初中數學華師版“平行四邊形的性質”編寫商榷

劉成龍

摘? ?要

本文分析了初中數學華師版“平行四邊形的性質”教材中存在的幾個問題：一是定義地位認識不清，二是學情把握不準，三是課時安排失當，四是內容安排不妥，五是教材敘述不嚴謹。同時針對這些問題，提出了相應的教材編寫建議。

關鍵詞

初中數學? 數學教材? 平行四邊形

數學教材是國家教育方針、素質教育精神、課程改革理念的具體體現[1]，是教師開展教學活動最重要的課程資源，架起了數學課程方案和教學實踐兩者間的橋梁。數學教材在教學活動中的基礎性和權威性，使得它具有影響的深遠，正如一些學者所說：“教材是億萬中小學生‘睜開眼睛看世界的主要通道。對于數以億計的普通百姓來說，也許他們一生的文化記憶中只有中小學教材”[1]。因此，數學教材編寫工作成為了一項神圣的使命。實踐表明，數學教材中的絕大部分內容科學、嚴謹、合理，既豐富了師生教學活動，又提升了學生的認知能力，形成了基礎學力和健全的人格[1]。但也有極少部分教材內容需要在實踐中進一步優化和完善。比如初中數學華師版（2013年版）八年級下冊“平行四邊形的性質”一節[2]（下文簡稱八下教材）的編寫就存在一些問題，值得商榷。

一、定義地位認識不清

中學數學是由概念、命題經推理證明組成的邏輯體系[3]。概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式，其中，概念是邏輯思維的細胞，是反映事物本質屬性和特征的思維形式。數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維形式[3]。因此，教材的編寫應重視概念在整個教材中的地位與作用。平行四邊形的定義是平面幾何的重要概念，它既是菱形、矩形的上位概念，又是學習平行四邊形性質和判定的基石。可以說，平行四邊形定義是平行四邊形整個章節學習的基礎——整章節知識的生長點、思維的出發點和經驗（推理方式）的獲取點，但八下教材未凸顯平行四邊形定義的重要性。

1.呈現形式上忽視平行四邊形定義的重要性

平行四邊形定義具有性質和判定雙重身份。定義作為性質時，它是平行四邊形所有性質中最根本的性質。然而，八下教材對平行四邊形的這一根本性質（兩組對邊分別平行）僅僅以小號字呈現，而由定義衍生的其他三個性質則用黑體字表述，并以定理冠名。顯然，這樣的呈現方式容易給師生造成平行四邊形定義不重要，但衍生的三個性質很重要的誤區。

2.學科邏輯上忽視平行四邊形定義的重要性

鐘啟泉教授指出：當一門學科的教育內容具體化為教材來編制的時候，我們面臨的重要研究視點與課題，首要是知識相互之間的內在關聯性，這就是教材的“學科邏輯”問題，或是學科知識結構的問題[1]。平行四邊形的定義準確揭示了平行四邊形的內涵或外延，它是構建平行四邊形知識邏輯系統的生長點，但八下教材在學科知識結構上忽視平行四邊形定義的重要性。

（1）平行四邊形定義是知識的生長點。基于知識系統的知識建構是研究數學的基本范式。由平行四邊形的定義，很自然提出問題：定義展示了邊這一基本要素的位置關系——兩組對邊分別平行，那么數量關系呢？角這一基本要素具有怎樣的性質呢？對角線這一非基本要素又具有怎樣的性質呢？基于定義，可以自然衍生出基本要素和非基本要素的一系列有序而富有關聯的問題。

（2）平行四邊形定義是方法的生長點。美國著名學者布魯納指出：不論我們教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構。平行四邊形章節的基本結構是定義——性質——判定，這一結構基于定義，用邏輯推理的方法演繹出了性質和判定，這是推理幾何的基本思想，為矩形、菱形、正方形以及其他問題的學習提供了思維方式和基本路徑，為根植知識（定義）系統提出新問題、生成新知識積累了經驗。

編寫建議：將平行四邊形的定義以性質定理冠名，且以黑體字呈現。同時，教材編寫時基于定義演繹出性質定理1、2、3。

二、學情把握不準

鐘啟泉教授指出：當一門學科的教育內容具體化為教材來編制的時候，我們面臨的第二個重要研究視點與課題是知識結構對于學習者的適切性，即教材的“心理邏輯”問題[1]。美國著名心理學家奧蘇貝爾認為：“如果要我只用一句話來說明教育心理學的要義，我認為影響學生學習的首要因素是他的先備知識（包括經驗）;研究并了解學生學習新知識之前具有的先備知識，進而配合設計教學，以產生有效的學習，就是教育心理學的任務。”“心理邏輯”和“先備知識”歸結為一點，即學情，因此，理解學生是教材編寫的基礎。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《標準2011》）指出：“教材編寫要符合學生的認知規律，創設合適的問題情境，設計有效的數學學習活動”[4]。八下教材“探索”欄目，通過旋轉得出平行四邊形是中心對稱圖形，進而猜想平行四邊形對邊相等、對角相等，對角線互相平分。編者的意圖是訓練學生動手、觀察、猜想的能力，這一操作符合研究幾何圖形性質的一般模式，但嚴重忽略了學情，抑制了數學抽象能力和數學思維能力的發展，屬于無效的數學學習活動。

