“探索三角形全等的條件(1)”課堂實錄與反思

袁芹芹 (西安市第一中學 710082)

宋 旋 (陜西省西咸新區灃東第二初級中學 710091)

2020年5月，根據學情，筆者嘗試上一節完全開放式的探索課—北師大版七年級下冊“探索三角形全等的條件”.摒棄了傳統的教學設計,采用從一個條件開始，逐漸增加條件的數量，一次探究一個條件、兩個條件、三個條件能否保證兩個三角形全等，在探索判定方法的過程中，體會作圖、觀察、分析、猜想等研究幾何問題的方法.本節課預設：讓學生自己先畫一個三角形，利用三角板，直尺，量角器，圓規等數學用具，再畫一個與前面三角形全等的三角形，做到真正放手，感受探索三角形全等條件的過程.不僅鍛煉了學生的動手操作能力，也為學生幾何直觀的發展，數學活動經驗的積累，個性的發揮，特別是發散思維的培養提供了機會.

1 復習回顧 導入新課

師：同學們，前面我們已經學習了全等三角形的性質，大家能用符號語言來描述一下嗎？

生：因為△ABC≌△DEF，所以∠A=∠D,∠B=∠E, ∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF.

圖1

師：怎樣判斷兩個三角形全等？

生1：形狀和大小能完全重合的兩個三角形是全等三角形.

生2：對應邊相等，對應角相等的兩個三角形全等.

師：兩種表述全等三角形定義的方法都可以，那么大家能用符號語言來描述嗎？

生：因為∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF, 所以 △ABC≌ △DEF.

師:如果依據定義，我們判定兩個三角形全等，需要六個條件，那么有沒有更簡捷的方法來判定兩個三角形全等呢？如果分別只給一個條件、兩個條件或三個條件呢？這就是我們本節課需要研究的問題——探索三角形全等的條件.

板書課題：探索三角形全等的條件

設計意圖通過復習，引發學生思考判定兩個三角形全等，至少需要幾個條件.設置懸念，提高學生的探索興趣.

2 動手操作 探究新知

師：請同學們拿出課前準備好的學習用具：鉛筆、直尺、圓規、量角器、三角板、練習本等，在練習本上畫一個大小比較適中的三角形.

學生活動：學生動手畫的有銳角三角形，鈍角三角形，還有直角三角形.有大一些，還有小一些.

師：各位同學，借助你手頭上已有的學習用具，開動自己的大腦，畫一個與你前面所畫的三角形全等的三角形.

設計意圖充分信任學生，讓學生運用學過的知識、方法自主探索如何作圖.教師巡視，及時指導，開放式教學,收放自如.

生1：利用直尺采用度量的方法，先畫一邊相等，再畫第二邊相等，連接第三邊，通過測量，發現第三邊比已知三角形第三邊小.改變思路，讓前兩邊的角度增大，發現連接第三邊比已知第三邊大，慢慢調整，多次試驗，終于找到了和第三邊相等的位置的點，連接起來，撕下后面畫的三角形，放在前面所畫的三角形的上面，發現能完全重合.

生1結論：如果保證兩條邊對應相等，兩個三角形不一定全等，那么一條邊相等，兩個三角形肯定也不一定全等.只有三條邊都相等，則這個三角形才全等.

生2：利用量角器測量已知三角形的三個內角，畫出三角形，撕下比對，發現這兩個三角形全等.

生3：尺規作圖，已知三邊，作了一個與已知三角形全等的三角形.

生4：利用量角器先畫一個相等的角，并撕下這個角，放置在原三角形中，想象一個頂點已經確定，在比對角中確定第二個頂點，用筆進行標注，發現還需要第三個頂點，所以再次進行比對，確定第三個頂點.

生4結論：一個角相等的兩個三角形不一定全等，一個角和一條邊相等的兩個三角形也不一定全等，兩角和一邊相等的兩個三角形才全等.

生5：先用量角器作一個相等的角，在角的一邊上量取一段線段和已知三角形的一邊相等，在邊的另一端再用量角器作第二個相等的角.撕下對比發現兩個三角形全等.

生5結論：兩個角和一條邊分別相等的兩個三角形全等.

生6：前面學過可以利用尺規作圖作一個角，于是可以利用尺規作圖先作一個相等角，然后在角的兩邊截取兩段與已知三角形相等的邊，撕下進行比對，發現兩個三角形全等.

生6結論：兩邊一夾角相等的兩個三角形全等.

……

師：六位同學可以分享自己的想法和做法.其他同學可以提出疑問.

生3：我上過網課，知道利用尺規作圖，保證三邊相等時，這兩個三角形全等.一個、兩個條件不能證明兩個三角形全等，至少需要三個條件.

生4和生5也表述了自己的觀點.

師：大家都探索出了保證兩個三角形全等需要三個條件，一個條件、兩個條件都不能證明全等，那么有沒有實際的反例來推翻它呢？

生1：一副三角板中的兩個三角形滿足一個角對應相等，但它們不全等.

生2：一副三角板中的兩個三角形滿足一條邊對應相等，但它們不全等.

師：非常好，生1和生2分別給出了滿足一個條件時兩個三角形不全等的例子，也反映了一個條件可分為兩種情況進行討論.

