數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張志龍

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能夠簡(jiǎn)單化、具體化抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且還能幫助學(xué)生提高解決難題的效率與準(zhǔn)確性，促進(jìn)其想象力發(fā)展，以幫助學(xué)生更加高效獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情，助推學(xué)生均衡、全面發(fā)展。基于此，本文主要以絕對(duì)值不等式教學(xué)為例，深入研究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學(xué);絕對(duì)值不等式;應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想就是連接起數(shù)和形，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中有著重要作用。進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)，需要教師抓住時(shí)機(jī)給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)其深入理解數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是綜合多種數(shù)學(xué)元素，如代數(shù)中的公式、數(shù)據(jù)，幾何中的圖像、圖形、符號(hào)等，充分發(fā)揮幾何圖形等元素所具備的形象可視化特點(diǎn)來(lái)取代數(shù)字、公式等邏輯性元素，基于形象化思維掌握問(wèn)題本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想。也可以說(shuō)是依托于具體化的幾何手段使抽象的代數(shù)問(wèn)題得到更好解決。數(shù)學(xué)學(xué)科具備極強(qiáng)抽象性，有著較大學(xué)習(xí)難度，尤其是對(duì)于剛剛升入高中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，普遍會(huì)被高難度的習(xí)題練習(xí)所困擾[1]。然而，數(shù)形結(jié)合思想恰好能夠?qū)⒊橄髷?shù)字與形象圖像有機(jī)整合，從而給抽象思維較差不能解決高難度數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)生開(kāi)辟光明大道，使其積極投入到數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中。數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用，既能解決學(xué)生的疑難問(wèn)題，也能促進(jìn)其想象能力發(fā)展，具有重要價(jià)值。

二、數(shù)形結(jié)合思想和絕對(duì)值不等式教學(xué)

絕對(duì)值不等式的解題方法通常包括平方法、定義法、零點(diǎn)區(qū)分法等，解題的關(guān)鍵就是將絕對(duì)值去掉。此時(shí)，有效滲透數(shù)形結(jié)合思想，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義，或應(yīng)用其函數(shù)圖像來(lái)破解絕對(duì)值不等式，則更為直觀高效。基于此，筆者將引入實(shí)例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

例1：已知函數(shù)f（x）=，要求計(jì)算不等式（fx）≥1的解集。

解析：代表x和-1的距離與x和2的距離差，（fx）≥1說(shuō)明該差≥1。通過(guò)數(shù)軸能夠得知，x在數(shù)軸上的位置如圖1所示，因此，該不等式解集是。此外，還能基于零點(diǎn)分區(qū)研究求解，可繪制函數(shù)f（x）和y=1的圖像，通過(guò)這個(gè)圖像得知f（x）解為[2]。

例2：設(shè)函數(shù)f（x）=。

（1）若a=-1，求不等式f（x）≥3的解;

（2）如，f（x）≥2恒成立，要求計(jì)算a的取值范圍。

解析：（1）當(dāng)a=-1，f（x）=意味著x到-1的距離與到1的距離和。如圖2所示，當(dāng)x在-1和1的中間，f（x）<2=3是不成立的，因x需要在-1左側(cè)或1右側(cè)。通過(guò)線段長(zhǎng)能夠得知，[3]。

（2），f（x）≥2恒成立代表f（x）最小值≥2。在f（x）最小時(shí)x在1和a中間，因此a應(yīng)在1左邊或右邊最少相距2的位置，因此。在常規(guī)視角下，本題需比較a和1，有3種探討情況，稍顯繁瑣。然而，通過(guò)有效滲透數(shù)形結(jié)合思想的方式，則有利于使相應(yīng)題目簡(jiǎn)單化、直觀化，更加便于學(xué)生高效學(xué)習(xí)[4]。

例3：設(shè)函數(shù)f（x）定義域是D，如存在正實(shí)數(shù)k，使對(duì)任意，皆有，且f（x+k）>f（x）恒成立，則函數(shù)f（x）是D的“k型增函數(shù)”。已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f（x）=，如f（x）是R上的“2015型增函數(shù)”，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）。

A.B.C.D.

解析：這道題的一般解法為基于奇函數(shù)性質(zhì)得f（x）解析式：f（x）=進(jìn)一步區(qū)分為x>0，x=0與x<0展開(kāi)深入探討。在這種情況下，引入數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)題意得知f（x）左移2015個(gè)單位后，f（x+2015）圖像位于f（x）上方，便能計(jì)算a的范圍。a<0或=0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，是滿足條件的。a>0時(shí)，由圖3得知f（x）右移2015個(gè)單位后，A點(diǎn)應(yīng)位于B點(diǎn)左邊，因此，6a<2015，也就是a<。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上，不管是排查知識(shí)盲點(diǎn)，還是新的設(shè)題方式，抑或不斷變化的思維角度，教師都應(yīng)善于掌握時(shí)機(jī)給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，并將其有效應(yīng)用到絕對(duì)值不等式、函數(shù)問(wèn)題、立體幾何等日常教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，助力其搭建完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，不斷提升數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]郝麗麗.高中生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想理解及運(yùn)用現(xiàn)狀的研究[D].華東師范大學(xué)，2019.

[2]張海峰.一個(gè)問(wèn)題引出的“微專題”——數(shù)形結(jié)合解絕對(duì)值不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（15）：11-12.

[3]吳遠(yuǎn)覺(jué).從數(shù)形結(jié)合角度解絕對(duì)值不等式[J].湖南教育（C版），2018（5）.

[4]蔣亞軍，魏定波.一道絕對(duì)值不等式試題的解法剖析及背景探究[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016（3期）：54-56.