有理數(shù)乘法教科書設(shè)計及教學(xué)分析
——基于有理數(shù)乘法的歷史*

孫丹丹 (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

胡錫娥 (山東省濟南中學(xué) 250001)

有理數(shù)乘法是初中數(shù)學(xué)的重要運算之一，尤其是負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)的乘法，因為不像正數(shù)的乘法一樣有比較明顯的現(xiàn)實意義，所以對于學(xué)生來說較為抽象[1]．如何進行教學(xué)才能更好地幫助學(xué)生理解這種數(shù)系擴充帶來的新運算呢？已經(jīng)有研究者進行了這方面的探索[2][3]，特別地，有些研究者查找了有理數(shù)乘法的歷史，以期給教材設(shè)計和教學(xué)以啟發(fā)[4].但歷史的教育價值并非顯然，教師可能閱讀了歷史仍然不清楚可以給教學(xué)何種啟發(fā)．本文從分析教師最熟悉的幾個版本的教科書入手，基于歷史分析教科書，進而給出教學(xué)建議，以嘗試聯(lián)結(jié)歷史、教材和教學(xué)．

1 4個版本教材梳理

人教版通過多組正數(shù)和0的乘法運算，得到正負(fù)相乘和負(fù)正相乘規(guī)則，如何得到？關(guān)鍵詞是“規(guī)律”，具體通過以下兩個問題呈現(xiàn)：(1)3×3=9，3× 2=6，3×1=3，3×0=0，找規(guī)律，要想該規(guī)律在引入負(fù)數(shù)后仍然成立，則3×(-1)=， 3×(-2)=，3×(-3)=；(2)3×3=9，2×3=6，1× 3=3，0×3=0，找規(guī)律，要想該規(guī)律在引入負(fù)數(shù)后仍然成立，則(-1)×3=，(-2)×3=，(-3)× 3=．接著，教材從值和絕對值兩方面歸納正數(shù)乘以正數(shù)、正數(shù)乘以負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)乘以正數(shù)的計算規(guī)則．由此可見，人教版的設(shè)計思路是正數(shù)及0的乘法計算已知，通過多組正數(shù)及0的乘法算式找到規(guī)律，然后把規(guī)律推廣到負(fù)數(shù)算式上，進而得到正負(fù)數(shù)相乘的計算法則．利用剛得到的正負(fù)數(shù)乘法計算法則，計算多組算式，同樣的道理，找規(guī)律，推廣規(guī)律，得到兩負(fù)數(shù)相乘的規(guī)則.教材呈現(xiàn)如下：(-3)×3=， (-3)×2=，(-3)×1=，(-3)×0=，按照上述規(guī)律，(-3)×(-1)=，(-3)×(-2)=，(-3)×(-3)=．繼而歸納有理數(shù)乘法計算法則．

北師大版在實際生活情境，具體來說是水位隨時間變化的情境中，借由負(fù)數(shù)意義、乘法意義的推廣，引出正正相乘和正負(fù)相乘的規(guī)則，具體問題及解答如下：甲水庫的水位每天升高3 cm，乙水庫的水位每天下降3 cm，4天后甲乙水庫水位的總變化量是多少？如果用正號表示水位上升，用負(fù)號表示水位下降，則4天后甲水庫水位的總變化量是3+3+ 3+3=3×4=12(cm)；4天后乙水庫水位的總變化量是(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=-12(cm)．如何得到兩負(fù)數(shù)乘法計算法則，北師大版與人教版處理方法相同，通過計算、找規(guī)律、推廣規(guī)律得到，具體呈現(xiàn)如下：(-3)×4=-12，(-3)×3=，(-3)×2=，(-3)×1=，(-3)×0=，(-3)×(-1)=，(-3)×(-2)=， (-3)× (-3)=，(-3)×(-4)=．繼而歸納有理數(shù)乘法計算法則．

華東師大版的處理方式也是先通過實際情境引出問題，具體是小蟲隨時間沿東西向路線爬行問題，得正正相乘和負(fù)正相乘，通過觀察兩式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，則所得的積是原來的積的相反數(shù)，推廣規(guī)律猜想正負(fù)相乘和負(fù)負(fù)相乘的運算規(guī)則，最后給出0和負(fù)數(shù)的乘法運算規(guī)則，繼而歸納有理數(shù)乘法計算法則．

