中學數學解題教學之我見(上)

鄭毓信 (南京大學哲學系 210093)

為什么要特別強調中學數學解題教學？因為，中小學在這方面有很大差異：盡管小學也有一定升學壓力，但主要只是在進入“高段”后才有較明顯的表現.而且，隨著升學制度的改革，特別是小升初就近入學、民校搖號免試入學等措施的推出，原有的壓力已在很大程度上得到了緩解.相對而言，學生進入中學以后，至少在初二就明顯感受到了升學的壓力，也正因此，如果一個教師的學生不會解題，從而在各種考試中表現得不夠理想，他同樣會感受到各方面的巨大壓力，乃至會不會教解題在很大程度上已經成為中學數學教師的基本生存之道：對此人們只能無可奈何地接受，甚至已不再思考這一現象的合理性與危害性，但這往往又會導致這樣的后果，即是題海戰術的盛行，學生則苦不堪言．

由以下事實可以更清楚地感受到中小學在這方面的巨大差異：中學數學教師很少會對為什么要教解題做出認真思考，更談不上這一方面的積極改革，后者對于小學數學教師而言則常常被看成課程改革的必然要求，對于例如由對于“探究性作業”與“數學應用”的高度重視就可清楚看出，包括相關的理論分析與研究，即如在所謂的“問題解決”或“解決問題”與傳統的算術應用題教學之間究竟有什么不同？我們又如何能夠突破已有工作的局限性，即如由單純強調學生解決問題的能力轉而同時重視提出問題能力的培養等．

與此相對照，中學數學教師在這方面的表現則可說現實得多，并就常常集中于這樣一點：“在確保升學率的同時，怎樣才能使學生負擔不重，思維得到發展？”[1]甚至都未能進一步去思考如何才能減輕學生的負擔，其中所謂的“思維得到發展”往往也就局限于“解題能力的提升”．

相關的表現在學生身上也有直接反映：他們通常不反對做題，而只是希望教師不要不加選擇地要求他們大量地做題，也即解題教學中的隨意性、盲目性，教師又不善于做出指導，而只是就題論題，甚至簡單照搬教輔書上的做法卻沒有真正弄懂，更不用說自己的分析和思考．與此相對照，如果中學教師在上述方面有較好表現，也即不僅有較強的解題能力，也會教解題，就會受到學生歡迎，并被各方面認為是個好老師！

但是，在此仍然存在很大風險：首先，一旦學生在某一考試中受挫，相關教師往往就會重新回到“題海戰術”；其次，教師的教學思想也容易出現各種偏差，如對于“解題經驗的簡單積累”與“思維活動的顯性化、算法化”的片面強調等．最后，這顯然也是任一教育工作者都應認真思考的一個問題，即如何能夠很好落實“立德樹人”這一根本目標——就當前的論題而言，這也就是指，我們如何才能由“就題論題”經由“就題論法”上升到“就題論道”(王華語)，而這事實上也就要求我們更深入地去思考這樣一些問題：我們究竟應當如何認識解題教學的意義？我們又應如何更好地從事解題教學？

以下就對此做出具體分析．

1 教師必備的專業知識

在此不妨首先討論這樣一個問題：什么是數學教師在這方面的必備知識？筆者的看法是：數學解題最核心的知識內容就是波利亞的“數學啟發法”，也即他圍繞“怎樣解題”所開展的系列研究．除此以外，我們當然也應很好了解這一方面的后繼工作，包括中國的數學方法論研究，以及20世紀80年代起國際數學教育界圍繞“問題解決”這一改革運動所開展的現代研究．再者，正如人們普遍認識到了的，“變式理論”也是我們在這方面應當很好掌握的一個理論．

以下就是筆者在這方面的一個親身經歷：由于波利亞在這方面的工作主要都是在20世紀 40-50年代完成的，因此，自己在很長時期內就一直有這樣一個問題，包括利用外訪的機會與國外同行對此做直接的討論：什么是這方面在波利亞以后的主要發展？誰又可以被看成波利亞在當代的接班人，或者說“問題解決”現代研究的代表人物？盡管相關過程并不順利，因為，國外有不少自稱為“波利亞接班人”的人“名不符實”，但20世紀80年代以“問題解決”作為主要口號的改革運動確可被看成對于“問題解決”的現代研究產生了重要的促進作用，盡管其本身并非十分成功，主要的指導思想在理論上也有不少問題．

