最小示數為多少
——淺析第32屆北京市高中力學競賽預賽的一道圓周運動題

◇ 曾德才

本文以2019年第32屆北京市高中力學競賽預賽第11題為例，分析物體在豎直平面內做圓周運動時一般位置處豎直方向的分力情況，并進一步求出極值，得到壓力傳感器的最小值．以期增強學生對物體在豎直平面內做變速圓周運動問題的理解，提升學生用數學方法解決物理問題的能力．

圖1

原題如圖1所示，質量為50kg的同學站在壓力傳感器上，他手握繩子的一端．繩子的另一端系一個質量為1kg的小球，繩長為0．5m．使小球繞手握繩端的端點在豎直平面內做圓周運動，且小球恰能通過圓周的最高點，g取10m·s－2，則下列說法正確的是( )．

A．物體在最高點的速度為零

B．物體在最低點的速度大小為5m·s－1C．傳感器的最大示數為560N D．傳感器的最小示數為500N答案:B、C．

這道題難度很大，錯誤率比較高，絕大多數學生選了B、C、D．筆者對參加考試的學生進行了問卷調查，統計表明，多數學生能夠結合機械能守恒定律和圓周運動相關知識分析求解，解析步驟一般如下:

小球在豎直平面內做圓周運動，“恰能”通過圓周的最高點，即在最高點繩子的拉力FT＝0．

以小球為研究對象，假設小球在最高點的速度為v0、繩長為r，根據牛頓第二定律有，解得代入數據得

設小球在最低點的速度為vmax，從最高點到最低點的過程中，根據機械能守恒定律得解得代入數據解得

以人為研究對象，人同時受到三個力的作用:重力Mg，壓力傳感器的支持力FN，繩的拉力為FT．

小球在最高點時，繩子的拉力FT＝0，對人有FN1＝Mg，代入數據得FN1＝500N．故小球在最高點時，壓力傳感器的示數為500N．

小球在最低點時，對人有

對小球有

根據以上分析，學生認為:在最低點處，小球的速度最大，繩子拉力最大，壓力傳感器的示數最大；在最高點處，小球的速度最小，繩子的拉力最小，壓力傳感器的示數最小，故認為答案是B、C、D．

問題出在選項D，在最高點處，壓力傳感器的示數最小嗎?

教材中關于變速圓周運動的闡述是從受力特點出發，根據力F產生的效果，將F分解為跟圓周相切的分力F1和指向圓心的分力F2，之后并沒有進一步拓展和深化．對于物體在豎直平面內的變速圓周運動，教學中通常以汽車過拱形橋、凹形橋為例，分析汽車在圓周最高點或最低點的受力特點并展開討論，學生所做的習題大多數考查“繩模型”“桿模型”中物體在最高點或最低點的速度、受力問題，這導致學生形成思維定式，錯誤地認為在最高點處，小球的速度最小，繩子的拉力最小，壓力傳感器的示數最小，并沒有嚴謹地分析壓力傳感器的示數變化，不假思索地錯選D選項．

圖2

壓力傳感器的示數除了與人的重力有關，還與繩對人的拉力有關，而繩上的拉力大小又與小球運動的位置有關．因此應分析當小球在豎直平面內做圓周運動時，在哪個位置上繩對小球的拉力的豎直向下的分力最大，那么在該位置時繩對人的豎直向上的拉力也最大，則壓力傳感器對人的支持力就最小，壓力傳感器的示數最小．

設小球質量為m，在最高點速度為v0，當小球運動到上半圓的任意一點C時，如圖2所示，繩與豎直方向的夾角為α(0≤α＜90°)，設此時小球的速度為v，繩子對小球的拉力為FT，拉力的豎直分力為FTy，沿半徑方向，根據牛頓第二定律有

拉力的豎直分力為

小球從C點到最高點的過程中，根據機械能守恒定律得

解得

由上式可知，拉力的豎直分量大小不僅與小球的質量、小球在最高點的速度、圓周運動半徑有關，還與繩與豎直方向的夾角α有關，且FTy與cosα為二次函數關系

小球在C處時，對人FNC＝Mg－FTy．

FTy有極大值時，FNC有極小值，即當繩與豎直方向的夾角為α＝60°時，壓力傳感器的示數最小為FNmin．故

由以上分析可知小球在最高點處，壓力傳感器的示數并不是最小值，最小值的大小由小球的質量、最高點初始速度、圓周運動半徑、繩與豎直方向的夾角等因素共同決定．

在教學中，教師要積極引導學生思考、討論，及時發現自己存在的問題，分析物體在豎直平面內做圓周運動一般位置的受力情況，通過分析向心力來源問題，發展學生的科學論證能力，以拓展學生的知識面，培養學生主動探索科學問題的意識和能力，幫助學生加深對豎直平面內圓周運動、牛頓運動定律、機械能守恒定律、力與速度分解等物理規律的理解，提升學生分析問題、解決問題的能力，凸顯物理科學思維的培養，促進學生物理學科核心素養的形成．