滬教版先給出四個算式從計算引入，暗示相反數(shù)的規(guī)律的推廣，又沒有點明，這種模糊性給教師留下發(fā)揮空間．教材呈現(xiàn)如下：2×1=；(-2)× 1=；2×(-1)=；(-2)×(-1)=．而后提示，2×1=2，(-2)×1=-2，1乘以一個數(shù)等于這個數(shù)本身；2×(-1)=(-1)+(-1)=-2，一個數(shù)乘以-1等于這個數(shù)的相反數(shù)，進而拋出問題：(-2)×(-1)=？進一步(-4)×3=？(-4)×(-3)=？之后給出現(xiàn)實情境，具體是汽車隨時間沿東西向公路行駛問題，得到正負(fù)數(shù)乘法的運算法則，最后給出0和正負(fù)數(shù)的乘法運算規(guī)則，即得到有理數(shù)乘法法則．

2 各版本教材分析與比較

比較以上四個版本教材的編寫內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)乘法的得到方式主要有兩種途徑：一是圍繞數(shù)學(xué)規(guī)律，二是借助現(xiàn)實情境．但數(shù)學(xué)規(guī)律又有所不同，如人教版和北師大版的遞減規(guī)律、華東師大版和滬教版的相反數(shù)規(guī)律；而現(xiàn)實情境大同小異，如北師大版的水位升降，華師大和滬教版的物體運動．如何運用這些途徑，各版本也有不同呈現(xiàn)，人教版只圍繞數(shù)學(xué)規(guī)律進行，滬教版則側(cè)重現(xiàn)實情境，其他兩個版本兩者都有應(yīng)用．此外，除人教版外，隱藏在有理數(shù)乘法規(guī)則探究過程中的還有兩正數(shù)相乘的乘法意義擴充到正負(fù)數(shù)相乘．

數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)對學(xué)生來說難度不大，現(xiàn)實情境可以讓乘法運算與生活結(jié)合起來，三個版本都做了這樣的嘗試，但滬教版難度最大，一貫性地用現(xiàn)實情境解釋四個規(guī)則，涉及到了時間和路程方向兩個維度的正負(fù)，北師大和華師大版本通過數(shù)學(xué)規(guī)律推廣部分回避了這個問題，滬教版的好處在于使得整個正負(fù)數(shù)乘法法則都與生活情境建立起系統(tǒng)性聯(lián)系．值得注意的是，除北師大版外，其他三個版本都將正負(fù)相乘和負(fù)正相乘分開來處理，因為兩種情況不能理所當(dāng)然認(rèn)為是相等的，北師大版實際只給出了負(fù)正相乘就歸納出了異號相乘運算規(guī)則．

各個版本的設(shè)計都圍繞數(shù)學(xué)規(guī)律和現(xiàn)實情境展開，這是偶然嗎？數(shù)學(xué)規(guī)律依賴的是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推廣規(guī)律.發(fā)現(xiàn)規(guī)律比較簡單，推廣到負(fù)數(shù)中我們也可以輕松得出有理數(shù)乘法法則，但為什么規(guī)律可以推廣到負(fù)數(shù)中？我們知道，推廣的規(guī)律其實不一定正確，那為什么教科書僅通過推廣規(guī)律就“草率”得出了規(guī)則？背后究竟有怎樣的道理和苦衷？另一方面，事實情境也僅僅是一種解釋，并不嚴(yán)密，那到底為什么負(fù)負(fù)得正呢？如何在教學(xué)中更好地處理這些問題？為此，我們查閱了相關(guān)歷史．