具體地說，筆者并愿特別推薦美國學者舍費爾德(A.Schoenfeld)的這樣一部著作：《數學問題解決》，因為該書的主要內容就是為我們深入研究解題行為提供了一個新的概念框架；另外，通過這一工作與中國數學方法論研究的比較我們也可大致了解這一方面工作的不同范式或研究重點．(詳見文獻[2] 第二章)

其次，為了切實提升自己的解題能力，我們又應認真思考這樣一個問題，即通過認真讀書我們是否就可學會解題？當然，我們在此還應適當擴大學習的范圍，也即將另外一些具有更大針對性的論著也包括在內，如羅增儒教授的《數學解題學引論》[3]和《中學數學解題的理論與實踐》[4]，陳永明老師的《數學習題教學研究》[1]等．

上述問題的解答應當說十分明顯：盡管理論學習有很大幫助，但又正如學生僅僅通過聽教師講題并不能學會解題，數學教師僅僅通過閱讀相關書藉也不可能有效提升自己的解題能力，因為，即使從理論學習的角度看，我們也只有通過積極的解題實踐才能做到很好的理解；更重要的是，我們在此又應清楚地看到這樣一個事實：就數學解題這樣的實踐性活動而言，并不存在普適性的理論，而且，與現成理論的直接應用相比，我們又應更加重視自己的體會與經驗，包括以此為基礎做出總結和進一步的研究，從而才有可能在實踐與理論這樣兩個方面取得同步的增長，而后者顯然又應被看成數學教師必須滿足的一個要求，即不僅自身有較強的解題能力，也知道應當如何從事解題的教學．

為了清楚地說明問題，在此還可與語文教師做一簡單比較：如果說一定的閱讀能力即可被看成語文教師必需具備的一種能力，那么，較強的解題能力就應被看成數學教師必須具備的一種專業能力.當然，這又是任一學科的教師都應切實做好的一件事，即應當超出自己的專業并從更一般的角度去思考學科教育的基本目標，包括依據相關認識更好地認識自身工作的意義，包括如何才能真正做好自身的工作——如果采用上面的提法，這也就是指，我們如何真正做好“就題論道”？這也正是本文的主要關注．

2 若干重要的認識

希望以下討論能有助于讀者提升在這方面的自覺性，包括有效防止與糾正各種可能的簡單化與片面性認識．

首先，有效解決一切問題的“萬能方法”并不存在，但這并不應被理解成關于解題的任何研究都不具有真正的意義，或者說，我們對此只能做出純粹的描述性研究；恰恰相反，在所說的“規范性”與“描述性”研究之間還有第三種可能性，就是“啟發性”的研究．

從歷史的角度看，這就是波利亞相關研究的主要意義，更因此而導致了“數學啟發法的現代復興”，也即在很大程度上決定了“問題解決”現代研究的基本性質：這并非純粹的描述性工作，而是希望通過成功實例的分析總結出普遍性的思維方法或模式，從而就可對新的解題活動發揮啟示的作用；但是，對此我們又不應理解成必須嚴格遵循的硬性規定，恰恰相反，相關活動應當始終遵循這樣一個基本原則：如果解題者對于如何求解面臨的問題有明確想法，就完全可以按照自己的想法去從事解題，而不用顧及任何的方法論建議．

再者，這又是波利亞十分高明的一點：盡管其所從事的主要是數學解題活動的研究，但他又突出強調了相關研究的普遍意義，即認為這十分有益于人們解決問題能力的提升，對此我們應超出數學、從更廣泛的角度進行理解．例如，波利亞指出：“解題是智力的特殊成就，而智力乃是人類的天賦，正是繞過障礙，在眼前無捷徑的情況下迂回的能力使聰明的動物高出愚笨的動物，使人高出最聰明的動物，并使聰明的人高出愚笨的人．”又，“解題是人類的本性．我們可以把人類定義為‘解題的動物’；他的生活充滿了不可立即實現的目標．我們大部分的有意識思維是與解題相關的；當我們并未沉溺于娛樂或白日做夢時，我們的思想有著明確的目標．”另外，我們顯然也可從同一角度去理解波利亞對于“數學啟發法”常識性質的強調：這“對于那些認真對待其問題并有某些常識的人來說是很自然的．”[5][6]

更一般地說，這事實上也正是數學教育研究在當前應當特別重視的一個問題，即必須超出自身專業、并從更一般的角度認識數學教育的意義，特別是對數學教育目標做出適當界定，并依據這一立場從事各個具體問題的分析．

