四面體式折展機械臂設計與分析

郭金偉 許允斗,2 張國興 姚建濤,2 趙永生,2

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室， 秦皇島 066004； 2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室， 秦皇島 066004)

0 引言

空間折展機械臂已廣泛應用在航空航天、工業和農業等領域，其主要作用是在有效支撐條件下實現遠距離作業[1-9]。因此，折展機械臂通常需要具有大收攏率、輕質量和高剛度的特性[7]。

空間折展機械臂作為可展機構的一個重要分支，其相關技術在國內外已較為成熟。國外折展機械臂主要有薄壁管式折展機械臂[10]、伸縮筒式折展機械臂[11-13]、盤繞式折展機械臂[14-15]和鉸接式折展機械臂[16-17]。與前幾種折展機械臂相比，鉸接式折展機械臂的展開剛度大、重復展開精度高，代表了空間折展機械臂的主流發展方向。比較典型的鉸接式折展機械臂有AEC-Able工程公司為國際空間站太陽能面板開發的FAST折展機械臂和ADAM折展機械臂[15-17]。首爾大學[18]根據折紙思想，設計了一種自鎖式折展機械臂機構，該機構精致小巧、質量輕、自鎖后剛度大，在無人機的運載下能夠到達人類難以到達的地方完成作業。

我國在折展機械臂的力學特性構建、制造機理以及在太空中的應用方面也取得了較大的進展。GUO等[19]研究了一種工業涂裝機器人伸縮臂的拓撲原理。楊慧等[20]針對一種三棱柱伸展臂的超彈性鉸鏈進行了力學建模與分析。單明賀[21]研制了一種三棱柱構架式可展機械臂，利用三根絲杠驅動收展，利用節點法推導了折展機械臂的剛度表達式，并分析了該折展機械臂的動力學、靜力學特性。鄧強[22]提出了錐形折展機械臂，進行了構型設計和驅動設計，分析了錐形折展機械臂的折展機理，并對其進行優化。文獻[23]提出一種三棱柱可折展單元機構。文獻[24]提出一種四棱柱型剪叉式空間折展機械臂，在分析折展機械臂工作原理的基礎上，確定了剪叉折展單元的構型特征，基于螺旋理論求解了折展機械臂折展單元的自由度。文獻[25]提出一種基于豆莢桿的三棱柱式可展開薄膜支撐臂形式，并進行了豆莢桿支撐臂建模和基于動力學模型的優化研究。

現有折展機械臂機構大多為一維折展機械臂，其末端姿態通常不能任意改變，在一定程度上限制了折展機械臂的空間作業范圍。為了滿足各類復雜空間作業的需求，實現一物多用，探索多維度、姿態可調和高剛度的空間折展機械臂機構成為一項重要研究議題。本文提出一種基于高剛度四面體單元機構的折展機械臂，對其構造方式和運動特性進行分析，對機構的折展特性和運動特性進行驗證。

1 四面體單元及其組成的折展機構

1.1 單自由度四面體單元

一種R-RRR四面體折展機構的三維模型和機構簡圖如圖1所示。該機構包括：2個完全相同的等邊三角形折疊板ACD、BCD和1根同步折疊桿AB，同步折疊桿包括2根等長連桿和1個轉動副。2個三角形折疊板由轉動副連接，共用三角形折疊板的棱邊CD，該轉動副的轉動軸線沿CD方向；同步折疊桿通過2個轉動副分別與2個三角形折疊板連接，3個轉動副的轉動軸線均與CD方向平行。當同步折疊桿處于伸直狀態，機構為完全展開狀態，此時該單元機構為四面體結構。

圖1 R-RRR四面體單元Fig.1 R-RRR tetrahedral deployable unit

如圖1所示四面體機構可視為兩分支并聯機構，定平臺BCD、動平臺ACD和分支1(R)、分支2(RRR)，在分支1的轉動副中心建立坐標系OXYZ，X軸沿CD方向，Z軸垂直定平臺BCD向上方向。根據螺旋理論，兩分支的運動螺旋表示為

(1)

(2)

式中yA——節點A的Y方向坐標分量

yB——節點B的Y方向坐標分量

zA——節點A的Z方向坐標分量

zB——節點B的Z方向坐標分量

分別對式(1)和式(2)中的運動螺旋求反螺旋，得到兩分支的約束螺旋表示為

(3)

(4)