3 歷史探尋與分析

首先，通過查閱歷史我們發(fā)現(xiàn)，有些我們熟悉的歷史名人都曾對兩個負(fù)數(shù)相乘為什么是正數(shù)產(chǎn)生過疑問，例如19世紀(jì)法國著名作家司湯達(dá)(Stendhal,1783—1843)在其自傳中描述了他學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正”的負(fù)面經(jīng)歷．司湯達(dá)小時候很喜愛數(shù)學(xué)，但當(dāng)格勒諾布爾中心學(xué)校的數(shù)學(xué)教師迪皮伊先生教到“負(fù)負(fù)得正”這個運算法則時，司湯達(dá)一點都不理解，他希望老師能對“負(fù)負(fù)得正”的緣由作出解釋．面對司湯達(dá)的提問，迪皮伊先生“只是不屑一顧地莞爾一笑”，而靠死記硬背學(xué)數(shù)學(xué)的一位高材生則對于司湯達(dá)的疑問嗤之以鼻．司湯達(dá)被“負(fù)負(fù)得正”困擾了很久，最后，在萬般無奈之下只好接受了它，“負(fù)負(fù)得正”動搖了他對于數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教師的信心[5]．法國著名昆蟲學(xué)家、文學(xué)家法布爾(J.H.Fabre,1823—1915)在其《昆蟲記》中也記述了他做家教時吃到的“負(fù)負(fù)得正”的苦頭[6]，同樣搞不清為什么“負(fù)負(fù)得正”的還有我國雜交水稻之父袁隆平院士．

從這些歷史人物的回憶中我們可以發(fā)現(xiàn)一些共同的特點：(1)他們都思考過“負(fù)負(fù)得正”的原因，沒有簡單地接受規(guī)則，而是試圖弄清楚規(guī)則背后的道理；(2)他們大都面對著一種負(fù)面主張——記住就好，這種主張可能來自自己的老師或同學(xué)；(3)他們大都因為困惑不能解決而對數(shù)學(xué)失去興趣，甚至認(rèn)為數(shù)學(xué)不講道理，雖然造成這種消極觀點或態(tài)度有眾多原因，但“負(fù)負(fù)得正”無疑是其中一個，而且是印象深刻的一個．我們從歷史上找到一些疑問，那歷史上有沒有對此疑問的討論或解答？我們進一步查閱，發(fā)現(xiàn)歷史上的解釋主要分為以下兩種類型：數(shù)學(xué)解釋及生活情境解釋，子類型和具體方法比教科書上更為豐富．

針對司湯達(dá)曾經(jīng)提及的“負(fù)債問題”，美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因(M.Kline,1908—1992)認(rèn)為，“如果記住物理意義，那么負(fù)數(shù)運算以及負(fù)數(shù)和正數(shù)混合運算是很容易理解的．”[5]他最早用債務(wù)解釋“負(fù)負(fù)得正”，解決了“兩次負(fù)債相乘的結(jié)果是神奇的收入”的問題：假定某人每天欠債5美元，可記為-5，在給定日期他身無分文，記為0美元，那么在給定日期3天后(記為+3)，他欠債15美元，可記為 -15，用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述即(+3)×(-5)=-15；在給定日期3天前(記為-3)，他有財產(chǎn)15美元，用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述即(-3)×(-5)=+15．除了負(fù)債，還有水箱進水排水、汽車往東往西運動等情境．一個與前面情境略有不同的是所謂“好人進城”模型，其中，負(fù)負(fù)得正解釋為如果壞人(-)出了城(-)，對于城鎮(zhèn)來說是好事(+)．

可以注意到這些情境中都有兩個已知量，且都能根據(jù)某個基準(zhǔn)確定出相反的意義，據(jù)此分正負(fù)，這也是中學(xué)負(fù)數(shù)的意義.例如，某時刻往后為正，往前為負(fù)；往東走是正，往西是負(fù)；進水為正，排水為負(fù)；收入為正，欠債為負(fù)；進城為正，出城為負(fù)．不同的是，最后一個情境很難解釋為什么用乘法，壞人(-)出了城(-)，對于城鎮(zhèn)來說是好事(+)，可為什么是負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)是正數(shù)，不是負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)是正數(shù)？其他情境乘法的意義則比較明確，比如日收益乘時間得總收益，但要注意到這種關(guān)系來源于正數(shù)，負(fù)數(shù)的應(yīng)用在某種程度上是一種推廣，且收益和時間均為負(fù)時，比如每天消費5元，現(xiàn)在身無分文，3天前有多少元？我們一般轉(zhuǎn)換角度用正數(shù)思維處理：3天前的錢數(shù)是現(xiàn)在的錢數(shù)0元加消費的錢數(shù)5×3=15元，也即在這種情境下我們沒有必要必須用兩個負(fù)數(shù)相乘求解.當(dāng)然這可以是一種選擇，因為結(jié)合負(fù)數(shù)的意義，推廣量的乘法關(guān)系比較自然，也是對兩數(shù)相乘得正的一種現(xiàn)實呼應(yīng)．滬教版就主要采用了這樣的現(xiàn)實模型進行解釋．