1.忽視學生已有水平

平行四邊形是中心對稱圖形這一“先備知識”學生在7年級下學期已經具有。通過對教材7年級下冊第127頁“想一想”欄目的學習，學生已經對平行四邊形是中心對稱圖形有了感性認識。八下教材再次通過動手實驗得到平行四邊形為中心對稱圖形是高耗低效、甚至無效的數學活動。

從多次課堂觀摩來看，開展旋轉活動大約需要10分鐘，約占整個課堂時間的1/4，但這一活動并沒有激發學生的興趣、發展學生的思維，僅僅得到了兩個學生已知的猜想，從經濟學角度來看性價比不高。有研究者在課前對學生進行了前測，表明：絕大多數學生可以猜測、計算出平行四邊形四個角的度數，而只有極少數學生不正確;有的學生可以“猜測”出平行四邊形對邊相等[5]。也就是說，平行四邊形對邊相等、對角相等也是絕大部分學生的“先備知識”。

2.忽視學生認知規律

瑞士著名心理學家皮亞杰將兒童認知發展劃分為四個階段：感知運動階段（0～2歲）、前運算階段（2～7）、具體運算階段（7～12）和形式運算階段（12～15）。其中，在形式運算階段，兒童出現了接近成人水平的抽象邏輯思維，其思維超出了事物的具體內容和感知事實[6]。8年級學生，大都在14歲左右，抽象思維水平較高，邏輯思維層次有了較大發展。因此，這一階段幾何部分的學習應以邏輯思維、推理訓練為主，盡量減少實物展示、動手操作，否則將會抑制抽象能力的發展。

編寫建議：去掉教材中的“探索”欄目，基于定義提出問題，增加理性的推理論證活動，減少觀察、操作等實驗幾何活動。

三、課時安排失當

教學系統化既是推理幾何的根本方法，又是實現用幾何發展邏輯思維能力的核心途徑。用邏輯推理方法建立知識間的聯系，是A.A.斯托利亞爾所說的“數學材料的邏輯組織化”心理過程，這一心理過程符合人腦用盡可能少的神經激活構建反應外部世界的神經激活模式的求簡節能原理。同時，《標準2011》倡導：教材編寫應當體現整體性，注重內容之間的相互聯系，注重體現學生學習的整體性;教材的編排應是邏輯連貫的，教師交給學生的不應該是碎片化的知識[4]。因此，教材編寫要遵循邏輯化、系統化和簡約化。八下教材將平行四邊形性質設置為2個課時學習（第1課時學習性質定理1、2，第2課時學習性質定理3），值得商榷。

1.割離知識內在聯系

從性質本身來看，三個性質定理地位平等，沒有輕重之分。若分成2課時學習，則相當于人為設置障礙，割離了知識內在聯系，這不利于三個性質系統化學習。邊、角和對角線作為平行四邊形的要素，是不可分割的整體，對性質的學習理應整體發現、系統構建，分成2課時，則人為地將統一的性質分割開，勢必阻隔思維的一體化，不利于整體構建，不利于學生理解數學知識間的關聯、感受數學知識間的邏輯順序，也不利于推理幾何中探索、建立新知識體系方法的積累。

2.增加認知負荷

邊、角和對角線性質的一體化學習是思維的整體性、認知節能性的充分體現。分2課時學習，人為地設定了學生的思維：從教材編寫來看，第1課時只允許發現性質定理1、2，性質定理3只能在第2課時發現，這是對思維一體化的限制和阻斷。把性質定理3放在第2課時，學習時必然要對性質定理1、2進行回顧，還需要重新回到“探索”欄目，再次將學生的思維引領到發現對角線具有的特征上來，這相當于將學生火熱的思維冷卻后重新預熱、升溫。顯然，這樣的處理增加了認知負荷，不符合大腦的求簡節能原理。

編寫建議：將平行四邊形性質定理1、2、3系統編排，設置在1課時內學習。

四、內容安排不妥

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《標準2017》）對于教材的編寫提出了三點建議：1.教材編寫要有利于教師的教;2.教材編寫要有利于學生的學;3.教材編寫要處理好幾個關系：科學形態與教育形態之間的關系、過程與結果的關系、直接經驗與間接經驗的關系[7]。這三點可歸結為一點：教材的編寫有利于教學。因此，教材編寫要充分體現數學內容的邏輯體系，合理安排學習內容[4]。實踐表明，八下教材在內容安排上存在缺陷，亟待改進。

