核心素養(yǎng)視角下“兩條直線的位置關(guān)系(1)”教學(xué)實錄及評析*

于 彬 王師森 (山東省東營市勝利第六中學(xué) 257000)

近日，在一次市級青年骨干教師優(yōu)質(zhì)課評選中，筆者有幸執(zhí)教魯教版“兩條直線的位置關(guān)系(1)”一課，得到了評委和聽課教師的一致好評，并獲得了一等獎的優(yōu)異成績.這節(jié)課是魯教版六年級下冊第七章第一節(jié)的第一課時，融合了人教版七年級上冊的“余角和補(bǔ)角”以及七年級下冊的“相交線”一節(jié)，課時容量非常大.于是，在研究教材和分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，筆者決定以培育學(xué)生的核心素養(yǎng)為切入點進(jìn)行設(shè)計.下面進(jìn)行簡單介紹，不當(dāng)之處，敬請指正.

1 課堂實錄及評析

1.1 創(chuàng)設(shè)情境,疑點反思

師：同學(xué)們，我們首先來觀看一段視頻(視頻內(nèi)容來源于《人民日報》客戶端，介紹的是港珠澳大橋，視頻中的很多場景都蘊(yùn)含了大量的相交線和平行線).這段視頻介紹的是每一位中華兒女引以為傲的……(教師故意留白)

生眾：港珠澳大橋.

師：下面，我們將這段視頻中的精彩瞬間定格在大屏幕上.首先，我們將第一幅圖片中寓意“三地同心”的中國結(jié)的上半部分抽象為兩條直線(如圖1)；然后，將第二幅圖片中大橋的兩側(cè)也抽象為兩條直線(如圖2)，你們發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象？

圖1 圖2

生眾：相交和平行.

師：在我們教室或校園里還有沒有這樣的現(xiàn)象存在？誰能舉個例子.

生1：黑板的左右兩側(cè).

生2：操場上的跑道.

師：這兩位同學(xué)說得非常好！這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的“7.1兩條直線的位置關(guān)系(1)”(出示課題和學(xué)習(xí)目標(biāo)).

師：下面，我們再來觀察這兩幅圖片中的直線，它們有什么不同呢？

生3：第一幅圖片的直線有公共點，第二幅圖片中的直線沒有公共點.

師：那第一幅圖片中的直線有幾個公共點呢？沒有公共點還可以怎么說？哪位同學(xué)可以給相交線和平行線下個定義呢？

生4：只有一個公共點的兩條直線，叫相交線；不相交的兩條直線，叫平行線.

師：對于平行線的定義，哪位同學(xué)還有要補(bǔ)充的？(此時教師以教室中的實物舉一個例子)

生5：應(yīng)該加一個前提條件：在同一個平面內(nèi).

評析以視頻的形式引入新課，很好地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察的同時，進(jìn)行一次又一次的追問，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)密性.比如，當(dāng)學(xué)生回答問題不嚴(yán)密時，教師不是直接更正，而是以舉反例的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行再次思考，進(jìn)而給出正確的定義，這是一種很好的做法.

1.2 嘗試解疑，問題反思

師：本節(jié)課我們將重點研究兩條直線相交的情況.下面，請同學(xué)們拿起三角板和筆，與老師一塊將第一幅圖片中的這一部分抽象為簡單的幾何圖形.

圖3

首先，畫直線AB，再畫直線CD，設(shè)它們的交點為O，為了本節(jié)課的研究方便，我們將兩條直線相交形成的四個夾角分別記為∠1，∠2，∠3和∠4(如圖3).

下面，我們結(jié)合這個圖形來思考第一個問題：∠1和∠2的頂點和兩邊有什么位置關(guān)系？

生6：有公共的頂點，兩邊互為反向延長線.

師：嗯.直線AB與CD相交于點O，我們把有公共的頂點、兩邊互為反向延長線的兩個角，稱為對頂角.這個圖形中還有對頂角嗎？

生：(眾答)∠3和∠4.

師：下面，我們通過一個小題來鞏固一下對對頂角概念的認(rèn)識(出示牛刀小試1，在學(xué)生回答后，追問學(xué)生“為什么？”，加深學(xué)生對定義的認(rèn)識).

牛刀小試1：下列各圖中(如圖4)，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？

圖4

師：∠1和∠2有這么好的位置關(guān)系，那么它們在數(shù)量上有什么關(guān)系呢？請同學(xué)們先獨(dú)立思考第二個問題：∠1和∠2有什么數(shù)量關(guān)系？如果將直線AB繞點O轉(zhuǎn)動，上述關(guān)系還成立嗎？∠3和∠4呢？

生7：相等.

師：你是怎么得到的呢？

生7：用量角器量的，我用量角器測量的這兩個角的度數(shù)都是72°.