從數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性來講，現(xiàn)實情境解釋無疑可能不被認(rèn)可，W.Frend(1757—1841)在The Principles of Algebra一書中就反對用非數(shù)學(xué)例子為負(fù)數(shù)辯護：“嘗試說明負(fù)數(shù)本質(zhì)的方法之一是以負(fù)債或其他情形為隱喻，一個數(shù)學(xué)家如果不得不借助隱喻來解釋科學(xué)的原理，那么他很可能從來沒有準(zhǔn)確地思考過這個問題．”[7]那從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，負(fù)負(fù)得正有什么合理性呢？歷史上也有許多數(shù)學(xué)家對此進行過討論．Benedict取等差數(shù)列+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4，先將各項分別乘以+3，觀察所得等差數(shù)列的規(guī)律，得出“負(fù)正得負(fù)”，再將數(shù)列各項分別乘以-3，觀察新數(shù)列的規(guī)律，得出“負(fù)負(fù)得正”．顯然，這與人教版的設(shè)計思路相同．

為什么這種規(guī)律可以推廣，作者并沒有解釋，所以這種方法并不嚴(yán)密．作為一種說明，早期教科書中還出現(xiàn)了乘法意義拓廣的解釋，這種方法顯然沒有嚴(yán)格邏輯推理，所以同樣不嚴(yán)密，它更像是已知負(fù)負(fù)得正后，將其與乘法加法意義相溝通的嘗試(+5)×(+3)=(+5)+(+5)+(+5)=+15，(-5)× (+3)=+(-5)+(-5)+(-5)=-15，(+5)× (-3)=-(+5)-(+5)-(+5)=-15，(-5)× (-3)=-(-5)-(-5)-(-5)=+15．

有沒有其他解釋方法呢？桑德森在《代數(shù)基礎(chǔ)》中指出：+4乘以+3等于12，所以-4乘以+3，或+4乘以-3，應(yīng)為12的相反數(shù)-12，因此，-4乘以-3應(yīng)為-12的相反數(shù)+12，即負(fù)負(fù)得正．嚴(yán)格來說，這里的邏輯是非常不嚴(yán)格的，因為他并沒有解釋為什么一個因數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)，積就也要變?yōu)橄喾磾?shù)．類似地，歐拉也用了這種相反數(shù)的說明方法，但是先用實際情境對正負(fù)數(shù)相乘進行了說明，與北師大版和華師大版的教材思路非常相似.歐拉在《代數(shù)基礎(chǔ)》中首先通過債務(wù)的倍數(shù)來說明正負(fù)得負(fù)：將-a視為債務(wù)，取3次，則債務(wù)必變成3倍，故(-a)×3= -3a．一般地，有(-a)×b=-ab(a>0,b>0)，故“正負(fù)得負(fù)”．由于(-a)×(-b)要么等于ab，要么等于-ab，但已證(-a)×b=-ab，故(-a)× (-b)=ab．歐拉的解釋方法其實與桑德森有同樣的問題，為什么(-a)×(-b)的符號一定要與(-a)×b的符號相反？D.E.史密斯對此類解釋表示懷疑：“如果乘數(shù)的符號改變，那乘積的符號也必須改變，作為一種證明，這就好比如果一個白人穿的是黑鞋子，那么膚色相反的黑人必須穿的是相反顏色的鞋子．”[8]

相對最嚴(yán)密要數(shù)下面運用(或逆用)了乘法分配律的方法了，F(xiàn)·克萊因稱之為“半邏輯證明”： (a-a)×d=ad+(-a)×d=0，故(-a)×d= -ad；(a-a)×(-d)=a×(-d)+(-a)×(-d)=

-ad+(-a)×(-d)，故(-a)×(-d)=ad．

這種推理是不是真的嚴(yán)密？其實不然，因為這種“半邏輯證明”中依據(jù)的分配律其實是正數(shù)和零所滿足的運算律，包括交換律、結(jié)合律和分配律.

