螺旋軸流式油氣混輸泵導葉內非定常流動DMD分析

張人會 王少華 OSMAN JUMA S A

(1.蘭州理工大學能源與動力工程學院， 蘭州 730050； 2.蘭州理工大學甘肅省流體機械及系統重點實驗室， 蘭州 730050)

0 引言

隨著遠洋油田的開發，氣液多相混輸技術因其顯著的經濟效益[1-3]而受到各國的重視。螺旋軸流式油氣混輸泵具有適應大流量工況、結構緊湊、對固體顆粒不敏感等優點而廣泛應用于油田開發，其工況較為復雜，含氣量可以在0～100%之間變化。由于在高含氣量下泵內容易產生氣堵現象，導致流道堵塞，故要求螺旋軸流式油氣混輸泵必須同時具備泵和壓縮機的功能。 螺旋軸流式油氣混輸泵設計理論尚不成熟，對其內部復雜的氣液兩相流動進行研究具有重要意義。近年來，隨著計算機技術的發展，許多國內外學者采用實驗和數值模擬方法研究螺旋軸流式油氣混輸泵的內部流場[4-11]。

動態模態分解(Dynamic modal decomposition，DMD)方法是近年發展起來的研究復雜流場流動機理的重要方法[12-16]。文獻[17-18]在Koopman算子的基礎上提出了處理非定常流場的動態模態分解方法，運用模態分解方法可以對復雜高維流場進行低階近似，進而提取出不同頻率的流場模態特征。文獻[19]通過對離心壓氣機蝸殼內非定常流場的動態模態分解，發現了蝸殼內流場的擾動成因。文獻[20]運用DMD研究了葉柵不同攻角下的流場結構，實現了對流場的低維近似。文獻[21]對風力機翼型在大攻角下一個周期的流場進行了重構，再現了流動時域流場。文獻[22]對比了DMD和本征正交分解(Proper orthogonal decomposition，POD)對流場的分解效果，發現DMD可應用的流動范圍更加廣泛。DMD方法認為流場是由不同頻率的流動結構組成，利用DMD可以分解出不同頻率的流場信息。本文提出采用DMD方法對螺旋軸流式油氣混輸泵導葉中的非定常流場進行分解，以系統研究復雜流動動態模態的流場結構及其對應的物理機制。

1 數值計算

1.1 數值計算模型

以YQH-90型螺旋軸流式油氣混輸泵為研究對象，其計算域由進口段、出口段、一個葉輪及導葉組成，葉輪葉片數Zy=5，導葉葉片數Zd=8+8(長、短葉片)，葉輪軸向長度Ly=54 mm，導葉軸向長度Ld=54 mm，葉輪外徑Dy及導葉外徑Dd為230 mm，轉速為2 950 r/min，其三維模型及主要計算區域網格如圖1所示，對所有計算區域采用結構化網格進行離散，網格總數量為568萬。考慮到氣液混輸過程中流動的復雜性，兩相流中氣相含量隨時變化，假設流動為不可壓的細泡狀流，氣液兩相流模型采用精度較高的歐拉雙流體模型[4,23]，在計算過程中可以合理考慮相間作用力的影響。采用的k-ωSST湍流模型對旋轉流體機械具有很好的適用性[24]，又能滿足穩定性和精度要求，該模型考慮了湍流主剪切應力輸運的影響，對近壁區域網格進行加密，近壁區第1層網格y+(網格中心到壁面的距離)約為3，節點位于粘性底層內，滿足k-ωSST湍流模型對近壁區網格尺寸的要求[25]。對含氣量為30%，流量為80、90、100、110、120 m3/h下的非定常流場以及外特性進行分析，采用質量流量進口和壓力出口邊界條件，采用多坐標系方法處理葉輪的旋轉區域，為保證計算精度，以葉輪旋轉2°為一個時間步長Δt，非定常計算的時間步長Δt=1.13×10-4s。

圖1 計算區域幾何結構及網格Fig.1 Geometric structure and grid1.葉輪 2.導葉 3.進口 4.輪轂 5.葉輪葉片 6.輪緣 7.導葉長葉片 8.導葉短葉片 9.出口

