“乘”的想法始于哪兒

□郜舒竹

小學數學課程內容中，“乘”作為一種運算，其初步認識通常安排在二年級，學生已經學習了“加”的運算后。把“乘”視為“相同加數求和”，也就是“重復加（Repeated Addition）”的過程，目的是使加的過程簡化。比如對于“2+2+2”，寫為乘的算式就是“2×3”或“3×2”。在小學數學課程與教學中，普遍認識為：

●乘的初步認識是以加為基礎的；

●乘的本質是加；

●乘是加的簡便運算。

事實上，“乘”與“加”這兩種運算存在很大差異。“乘”的想法并非源于“加”，更不僅僅是加的簡便運算。“乘”的想法在“數數（音：shǔshù）”的過程中就已經出現了，而且這樣的想法是先于“加”的。

一、“重復加”的窘境

美國哈佛大學數學教授吉斯·德芙林（Keith Devlin）于2008年在社交網站發文，強烈反對小學數學課程與教學中將“乘”定義為重復加，呼吁“停止重復加的說法”[1]。德芙林作為數學研究者，當然深知“乘”在數學中的意義。數學課程內容中，這樣的意義是一個不斷進化和演變的過程。

即便是低齡兒童，對于乘法的初步認識，“乘”與“加”的想法也是存在很大差異的。這里所說的“想法（Idea）”不同于通常所說的“算法”和“算理”，算法強調的是“操作（Manipulation）”和“程序（Pro?cedure）”，學習方式是“模仿+練習”，追求熟練，進而達到“又對又快”。“算理”是算法正確可行的理由或依據，這樣的理由或依據追求的是邏輯上的正確，而不是學生認知過程中的意義生成。想法強調“意義生成（Sense Making）”，追求的是“理解（Un?derstanding）”。

“乘”作為運算，其意義在小學數學課程內容中，呈現出不斷“進化（Evolution）”的動態特征。如果在小學中、低年級對乘運算形成的認識是“重復加”，那么到高年級學習諸如“0.2×0.3”或“小數和分數的運算，就會出現認知困難，這時的“乘”，已經失去了“加”的意義。……