正數(shù)和零所滿足的運算律怎么可以用在負(fù)數(shù)上來證明“負(fù)負(fù)得正”呢？實際上，這些運算律能用于負(fù)數(shù)，正是因為“負(fù)負(fù)得正”的保障，也即上面的“證明”表明：當(dāng)我們把非負(fù)整數(shù)所滿足的運算律用于負(fù)數(shù)時，兩個負(fù)數(shù)相乘的結(jié)果只能是正數(shù)．?dāng)?shù)系擴充所遵循的原則之一就是運算律的無矛盾性.誠然，我們可以規(guī)定“負(fù)負(fù)得負(fù)”，但這樣做時，我們至少要放棄正整數(shù)集所滿足的其中一個運算律．所以，歷史告訴我們，負(fù)負(fù)得正是不可以被證明的．19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家漢克爾(H.Hankel,1839—1873)早就說過：在形式化的算術(shù)中，“負(fù)負(fù)得正”是不能證明的．?dāng)?shù)學(xué)家F·克萊因也提出忠告：“我請求你們不要把不可能的證明講得似乎成立．大家應(yīng)該用簡單的例子來使學(xué)生相信，或有可能的話，讓他們自己弄清楚：從實際情況來看，承襲性原則所包含的這些約定關(guān)系，恰好是適當(dāng)?shù)模驗榭梢缘玫揭恢路奖愕乃惴ǎ渌魏我环N約定，總要強迫我們考慮許多特例．”[9]這大概是有關(guān)“負(fù)負(fù)得正”的最后一張底牌了．

回頭來看歷史上的各種解釋，大多取自一些早期教科書，所以編寫者所做的各種說明，大都并非是想嚴(yán)格證明“負(fù)負(fù)得正”，而是尋找讓讀者接受“負(fù)負(fù)得正”的理由，為“負(fù)負(fù)得正”的合理性做辯解，這與我們當(dāng)今教科書的目的是相同的．F·克萊因曾說，“必須向?qū)W生強調(diào)，普遍有用的約定確實存在，這個事實真是奇妙之至！同時使他們明白，這絕不是不言而喻的．”教科書的目的就在于讓讀者體會這種約定的奇妙，進而欣然接受．

4 歷史啟示

歷史名人的回憶啟示我們，學(xué)生對于“負(fù)負(fù)得正”的學(xué)習(xí)可能會有疑問，“為什么負(fù)負(fù)得正？”，如果學(xué)生提出這樣的問題，作為一位教師，答案不應(yīng)該是“記住就好”，這樣的回答可能會扼殺學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，相反教師應(yīng)該充肯定學(xué)生提出的問題并與學(xué)生一起解決問題．如果我們的學(xué)生沒有提出任何問題，我們或許應(yīng)該嘗試調(diào)查學(xué)生是否真的明白了其中的道理，還是學(xué)生被動接受缺少主動思考，如果是后者，教師應(yīng)該多激發(fā)引導(dǎo)學(xué)生積極思考，保持對新知識的好奇，敢于表達(dá)自己的想法．