1.“試一試”太突兀

八下教材在性質定理1、2之后安排了“試一試”欄目。事實上，將平行線間距離相等這一性質編排在性質定理1、2之后，既不利于教師的一體化教，也不利于學生的系統化學，更不利于研究平面幾何套路（定義——性質——判定）的建構：（1）性質定理1、2之后編排平行線間距離相等這一性質顯得非常突兀，硬生生地卡在邊角性質與對角線性質之間，與邊、角、對角線的一體化學習格格不入，教師教棘手，學生學更是一頭霧水，可謂是“節外生枝”。（2）此處介紹平行線的性質不利于學生積累提出問題、構建研究方法的經驗——基于知識系統的知識建構（由定義展開對基本元素和非基本元素展開學習）。（3）教材對這一性質的介紹僅僅限于觀察、測量等感性認識，這與本章的主題——增加理性的推理論證活動、減少直觀相悖。

編寫建議：將平行線間距離相等這一內容編排在教材86頁判定定理3之后。同時，去掉本節中與這一性質對應的練習題。

2.“觀察”顯贅述

教材在探索環節，通過旋轉發現平行四邊形是中心對稱圖形，得到邊角相等關系。在第2課時觀察欄目，讓學生重新觀察第1課時中的探索過程得到對角線互相平分的猜想。事實上，對角線互相平分這一猜想可以與對邊相等、對角互補同時提出，不必為提出對角線互相平分這一猜想而單獨設置觀察欄目。這既不利于整體性思維、一體化研究，又不簡約。

編寫建議：去掉“觀察”欄目，對角線互相平分這一猜想基于平行四邊形的定義提出。

五、教材敘述不嚴謹

愛因斯坦指出：“數學之所以有很高聲譽，是因為數學給予精密自然科學以某種程度的可靠性。”而提供可靠性的根源在于數學的嚴謹性。教材作為數學知識的載體，編寫時應充分體現數學應有的邏輯性和嚴謹性。[4]但八下教材在敘述上不嚴謹。

1.錯將測量結果敘述為數學結論

數學中要論證一個結論成立，需根據假設（包括公理和已知的定理），按著形式邏輯推演出來。除此之外，不允許任何其他東西作為導出結論的依據。在實驗科學中，實驗結果是結論的重要依據，但在數學中，則不能以任何實驗結果作為結論的依據[8]。“試一試”欄目中內容為：“經過度量，我們發現這些垂線段的長度相等。由此得到平行線的又一性質：平行線間的距離處處相等。”顯然“垂線段的長度相等”是實驗結果，“平行線間的距離處處相等”是數學結論。而“試一試”欄目將數學實驗結果視為數學結論，與數學的嚴謹性相悖。

編寫建議：經過數學實驗得到的“平行線間的距離處處相等”不能冠名為性質，只能敘述為猜想，證明后再以性質命名。

2.錯將猜想敘述為定理

百度百科對數學猜想（或猜測）的解釋是：“不知其真假的數學敘述。”對定理解釋為：“經過受邏輯限制的證明為真的陳述。”顯然，猜想不等同于定理。當然，猜想一旦被證明即成為定理，猜想也只有被證明后才能成為定理。八下教材將猜想敘述成定理，實為不妥。

八下教材“觀察”欄目中的敘述為：“我們已經發現，？荀ABCD是一個中心對稱圖形，對角線交點O為對稱中心，有OA=OC，OB=OD，由此可得：平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分。”首先，？荀ABCD為中心對稱圖形是實驗結果，僅僅是數學猜想，其真實性未知;其次，將平行四邊形的對角線互相平分以性質定理3冠名，必然為真;再次，敘述中隱含的推理為：猜想（論據）——性質定理3（論題）;最后，從邏輯上看，作為論據必須真實、充分，如果論據是假的或未經證明，這就犯了“虛假理由”或“預期理由”的邏輯錯誤[3]。顯然，敘述中由一個真假性未知的猜想作為論據，得到數學定理，犯了“不能推出”的邏輯錯誤。

編寫建議：證明“平行四邊形的對角線互相平分”后，再冠以平行四邊形性質定理3這一稱號。

《標準2011》指出：教材編寫應體現科學性和整體性、教材內容的呈現應體現過程性、呈現內容的素材應貼近學生現實、教材內容設計應有一定的彈性、教材編寫應體現可讀性。這既為教材編寫指明了方向，也為衡量教材內容合理與否提出了標準。教材的編寫處于動態變化之中，需要與時俱進，需要在實踐中不斷修正和完善。

參考文獻

[1] 鐘啟泉.從課程標準的要素談什么是“好教材”[J].素質教育課程，2011（09）.

[2] 王建磐等.義務教育教科書數學八年級下冊[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[3] 翁凱慶.數學教育概論[M].成都：四川大學出版社，2007.

[4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2012.

[5] 金正龍.《平行四邊形的性質》的課堂前后測數據分析[J].科教導刊，2013（01）.

[6] 吳福元.皮亞杰形式運算思維述評[J].應用心理學，1984（03）.

[7] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[8] 韓彥彬.和成人學員談談數學的特征與學習[J].河北大學成人教育學院學報，2004（06）.

【責任編輯? 郭振玲】