師：其他同學(xué)呢？

生8：我量的兩個角都是120°.

師：嗯，雖然這兩位同學(xué)測量的度數(shù)不一樣，但他們測量的兩個角是相等的.其他同學(xué)呢？

生：(眾答)我們測量的也都是相等的.

師：下面看一下老師測量的是多少呢？(出示幾何畫板課件，如圖5)

圖5 圖6

師：這樣我們就初步得到了一個猜想：對頂角相等.接下來，我們通過幾何畫板軟件來進(jìn)一步驗證我們的這個猜想.(出示幾何畫板軟件，轉(zhuǎn)動直線AB，引導(dǎo)學(xué)生觀察∠1和∠2、∠3和∠4它們的度數(shù)在改變，但是它們之間等量關(guān)系沒有變，如圖6)

這樣只能說明我們這個猜想在特殊情況下是成立的，那么在一般情況下成立嗎？為什么呢？下面請同學(xué)們以小組為單位展開討論，一會兒請一位同學(xué)到黑板上給我們講解.

生9：∠AOB和∠COD都是平角，即∠1 + ∠3=∠2+∠3，從而∠1=∠2.

師：依據(jù)是什么呢？

生9：平角的定義和等式的性質(zhì).

師：非常好！這樣我們就得到了對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

師：那么∠1和∠3有什么數(shù)量關(guān)系呢？還有其他角有這樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

生10：和為180°.∠2和∠3、∠3和∠4、∠1和∠4也有這樣的數(shù)量關(guān)系.

師：如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角(簡稱互補(bǔ)).下面來看一下這個概念中的關(guān)鍵詞：第一個詞是“兩個”，也就是說互補(bǔ)是兩個角之間的關(guān)系；第二個詞是“互為”，這個詞在哪里見過？

生：(眾答)互為倒數(shù)和互為相反數(shù).

生11：∠1的補(bǔ)角是∠3，∠3的補(bǔ)角是∠1，∠1和∠3互為補(bǔ)角.

師：這個圖形中，∠1的補(bǔ)角有幾個？

生12：兩個，∠3和∠4.

師：嗯，這兩位同學(xué)說得非常棒！類似地，如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角(簡稱互余).下面通過一個小題鞏固一下對這個概念的認(rèn)識(出示牛刀小試2).

牛刀小試2：下列各圖中(如圖7)，∠1和∠2互為余角嗎？為什么？

(學(xué)生回答，教師追問為什么)

圖7

師：通過這里可以看出，互余和互補(bǔ)只與兩個角的數(shù)量關(guān)系有關(guān)，而對頂角則是位置關(guān)系決定了數(shù)量關(guān)系，希望同學(xué)們可以用心體會.

評析此環(huán)節(jié)涉及的內(nèi)容較多，主要有對頂角的定義和性質(zhì)，以及互余和互補(bǔ)的定義.教師教學(xué)中層次清晰，比如，在探究對頂角的性質(zhì)過程中，引導(dǎo)學(xué)生主要經(jīng)歷了“量一量、猜一猜、驗一驗、證一證”等四個主要環(huán)節(jié)，當(dāng)然鑒于學(xué)生的認(rèn)知特點，教學(xué)中并沒有明確指出，而是在課堂總結(jié)中的微課中呈現(xiàn)，是一次有益的嘗試；同時，問題指向明確，從“對頂角的位置關(guān)系到對頂角的數(shù)量關(guān)系，再到補(bǔ)角(余角)的數(shù)量關(guān)系”，梯度設(shè)計合理，特別是通過牛刀小試2的第2個圖形引導(dǎo)學(xué)生對對頂角和互補(bǔ)(互余)的認(rèn)識進(jìn)行了一次升華，值得其他一線教師借鑒.

1.3 問題解決，達(dá)成反思

圖8

師：下面我們再用類似的方法來看一個現(xiàn)實生活中的實際問題(PPT呈現(xiàn)圖8，同時向?qū)W生介紹“臺球王子”丁俊暉為取得優(yōu)異成績而刻苦訓(xùn)練的故事).什么情況下，用白球去擊打紅球，可以保證紅球落入袋內(nèi)呢(PPT呈現(xiàn)白球擊打紅球，紅球落入袋內(nèi)的動態(tài)過程)？

生13：∠1=∠2時.

師：看來這位同學(xué)打過臺球，說得非常準(zhǔn)確，在理想情況下，當(dāng)∠1等于∠2時，用白球去擊打紅球，紅球正好落入袋內(nèi).下面我們將其抽象為一個簡單的幾何圖形(如圖9)，請同學(xué)們結(jié)合這個圖形和條件，先獨(dú)立思考下面的問題：有哪些角互為余角？∠3和∠4有什么關(guān)系？為什么？

圖9

生14：∠1和∠3互余，∠2和∠4互余.