師：那么兩個條件又分為幾種情況？

學生齊聲回答：兩個角、兩條邊、一邊一角.

師：大家還能舉出反例嗎？

生1：一副三角板中，60°角的對邊和45°角三角板的斜邊相等，且又有90°的角相等，說明滿足一角一邊相等，兩個三角形不一定全等.

生2：我的三角板和老師的三角板能滿足三個角對應相等，但它們不全等，說明三個角對應相等，不能保證兩個三角形全等，更不用說兩個角了.

圖2

生3：和大家分享一下我的尺規作圖.從圖2中可以看出，△ABC1和△ABC2能滿足兩條邊相等，但它們不全等.

師：我們可以把掌聲送給剛才的三位同伴.他們不僅排除了兩個條件不能證明三角形全等的所有可能，而且生2還排除了三個條件中的三個角分別相等的三角形不能全等的可能.

師：下面我們就可以考慮三個條件證明三角形全等的可能了.那么三個條件有哪幾種情況呢？

生1：三個角分別相等，三條邊分別相等，兩邊一角分別相等，兩角一邊分別相等.

生2：三個角分別相等已經被排除.

生3：三邊分別相等的兩個三角形一定能全等.

師：一定嗎？

生3：利用尺規作圖，我們一組幾個人作的是同一個三角形，三邊分別相等，撕下的結果是完全重合的，說明這么多的三角形全等.

師：非常好，很有說服力，也就是說三邊分別相等的兩個三角形全等.這就是我們本節課的內容——探索三角形全等的條件(1).

文字語言：三邊分別相等的兩個三角形全等.(簡寫為：“邊邊邊”或“SSS”)

圖形語言：

圖3

符號語言：在△ABC和△A1B1C1中

所以△ABC≌△A1B1C1(SSS).

(教師板書并提醒“書寫規范”)

師：前面還有同學也探究出兩邊一角和兩角一邊的情況，也能證明兩個三角形全等，是否真能全等，下一節課我們將繼續探究、驗證和學習.

師：三角形全等在生活中有非常廣泛的應用(展示三角形穩定性的應用圖片，并舉例學校門口的電動門進行對比).上面的現象說明了什么？

生：說明三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性.

師板演：三角形具有穩定性.

設計意圖通過學生展示探索過程，使用學具舉反例，進一步提高學生語言表達能力及歸納概括能力.

3 回顧與反思

3.1 單元教學，整體設計

鐘啟泉認為單元教學設計不是單純知識點傳輸與技能訓練的安排，而是教師基于學科素養，思考怎樣描繪基于一定目標與主題而開展探究活動，目的是為了創造優質的教學，這就需要在“核心素養—課程標準—單元設計—課時計劃”這一連串環環相扣的鏈環中聚焦核心素養展開運作.把單元教學作為撬動課堂轉型的一個支點，整體把握課程結構，真正落實數學核心素養.

單元教學設計所強調的是一個整體教學，要實現這個整體，需要從單元的宏觀開始，逐層過渡到微觀，具體地說要將其細化為不同的階段，同時每一個階段又在一定的課時中去實現.在單元教學目標確定之后，需要教師將單元教學流程進行分解，在教學流程設計中，考慮到教學前后銜接的同時，也能顧及到各個課時之間的脈絡.

教師對教學內容與要求進行整體把握，將教材中的四種判定方法以一個整體的形式呈現在同一節課上.立足點是畫一個三角形，判定方法歸結為畫 出的三角形的形狀和大小是唯一的.這樣處理更有助于培養學生思辨能力和分析問題、解決問題的能力.

3.2 教師主導，學生主體

本節課的設計體現了以教師為主導、學生為主體,以知識為載體、以培養學生的思維能力為重點的教學理念.數學學習不僅是知識的學習,更重要的是方法的學習.在教學中,教師摒棄了直接給出“SSS”條件的教學方法,以學生的數學探索活動為主線,采用了“引導—自主探索”的教學模式,以探索三角形全等的條件為中心,遵循學生的認知規律,注重學生在獨立思考基礎上的合作交流,將教師的“引”與學生的“探”融為一個和諧的整體, 凸顯了學生的主體地位，讓學生感受蘊藏在數學里的“美”，讓學生親身經歷操作、觀察、歸納、交流等確定三角形全等的條件的全過程.教師以探究任務引導學生自學自悟的方式,提供了學生自主合作探究的舞臺,營造了思維馳騁的空間,在經歷知識的發現過程中,培養了學生分類、探究、合作、歸納的能力.

3.3 相信學生，放手探索

把合作交流的空間真正的還給了學生.教師在課堂教學中能想方設法照顧到每一名學生,讓全體學生都動起來.在把學生的結論互相比較之前,留給學生足夠的時間,使大部分的學生都能完成作圖的活動,其間，教師還能對作圖有困難的學生給予適當的指導.

3.4 處處留心皆教具

在排除判定三角形全等的一個、兩個條件時，教師及時引導學生通過觀察手中的學具——一副三角板，找出反例，體現了教師能夠充分利用身邊的教具，引導學生動手操作學習，提高學生參與意識.