圖2為數值計算的揚程及效率與實驗數據的對比圖，從圖中可以看出計算揚程略低于實驗揚程，效率只有在流量低于100 m3/h時略低于實驗效率，在其它流量點效率誤差較小，額定工況點揚程誤差6.3%，效率誤差1.5%。總體上數值計算結果與實驗結果近似一致，數值計算結果與實驗符合良好。

圖2 數值模擬與實驗的混輸泵外特性曲線對比Fig.2 Comparison of performance curves of pump by numerical simulation and experiment

1.2 數值計算結果分析

圖3a～3c(圖中Q表示流量)分別為30%含氣量下不同流量葉輪及導葉不同葉高處(span)的氣相體積分數分布，由圖中可以看出，氣液兩相流在葉輪內離心力作用下，葉輪內從輪轂到輪緣液相體積分數逐漸增大，span為0.7和0.9截面上明顯可以看到葉片出口處高含氣量尾跡流。在整個導葉內從輪轂到輪緣氣液相態分布基本趨于均勻。由圖3a～3c不同流量工況下的相態分布對比可知，隨著流量的增大葉輪內相對流速逐漸增大，葉輪內氣液分離現象加強，span為0.1和0.3截面上氣相體積分數增大明顯。不同流量下導葉內氣相體積分數基本趨于恒定。

圖4為葉輪及導葉內不同徑向高度圓周面內的速度分布，從圖中可以看出，液體進入葉輪流道后經葉片做功，液體速度迅速增加并向下游移動，隨著旋轉葉輪內的高速流體沿軸向進入導葉，導葉將動能轉化為壓力能，液體的速度下降。在span為0.7和0.9處可以看出明顯的尾跡流及動靜干擾現象。隨著徑向高度的增大，葉輪內圓周速度逐漸增大，從而導致其氣液兩相流速的增大。

圖3 不同流量下葉輪及導葉內氣相體積分數分布Fig.3 Gas phase distributions in impeller and diffuser at different flow rates

圖4 速度場非定常特性Fig.4 Unsteady property of velocity field

2 流場的動態模態分解方法

利用DMD方法對樣本數據進行分析，將各樣本流場數據看作一個矢量集，即

(1)

其中vi表示第i個流場數據，上述定義中下標1表示流場序列中第1個元素，上標n表示流場序列中最后一個元素，這個序列的時間間隔為常量Δt，可以假定vi+1與vi之間存在一個線性映射關系A，即

vi+1=Avi

(2)

式中A——系統矩陣

則原始數據矩陣寫為

(3)

(4)

認為得到的矩陣A包含了原始流動的特征結構及時空演化信息，但A是一個反映流場內在動力學機制，且具體形式未知的高維矩陣，所以用A的伴隨矩陣S來作為矩陣A的低維近似矩陣,得到

(5)

(6)

式中U、W——酉矩陣Σ——對角陣

可以得到低維近似矩陣的表達式為

(7)

式中UH——U的共軛轉置矩陣

動態模態演化過程的基模態為

φi=Uyi

(8)

式中yi——低維近似矩陣特征向量

將特征值表達成對數的形式，實部反映了某一模態隨時間的增長或者衰減，虛部包含了某一模態的頻率信息，即

lg(λi)/Δt=Re(ωi)+Im(ωi)

(9)

fi=Im(ωi)/(2π)

(10)

式中fi——某一模態對應的頻率

λi——矩陣S的特征值

定義模態振幅為α，即

α=Y-1UHv1

(11)

式中Y——特征向量矩陣

求出模態振幅α，其中αi為第i個模態的振幅，代表了該模態對初始流場v1的影響大小，得到的DMD模態φi按照該振幅進行排序。

非穩態流場可以由各階模態的線性組合進行重構，即

(12)

3 結果與分析

3.1 速度場DMD分析

由于旋轉機械內流場為周期性流場，以葉輪旋轉一周為一個周期，期望得到該周期內的流場動態演變規律，截取的流場數據為span等于0.5的流場數據，選取該截面在葉輪旋轉一周內180個流場的速度場數據進行DMD分析。