師：那∠3和∠4有什么關(guān)系呢？你是如何得到的？

生14：相等.∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.

師：我們可以得出什么結(jié)論呢？

生眾：等角的余角相等.

師：那還有互余的角嗎？

生15：∠2和∠3互余，∠1和∠4互余.

師：由∠2和∠4互余、∠2和∠3互余，我們還可以得出什么結(jié)論呢？

生16：等角的余角相等.

師：非常棒！這樣我們就得到了余角的性質(zhì)：等角或同角的余角相等(此時在師生互動和生生互動中，PPT漸次呈現(xiàn)，如圖10).

圖10

師：下面請同學(xué)們利用類似的方法，結(jié)合下面的問題來研究補(bǔ)角的性質(zhì).問題：有哪些角互為補(bǔ)角？∠AOC和∠BOD有什么關(guān)系？為什么？

(學(xué)生獨(dú)立思考后，展開小組討論，在此基礎(chǔ)上，請同學(xué)到黑板上講解.限于篇幅，將與學(xué)習(xí)余角的性質(zhì)中類似的環(huán)節(jié)一并略去)

師：那這個圖形中還有互補(bǔ)的角嗎？

生17：∠NOC和∠NOD互補(bǔ).

師：說得非常棒！這是我下節(jié)課要研究的垂直，希望同學(xué)們可以做好預(yù)習(xí)，做一個“會學(xué)習(xí)”的學(xué)生.

(PPT同時呈現(xiàn)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，然后出示牛刀小試3，學(xué)生給出答案后，教師追問學(xué)生為什么)

圖11

牛刀小試3：如圖11，∠ACE=∠BCE=∠DCF=90°，∠1=33°，則∠DCB=，∠ECF=.

評析此環(huán)節(jié)的教學(xué)主要是互補(bǔ)和互余的性質(zhì)，教師將教材中呈現(xiàn)的三個問題，整合設(shè)計為兩個問題，包括前面的一些對教材的處理，可以很好的看出實現(xiàn)了由“教教材”向“用教材教”的積極轉(zhuǎn)變；此外，教師利用此環(huán)節(jié)的最后一次追問“還有互補(bǔ)的角嗎？”，將學(xué)生的思維引向深處，同時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是一種督促；最后，這個環(huán)節(jié)中的小組合作和學(xué)法指導(dǎo)也做的很好，比如，在研究補(bǔ)角的性質(zhì)時，讓學(xué)生類比研究余角性質(zhì)的方法，在“獨(dú)立思考、小組合作、個人展示”的基礎(chǔ)上完美的將本節(jié)課的教學(xué)難點成功突破，實現(xiàn)了課堂教學(xué)的高效和優(yōu)質(zhì).

1.4 達(dá)標(biāo)檢測，總結(jié)反思

師：哪位同學(xué)可以總結(jié)一下本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？

生18：主要學(xué)習(xí)了相交、平行、對頂角、互補(bǔ)和互余.

師：我們主要從哪幾個方面展開學(xué)習(xí)呢？

生眾：定義、性質(zhì)和應(yīng)用.

師：在學(xué)習(xí)這些知識的過程中，我們主要運(yùn)用了哪些思想方法呢？

生19：類比.

師：你能說的具體一些嗎？

生19：比如在類比補(bǔ)角的定義(性質(zhì))來學(xué)習(xí)余角的定義(性質(zhì)).

(在師生的一問一答中，PPT漸次呈現(xiàn)，如圖12)

圖12

師：下面，我們觀看一段微課，來鞏固、提升一下我們對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識.

微課截圖(如圖13)：

圖13

微課文本：同學(xué)們，在本學(xué)期初，我們學(xué)習(xí)了線段的中點和角的角平分線的相關(guān)知識，學(xué)習(xí)過程中重點研究了它們的圖形、定義、性質(zhì)和應(yīng)用.

今天，我們同樣用上述方法學(xué)習(xí)了對頂角、互補(bǔ)和互余.首先，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)了生活中的平行和相交現(xiàn)象，并抽象出了相交的幾何圖形；其次，我們用數(shù)學(xué)的思維分析世界，得出了它們的定義；接著，我們用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，得到了它們的性質(zhì)；最后，我們用所學(xué)的知識解決了現(xiàn)實生活中的一些實際問題.

在學(xué)習(xí)性質(zhì)的過程中我們主要經(jīng)歷了“量一量、驗一驗、猜一猜、證一證”的幾個環(huán)節(jié)，同時我們重點關(guān)注了幾何圖形在變化過程中不變的“位置和數(shù)量”關(guān)系，接下來，我們將用同樣的思路和方法研究“垂直和平行”的相關(guān)內(nèi)容.