例如，基于這一立場，這顯然就是我們在從事解題教學研究時應當認真思考的一些問題：我們是否可以將“數學解題能力”與一般的“解決問題能力”簡單等同起來？我們又是否應當將努力提升人們解決問題的能力看成數學教育的唯一目標，還是應當對此做出必要的調整與補充？

其次，我們在此又應清楚地認識到這樣一個事實：學生解決問題能力的提升主要依靠后天的學習，更離不開教師的直接指導．

應當指出，這事實上也是諸多相關研究的一個共同結論，即認為相關學習有一個不斷提升的過程或是一定的層次性，我們甚至還應明確肯定“模仿”在這方面的重要作用．例如，這就是陳永明老師的一個明確看法，即認為習題安排必須遵循如下的“層次性原則”：“首先要分知識點，要先練一個知識點，再練另一個知識點，每個知識點往往有幾種不同類型的題目，一般來說，應該先練一個類型，再練另一個類型；對每個類型的題目來說，要由淺入深，先模仿，再變式，基本的解法熟練了，再安排包含各個類型、各個知識點的綜合題，繼而才是應用題、開放題．最后，才可以打亂知識點，打亂類型，用試卷的形式進行訓練．”[1]5

當然，在強調教師指導作用的同時，我們也應十分重視學生自身的領悟，包括由簡單模仿向自覺學習的重要轉變．后者事實上也正是羅增儒教授提出的關于學會解題的以下“四步驟程式”的核心所在：(1)簡單模仿；(2)變式練習；(3)自發領悟；(4)自覺分析．[4]

另外，在筆者看來，我們也可從同一角度對“學生的主動探究”做出簡要分析：就數學解題而言，重點并不在于我們是否應當特別重視“探究性作業”，而是學生在相關活動中是否始終處于積極思考這樣一種狀態，特別是，解題學習決不應蛻化為機械記憶與簡單模仿，我們應充分重視引導學生通過積極的解題實踐與認真總結反思獲得這方面的真切感受與體會，包括方法上的普遍性收獲．應當指出的是，后者事實上也正是“問題解決”這一口號的本意所在：這主要地不是指利用現成方法就可得到解決的常規性問題，而是指我們如何能夠綜合地、創造性地應用已有知識和技能求解那些非常規性的問題，這應當被看成真正的探究性工作．更一般地說，這也就是指，相對于數學史上的真實創造而言，學生的數學學習不僅是一種“再創造”，而且是“教師指導下的再創造”．(弗賴登塔爾語)

顯然，上述分析與如下的基本教學思想也是完全一致的：教學中我們既應充分發揮教師的主導作用也應很好體現學生的主體地位．進而，這又是我們在從事任一教學問題的研究時所應堅持的基本立場，即“大處著眼，以大馭小”．

以下就對數學教育的基本目標做出簡要分析．筆者以為，這正是數學教育最基本的一個“大道理”，即是除去數學基礎知識與基本技能的學習，我們還應通過具體數學知識與技能的教學促進學生思維的發展，包括由單純強調幫助學生“學會數學地思維”轉向“通過數學學會思維”，這也就是指，我們應將努力提升學生的思維品質看成數學教育的主要目標．

依據數學的特點我們可以對上述主張做出進一步的解讀：這主要是指幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，也即努力提升思維的深刻性、靈活性和自覺性．

再則，就是數學教師在教學中的主要作用，即應對學生的學習發揮重要的指導作用，這清楚地表明了數學學習的基本性質：主要是教師指導下的不斷優化．

例如，依據上述立場我們在教學中顯然就不僅應當高度重視對于學生錯誤的必要糾正，也應通過對照比較促使他們在結論、方法等方面實現必要的優化；我們又不僅應在學生遇到困難時通過適當示范或提問給他們必要的支持，也應注意引導他們由單純的“解決問題”轉而進一步去思考如何能在其他方面也能有更大收獲，包括努力提升自身在這一方面的自覺性．

最后，依據上述分析我們也可對“就題論道”做出具體的解讀：不僅教師本身對于解題教學的目標有清楚的認識，也應使之逐步成為學生的共識，從而實現這樣一個更高的境界，即師生具有共同的目標、共同的追求．

進而，以下的概括不僅清楚地表明了教學雙方在數學教學中所應從事的主要活動，包括數學教學的特殊性，而且也為我們深入認識數學解題教學的意義提供了重要啟示，包括我們究竟應當如何去從事數學解題的教學(圖1)．以下就首先聯系若干實例對此做出具體分析．

圖1

(未完待續)