是數學獨特的魅力，知其然，更知其所以然，教師要讓學生感受到數學是嚴謹而清晰的，數學是形式美與簡潔美的統一．有可能部分學生歸納出cosθ=|cos〈a,n〉|，我們可以從假設θ是鈍角入手時，說明cosθ|cos〈a,n〉|的錯誤性，培養學生一般性思考問題的習慣，把握問題的本質，化繁為簡，培養學生的理性精神和科學態度．

生：老師，平面與平面所成角θ與兩個平面的法向量n1,n2所成角θ的范圍雖然一致，cosθ[0,π]，α∈[0,π]，但它們并不相等．

生：通過畫圖分析，發現θ=α或θ=π-α．

生甲：設兩個平面的法向量n1,n2，設二面角的平面角為θ，那么cosθ=|cos〈a,n〉|．

生乙：我覺得應該是|cosθ|=|cos〈a,n〉|．

師：甲、乙兩位同學歸納的結論不同，請大家分析．

生丙：我贊成同學乙的結論，因為如果θ是鈍角，同學甲的結論就不成立了．

師：同學們非常棒，在辨析正誤時，可以假設θ是鈍角，則cosθ=|cos〈a,n〉|不成立，說明正確的結論應該是|cosθ|=|cos〈a,n〉|，同學們太優秀了．

設計意圖例2的第(1)小題和例3用傳統方法很快就能解決，但例2的第(2)小題和例4用傳統方法比較困難，此時利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角，平面的法向量與平面的法向量的夾角幫助我們計算直線與平面所成角和二面角的平面角的大小，體現了利用空間向量計算空間的角的優越性和必要性(為以后利用空間向量計算空間的距離埋下伏筆)，幫助學生掌握研究數學對象的基本套路與方法，同時讓學生感受到數學知識發展的內在必然性．

2.2 知識小結，方法提煉

問題4請談談本節課你學到了哪些知識？這些知識是通過怎樣的方法得到的？知識發現或創造的過程對你有什么啟示？

生：這節課我學到了利用空間向量計算空間的角的大小(包括異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角)，實際上，我們是把空間的角轉化為直線的方向向量，平面的法向量所成的角，溫故而知新，新舊知識的對比更讓人印象深刻．

師：你能列表表達它們之間的關系嗎？

生：表格如下.

空間的角的分類角的范圍求法異面直線所成的角0,π2 cosθ=|cos|直線與平面所成的角0,π2 sinθ=|cos|二面角[0,π]|cosθ|=|cos|

師：它山之石可以攻玉，你能歸納利用空間向量方法解決空間線線、線面、面面的夾角問題的基本步驟嗎？

生：先建立空間直角坐標系，取直線的方向向量或平面的法向量，計算直線的方向向量或平面的法向量的夾角，回答題目中所求角的大小．

師：即：建系—取量—算角—下結論．

設計意圖問題驅動和類比推理能夠激發學生的學習興趣和求知欲，而課堂小結，不僅僅是知識層面的小結，也包括思想方法等方面的總結，引導學生把事實性知識上升為概念性知識，把程序性知識上升為元認知知識，不斷提升學習層次與認知水平，這恰恰有利于提升學生的“四基”“四能”，進而促進學生核心素養的提升．

2.3 作業布置，鞏固提升(略)