最后，把日本著名教育家、數(shù)學(xué)家米山國藏在其名著《數(shù)學(xué)的思想、精神及方法》中提到的一句話“數(shù)學(xué)是一步一步向上走的”送給同學(xué)們，以此共勉，期待同學(xué)們可以在“數(shù)學(xué)知識”的海洋里自由遨游，在“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的天空中自由翱翔.

評析此處是整節(jié)課的一大亮點，分別以師生互動和微課的形式，對本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識、思想方法進(jìn)行了梳理和總結(jié)，更難能可貴的是在師生互動中進(jìn)一步完善了課堂教學(xué)中形成的板書，以“知識 框圖”的形式為學(xué)生構(gòu)建了本節(jié)課完整的知識體系；而在微課中則以“知識樹”的形式，將本節(jié)課所學(xué)知識和方法作為橋梁，對前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容和后續(xù)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行了有效聯(lián)系，給人耳目一新的感覺.

2 總評

中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的培育依賴于學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，而學(xué)科核心素養(yǎng)培育的落腳點則是課堂教學(xué).因此，只有在課堂教學(xué)中有意識地進(jìn)行中國學(xué)生核心素養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，才有可能實現(xiàn)培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”的目標(biāo).

2.1 關(guān)于中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)

2016年9月13日發(fā)布的《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出了中國學(xué)生核心素養(yǎng)的“三大點、六小點、十八個基本點”的模型框架，對培育學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)行了系統(tǒng)的闡釋.下面結(jié)合該課例對培育中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的嘗試進(jìn)行簡單介紹.

一是人文底蘊(yùn)，主要表現(xiàn)在審美情趣.大自然中的很多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)元素，需要我們有一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛，正如“港珠澳大橋”中蘊(yùn)含著很多相交線和平行線一樣，在給我們雄偉壯觀感覺的同時，更是給了我們美的感受，需要引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)美、感知美、欣賞美，并評價美.

二是科學(xué)精神，主要表現(xiàn)在理性思維和勇于探究.上述課例可以說是幾何學(xué)習(xí)的“入門課”，學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中能否對幾何產(chǎn)生興趣，本節(jié)課的教學(xué)起著至關(guān)重要的作用.教學(xué)中除了引導(dǎo)學(xué)生感知外部世界“美”的同時，更要引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)部“美”，這種“美”應(yīng)該就是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的理性思維；當(dāng)然，這期間更要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大量的探究和討論，在一次一次的探究和討論中獲得相關(guān)的活動經(jīng)驗和知識.

三是學(xué)會學(xué)習(xí)，主要表現(xiàn)在樂學(xué)善學(xué)和勤于反思.在上述設(shè)計中教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力，比如多次進(jìn)行了類比學(xué)習(xí)，這為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)；同時還引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，幫助學(xué)生分別用“知識框圖”和“知識樹”構(gòu)建知識體系等，這都為引導(dǎo)學(xué)生樂學(xué)善學(xué)做了有益的嘗試.除此之外，本節(jié)課設(shè)計的四個環(huán)節(jié)，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的反思能力，從“疑點反思、問題反思”到“達(dá)成反思、總結(jié)反思”，使學(xué)生可以自主的對自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行審視，進(jìn)而做出相應(yīng)的改變，或調(diào)整學(xué)習(xí)策略，或改變學(xué)習(xí)方法等.

2.2 關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力，以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.

一是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象.上述課例對培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行了很好的嘗試，比如從實際物體中抽象出相交線和平行線，將實際問題抽象為簡單的幾何圖形等.

二是用數(shù)學(xué)的思維分析世界，主要體現(xiàn)在邏輯推理.根據(jù)六年級學(xué)生的認(rèn)知情況，該課例將邏輯推理定位于簡單說理，也就是說，只要學(xué)生可以用自己的話說出原因即可，即鼓勵學(xué)生用自己的語言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，并說明理由.

三是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.對于幾何學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)語言主要有圖形語言、文字語言和符號語言，本節(jié)課主要是引導(dǎo)學(xué)生在分析相關(guān)圖形中的位置和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用文字語言表達(dá)自己的觀點，比如對頂角相等、同角(等角)的補(bǔ)角(余角)相等，而對于符號語言的掌握則根據(jù)學(xué)生的年齡和認(rèn)知特點不做要求，體現(xiàn)教材編寫的“螺旋上升”.

總之，中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)和初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育是一個長期的、系統(tǒng)的工程，需要一線教師持續(xù)的、不懈的為之付出和努力.我們對此所進(jìn)行的嘗試未必準(zhǔn)確，更不一定正確，歡迎更多的一線教師行動起來，設(shè)計出更多優(yōu)秀的案例，為學(xué)生核心素養(yǎng)的培育貢獻(xiàn)一份自己的力量.