圖5(圖中A、B表示耗散模態，1～4表示穩定模態)為動態模態方法得到的特征值實部與虛部在單位圓上的分布，從圖中可以明顯觀察到除少數點外所有點基本處于單位圓附近，由DMD理論可知若其特征值位于單位圓上，則表示該特征對應的流場結構在時間域上穩定，若特征值在單位圓內，則表示對應的流場結構隨時間逐漸耗散，若特征值位于單位圓外，則表示該部分特征隨時間逐漸增長[27]。所以DMD得到的模態基本處于穩定狀態，前7階振幅較大的模態中就有5階模態衰減很快，各階頻率模態的振幅如圖6所示。為分析其單位圓上穩定模態特征，選取穩定的前4階模態如圖5、6中標記的紅色點。

圖5 速度場特征值分布Fig.5 Distribution of velocity field eigenvalues

圖6 速度場模態振幅與頻率的關系Fig.6 Relationship between modal amplitude and frequency of velocity field

圖6為模態振幅與頻率的關系，由于特征值是共軛復數的形式，所以各模態在圖6中關于橫坐標零值左右對稱，如圖中紅色點所示選取振幅較高且穩定的前4階模態作為流場的主要模態來分析流場的流動結構，圖5、6中點標注的A、B模態，振幅較高但隨時間衰減迅速，是耗散模態。從圖中可以看出1、2階模態振幅較高，表明對流場的貢獻較大。

圖7為旋轉周期內最后一個時刻的導葉流場CFD與DMD模態重構對比圖，導葉內流場由前4階模態疊加重構，對比分析可知前4階模態基本可以完整表示出整個流場的流動結構，平均相對誤差1.51%，前4階主要模態可以較精確地反映流場的主要流動結構特征。

圖7 主要模態疊加重構速度場與CFD速度場對比Fig.7 Comparison of reconstructed velocity field with CFD result

前4階模態中，1階模態是流場的基本模態，其頻率為零，是靜模態，代表了非穩態流場的基本穩態結構，原始流場可以認為是在穩態結構基礎上疊加不同頻率的振蕩模態而形成的，2階模態是漂移流模態，其頻率也為零，漂移流模態表示了流場均值隨時間的演化過程[28]，1階和2階模態均為基本模態。圖8為速度流場的基本模態場，從圖中可以看出葉片工作面從進口到出口80%的位置以及小葉片壓力面出口位置的流場出現了很明顯的高速區，

該而且隨時間變化該模態場特征基本呈穩定狀態，流場特征是由導葉葉片型線與流動間的沖角引起的。基本靜模態能夠反映由流道幾何特征引起的穩態流場特征，因此對于泵流道的水力優化具有積極的參考價值。一個旋轉周期內，導葉內基本模態場有微弱的變化，基本模態中的這種變化是由漂移模態引起的。

圖8 速度場基本模態演變過程Fig.8 Evolution of basic modal of velocity field

圖9是耗散模態A的演變過程，可以看到隨時間推移導葉內模態能量迅速衰減，其只對初期的流場有一定的影響，隨時間的推移該模態很快被衰減耗散，在整個非定常流場發展過程中并不起主導作用。

圖9 速度場5階模態演變過程Fig.9 Velocity field evolution of the order five modal

3階模態頻率為242 Hz，與葉輪葉頻(245 Hz)一致，4階模態頻率為488 Hz，是葉頻的倍頻，表征了葉輪旋轉時形成的對流場動靜干擾作用。圖10為速度場3階模態在不同時刻(t1=0 s,t2=0.000 791 s,t3=0.001 582 s,t4=0.002 373 s)的動態演變過程，從圖中可以看出由于葉輪出口流動的不穩定性，在導葉進口背面不斷產生向下游發展的漩渦，漩渦成對出現。在時間周期T內共產生5對反向旋轉并向下發展的漩渦，其頻率與葉輪葉頻完全一致，漩渦在向下游擴展的過程中不斷破碎分解小渦，并逐步耗散。由于葉輪出口的尾跡流引起了葉輪導葉的相互干擾作用，3階模態反映了動靜葉柵干擾的模態特征。