3 教學感悟

3.1 遵循“過程性”教學原則，培養學生的核心素養

數學教學的本質是數學思維活動過程的教學．“過程性”原則要求數學教學應顯現出數學概念和方法的形成過程、規律的探索過程、結論的推導過程及方法的思考過程等．在本節課的“創設情境，引出課題”環節，教師以例1和問題1為起點，讓學生在已有認知結構中找出兩者間的聯系和差異，激發學生的學習興趣和求知欲，進而引導學生探究問題2和問題3．并結合例2-例4讓學生感受利用空間向量計算空間的角的優越性和必要性，使學生自然而然地對利用空間向量計算空間的角有了更深刻的認知，利用空間向量計算空間的角是對傳統方法計算空間的角的有益補充，也是用代數方法解決幾何問題的又一典例.在這一教學過程中，教師有效地發展了學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算的素養．在本節課的“嘗試運用，深化理解”環節，教師引導學生探究問題2和問題3，學生通過自己觀察、解題等探究活動逐步概括、歸納出問題所涉及的初步規律，教師再通過提問的方式引導和啟發學生獲得問題所涉及的內在的、本質的規律，從而幫助學生全面、系統地理解直線的方向向量與平面的法向量的夾角與直線與平面所成角的關系，平面的法向量的夾角與二面角的平面角的關系，再結合例2～例4引導學生自我分析，獲得求空間的角的問題的基本思路．在這一教學過程中，教師有效地發展了學生的邏輯推理，數學抽象和數學運算的素養．

3.2 遵循“發展性”教學原則，培養學生的核心素養

課程標準明確指出：在現代社會中，數學教育是終生教育的重要方面，是公民進一步深造的基礎，是終生發展的需要．“發展性”原則要求數學教學要指導學生構建完整的知識體系和將數學的典型問題模式化等．在本節課的“嘗試運用，深化理解”環節，教師呈現例1和問題1，對學生通過自我探究獲得的直線方向向量的夾角與異面直線所成角的聯系與區別進行點評，幫助學生建立利用直線方向向量的夾角解決異面直線所成角的思路，并力求做到舉一反三解決問題2和問題3，利用空間向量計算直線與平面所成角，二面角的大小．在這一教學過程中，教師有效地發展了學生的邏輯推理，數學抽象的素養．在本節課的“回顧反思，提煉升華”環節，教師引導學生對本節課所學內容進行及時的復習、歸納、記憶，幫助學生歸納出利用空間向量計算空間的角的基本步驟，積極主動地構建各部分知識之間的聯系，形成一個條理化、系統化的知識體系．在這一教學過程中，教師通過讓學生自主探究，歸納推理，培養學生的理性思維和良好的學習態度，對學生核心素養的發展產生了積極的影響．

3.3 問題驅動，邏輯推理，類比生成

問題是數學的心臟，有了問題，才能激發學生的好奇心，才能開啟學生的思維大門，也正是有了問題，學生的探究活動才有了載體．數學家笛卡爾曾說：“我們解決的每一個問題都將成為一個范例，用于解決其他問題．”數學教育家波利亞也曾指出：“假如你想從解題中得到最大收獲，你就應該找出所做題目的最大特征，這些最大特征在你以后求解題目時，能起到指引的作用．”本節課從問題中來，回到問題中去．通過一個個問題的解決，激發了學生的學習興趣和求知欲；同時面對新的問題的產生，采用類比分析的方法，解決用空間向量計算直線與平面所成角和二面角的大小問題．在具體問題中，體會用空間向量計算空間的角的優越性和不足，從而在系統地解決利用空間向量計算空間的角的同時培養了學生的批判性思維．

發展學生思維是指向數學核心素養的主目標，數學思維在學生數學學習中具有重要作用，沒有數學思維，就沒有真正的數學學習．數學核心素養是數學學科育人價值的集中體現，數學育人的核心是發展學生的理性思維．章建躍教授指出，學生核心素養是一個綜合的整體，應該是各個學科為學生發展核心素養做貢獻，做自己學科特色的貢獻，比如數學學科就必須聚焦在思維上，特別是邏輯推理思維、理性思維，在培養學生的理性精神上做主要貢獻．

可以說，“思維的科學”這一數學學科特性在本節課得以充分體現，數學在培養學生思維的能力上的作用也得到了充分發揮．因此，我們教師只有具備這種“發展思維是指向核心素養的主目標”的意識，才能設計出有一定思維量的探究活動；只有準確把握學生的認知規律，才能在學生的思維“最近發展區”內提出具有挑戰性的數學問題；只有精準掌握課堂教學規律，才能在問題驅動下引發學生實質性的數學思考，從而實現讓學生既掌握知識、技能又發展思維的教學目標．這樣的數學探究過程才能成為培養學生數學核心素養的過程．