□郜舒竹
小學數學課程內容中,“乘”作為一種運算,其初步認識通常安排在二年級,學生已經學習了“加”的運算后。把“乘”視為“相同加數求和”,也就是“重復加(Repeated Addition)”的過程,目的是使加的過程簡化。比如對于“2+2+2”,寫為乘的算式就是“2×3”或“3×2”。在小學數學課程與教學中,普遍認識為:
●乘的初步認識是以加為基礎的;
●乘的本質是加;
●乘是加的簡便運算。
事實上,“乘”與“加”這兩種運算存在很大差異。“乘”的想法并非源于“加”,更不僅僅是加的簡便運算。“乘”的想法在“數數(音:shǔshù)”的過程中就已經出現了,而且這樣的想法是先于“加”的。
美國哈佛大學數學教授吉斯·德芙林(Keith Devlin)于2008年在社交網站發文,強烈反對小學數學課程與教學中將“乘”定義為重復加,呼吁“停止重復加的說法”[1]。德芙林作為數學研究者,當然深知“乘”在數學中的意義。數學課程內容中,這樣的意義是一個不斷進化和演變的過程。
即便是低齡兒童,對于乘法的初步認識,“乘”與“加”的想法也是存在很大差異的。這里所說的“想法(Idea)”不同于通常所說的“算法”和“算理”,算法強調的是“操作(Manipulation)”和“程序(Pro?cedure)”,學習方式是“模仿+練習”,追求熟練,進而達到“又對又快”。“算理”是算法正確可行的理由或依據,這樣的理由或依據追求的是邏輯上的正確,而不是學生認知過程中的意義生成。想法強調“意義生成(Sense Making)”,追求的是“理解(Un?derstanding)”。
“乘”作為運算,其意義在小學數學課程內容中,呈現出不斷“進化(Evolution)”的動態特征。如果在小學中、低年級對乘運算形成的認識是“重復加”,那么到高年級學習諸如“0.2×0.3”或“小數和分數的運算,就會出現認知困難,這時的“乘”,已經失去了“加”的意義。……