如何看待教科書中給出的解釋？歷史告訴我們負(fù)負(fù)得正不可證，但可以通過從生活和數(shù)學(xué)的角度進行解釋，雖然是一個規(guī)定，但這些解釋體現(xiàn)了這種規(guī)定的奇妙，讓人嘆服．前面已經(jīng)分析，如今各個版本的教材都采取不同方式進行了解釋，通過歷史分析可以發(fā)現(xiàn)這些解釋都是嘗試兼顧科學(xué)性與認(rèn)知難度的選擇．同時歷史可以讓我們站得更高，歷史告訴我們，這只是解釋，不是證明，歷史也告訴我們把解釋當(dāng)作證明會受到攻擊．這有什么區(qū)別呢？解釋是一些合理性的說明，比如我們可以說，因為“負(fù)負(fù)得正”，我們多了一些解決現(xiàn)實情境問題的方式，所以這種規(guī)定很合理；因為“負(fù)負(fù)得正”，我們可以延續(xù)一些已有的規(guī)律，所以這種規(guī)定很合理；因為“負(fù)負(fù)得正”，我們可以讓原本的運算律不因新成員加入而更改，使得新數(shù)集不用改弦更張，另起爐灶，所以這種規(guī)定很合理．但這不應(yīng)該被誤認(rèn)為是證明，不能說能在一定情境中解決問題，所以“負(fù)負(fù)”就是“正”，因為這種應(yīng)用其實沒有嚴(yán)格的基礎(chǔ)，我們只是推廣了正數(shù)中得到的量的關(guān)系．不能說推廣了規(guī)律，所以負(fù)負(fù)就是正，因為沒有任何理由推廣規(guī)律就能得到正確的結(jié)論．若把解釋當(dāng)證明，原本為了講道理的解釋也會變得不講道理．

如何使用各個版本教科書進行教學(xué)？無論使用哪個版本，最常見的教學(xué)順序都是拋出問題、給出規(guī)則合理性解釋、歸納運算規(guī)則．結(jié)合歷史分析給出如下思考：(1)拋出問題誰來拋？教師可以自說自畫，但嘗試引導(dǎo)學(xué)生思考提出問題不失為一個更好的選擇，這有利于培養(yǎng)學(xué)生成為獨立思考的個體．(2)解釋規(guī)則合理性如何解釋？因為解釋不等于證明，在解釋時應(yīng)該特別注意導(dǎo)向性用詞，重在引導(dǎo)學(xué)生體會法則合理性．從數(shù)學(xué)角度解釋，主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推廣規(guī)律，難度不大.從生活情境解釋，總的來說，關(guān)鍵在于學(xué)生找到并表示出相反意義的量，這與學(xué)生對負(fù)數(shù)意義的理解息息相關(guān)，回顧相關(guān)內(nèi)容有利于打開學(xué)生的思路，難點是兩個負(fù)數(shù)的乘法，教師可以根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)，也可選擇搭配數(shù)學(xué)規(guī)律推廣進行合理性解釋以降低難度，把“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實解釋作為選讀，給學(xué)有余力的學(xué)生發(fā)揮空間．(3)解釋幾項規(guī)則？正負(fù)相乘一共有四種情況，需要分開處理，我們對正數(shù)乘法的運算律熟悉，容易產(chǎn)生遷移，認(rèn)為正負(fù)相乘和負(fù)正相乘的計算結(jié)果理應(yīng)相等，這無疑是錯誤的．(4)哪些解釋更“合理”？人教版的歸納遞減規(guī)律推廣規(guī)律似乎最容易受質(zhì)疑，其次是歸納相反數(shù)規(guī)律推廣規(guī)律，再次是分配律推廣和生活情景解釋．(5)要不要亮出底牌？教師心中要有底牌以解答學(xué)生可能提出的終極追問，在學(xué)生沒有提問的情況下要不要主動說明，可能要依據(jù)學(xué)情綜合考慮．

各個版本教科書中有多種對負(fù)負(fù)得正合理性的不同解釋，歷史中有更多樣的方法，這啟示我們，負(fù)負(fù)得正的合理性探索是一個開放性的話題．在這樣的主題中，教師可以發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，鼓勵學(xué)生來尋找或創(chuàng)造多樣化的解釋方法，體會數(shù)學(xué)的繽紛多彩，也可以給學(xué)生一些補充材料，將課堂延伸到課下，供感興趣的學(xué)生選讀．

通過這節(jié)課的教學(xué)可以達(dá)成的目標(biāo)或許有很多，以下都可能作為選擇：準(zhǔn)確記憶規(guī)則；會運用規(guī)則計算；理解規(guī)則的合理性解釋，感受規(guī)定的合理性；區(qū)分解釋和證明，知道負(fù)負(fù)得正不可證，是為了保證運算律繼續(xù)成立；初步了解代數(shù)體系的建構(gòu)；感受數(shù)學(xué)規(guī)定的奇妙，體會凡事都有緣由，學(xué)習(xí)過程應(yīng)保持好奇、勤于思考等等．