圖11為速度場4階模態的動態演變過程(t1=0 s,t2=0.000 791 s,t3=0.001 582 s,t4=0.002 373 s)，其頻率為2倍葉頻，其對流場的影響也主要在導葉進口位置，與3階模態一樣不斷有成對的渦向下游發展，并且也不斷地破碎分解。但是由圖11可以看出，4階模態的能量比3階小得多，在導葉進口部位表現較明顯， 渦在向導葉下游發展的過程中逐步耗散，對導葉下游流場的影響甚小。4階模態場特征反映了動靜葉柵干擾的高階特征。前幾階主要模態已經能呈現流場的主要流動結構，高階模態對流場的高階微小特征起到補充描述作用，DMD方法具有可以通過較少的模態表現較復雜流動結構的特性。

3.2 相態場DMD分析

對流量120 m3/h、span為0.9截面內一個周期的相態場進行DMD分析，圖12為動態模態方法得到的特征值實部與虛部在單位圓上的分布，從圖中可以觀察到除少數點外所有點基本處于單位圓附近，處于穩定極限環狀態，圖13是模態振幅與頻率的關系，表示了各階模態的能量大小，綜合圖12與圖13選擇出穩定的1階、2階及3階模態進行分析，如圖中標注出的紅色點模態。

圖10 速度場3階模態演變過程Fig.10 Velocity field evolution of the order three modal

圖11 速度場4階模態演變過程Fig.11 Velocity field evolution of the order four modal

圖12 相態場特征值分布Fig.12 Distribution of GVF eigenvalues

圖13 相態場模態振幅與頻率的關系Fig.13 Relationship between modal amplitude and frequency of GVF

前3階模態中1階模態為流場的基模態，頻率為零，流場結構基本不隨時間變化，在各階模態中所占的能量最高。圖14為相態場的基模態場結構，可以看出在導葉中段穩定存在一個高含氣量區域，該區域是葉輪葉片尾部的高含氣量區域脫離葉片進入導葉形成的，在導葉長葉片背面進口，小葉片工作面出口以及長葉片工作面存在含氣量較低的區域，對比導葉內速度分布可知在span為0.9截面上流速較高的區域與低含氣量分布區域存在相關性，相反低速區域的含氣量相對較高，較高的流速導致流動分離嚴重，在半徑較大的截面處含氣量下降。因此相態場的基本模態與速度場基本模態一樣，是由其流道幾何特征引起的穩定相態場分布特征。

圖14 相態場基本模態Fig.14 Basic modal of GVF

圖15為相態場2階模態的動態演變過程(t1=0 s,t2=0.000 904 s,t3=0.001 808 s,t4=0.002 712 s)，其頻率為葉頻，一個周期內共有5對高低不同的含氣量流場區域進入導葉，經導葉小葉片作用分為兩部分向下發展并耗散， 圖16為相態場3階模態的動態演變過程(t1=0 s,t2=0.000 904 s,t3=0.001 808 s,t4=0.002 712 s)，頻率為2倍葉頻，也是周期性模態，每個周期內有10個高含氣量區域進入導葉，逐步向下游耗散。圖15、16反映了動靜葉柵干擾對下游相態場的影響，其各階模態的能量也是隨著階次的增加迅速下降，相態場動態模態特征與速度場動態模態特征基本一致。

圖15 相態場2階模態演變過程Fig.15 GVF evolution of the order two modal

圖16 相態場3階模態演變過程Fig.16 GVF evolution of the order three modal

4 結論

(1)螺旋軸流式油氣混輸泵內瞬態氣液兩相流場可以分解為能量及頻率不相同的流場特征，包括頻率為零的基本模態特征、葉頻及其倍頻的動靜干擾流場特征及逐步耗散的流場特征。

(2)速度場基本模態頻率為零，其導葉內流場反映了導葉型線等流道幾何特征引起的穩態流場特征。3、4階模態分別反映了動靜干擾引起的葉頻及倍頻非穩態特征，在導葉進口形成正負交替，且與頻率一致的漩渦影響導葉內流場，漩渦在向導葉下游發展的過程中逐步耗散。

(3)相態場基本模態特征表明，在導葉葉高較大的截面上，流速越高，則含氣量越低；相態的高階場動態模態特征與速度場動態模態特征基本一致。頻率為2倍葉頻的速度場模態及相態場模態的特征與其葉頻模態基本一致，但其能量比葉頻模態顯著減小。基于主要模態場的降階重構模型可以較精確地進行流場預測。