因此，R-RRR四面體機構中存在3個過約束，分別為沿Y、Z軸的約束力偶和沿X軸的約束力，不存在冗余約束和局部自由度，根據G-K公式可計算該機構的自由度數為

(5)

式中m——自由度數

d——階數n——構件數

g——運動副數

fi——第i個運動副具有的單自由度數

1.2 基于四面體單元構造的兩種折展機構

利用R-RRR四面體單元機構可拓展形成多種大型折展機構，如圖2所示。圖2a為基于四面體單元的折展機械臂機構，該機構整體呈螺旋狀，是由多個四面體單元按照螺旋線方向依次拓展形成。圖2b為基于四面體單元的桁架機構，該機構呈口徑為六邊形的柱狀，是由多個四面體單元按照圓周方向依次拓展形成。這兩種折展機構均可通過改變四面體單元大小及個數拓展形成不同尺寸的大型折展機構。

圖2 基于四面體單元的折展機構Fig.2 Two deployable mechanisms based on tetrahedral unit

2 折展機械臂機構運動特性分析

基于四面體單元的折展機械臂機構由多個四面體單元按照一定排列方式連接而成，以圖3所示2個四面體機構為例，該機構中包括四面體單元ABCD和四面體單元EACD，在四面體單元ABCD中，其自由度為1，選擇同步折疊桿中間轉動副為驅動副，折疊過程中機構始終滿足

(6)

O1PA=[0lO1AcosαlO1Asinα]T

(7)

式中a——三角形折疊板邊長

b——同步折疊桿中的連桿長度

θ——同步折疊桿中兩連桿之間的角度，即隨時間變化的驅動角

lO1A、lO1B、lAB——對應下標節點之間的長度

α——三角形折疊板ACD和BCD間的角度

將式(6)代入式(7)，得到四面體單元折疊過程中末端節點A的位置隨時間變化關系為

(8)

聯立式(6)和式(8)可得節點A的速度為

(9)

動平臺ACD姿態表示為

(10)

圖3 2個四面體單元組合機構簡圖Fig.3 Schematic of combined mechanism based on two tetrahedral units

同理，在第2個四面體單元EACD中，可得到其末端節點E的位置O2PE和速度O2VE在坐標系O2X2Y2Z2下的表示。坐標系O2X2Y2Z2和坐標系O1X1Y1Z1之間的位置和姿態矩陣可表示為

(11)

因此，末端節點E的位置和動平臺AED的姿態在坐標系O1X1Y1Z1表示為

(12)

基于上述分析，基于四面體單元構造的折展機械臂機構具有多自由度姿態可調性，根據四面體單元及其連接方式，折展機械臂機構自由度數Mn、各節點的位置O1Pn、各折疊板姿態O1Rn和速度O1Vn可以表示為

(13)

式中N1——四面體個數，N1≥1

3 折展機械臂機構仿真分析

3.1 運動仿真校驗

基于ADAMS仿真分析軟件建立1.1 m四面體折展機械臂機構的仿真模型，圖4a為完全展開狀態模型，該機構由7個四面體單元組成，因此該機構具有7個自由度。仿真分析時，將7個驅動添加到位于同步折疊桿中間的同步鉸鏈處。在該機構中，通過控制驅動可實現同步折疊桿的折疊角變化，進而實現折展機械臂末端的姿態調節如圖4b、4c所示。仿真得折展機械臂機構最終收攏狀態如圖4d所示。

圖4 1.1 m四面體折展機械臂Fig.4 1.1 m tetrahedral deployable mechanical arm

如圖4所示，r0表示最底層三角形折疊板的外接圓半徑，r0=0.21 m，l表示三角形折疊板棱邊的長度，l=0.2 m，r1表示三角形折疊板中垂線長度，r1=0.35 m，h0表示折展機械臂完全展開時的高度，h0=0.55 m，h1表示折展機械臂完全收攏后的高度，h1=0.064 m，計算長度為1.1 m四面體折展機械臂的收攏率為

(14)

將折展機械臂機構的各驅動設置為18(°)/s，實現折展機械臂機構在5 s時收攏，測量末端節點P的位移和速度隨時間變化曲線，其理論值和仿真值分別如圖5所示。

由圖5可知，折展機械臂機構末端節點在收攏過程中向固定機架靠攏，位移由初始的0.94 m逐漸減小到0.35 m，速度由初始的0.013 m/s逐漸增大到0.32 m/s。由于仿真模型為各構件的實體尺寸，理論值與仿真值存在一定誤差，仿真結果驗證了理論分析的正確性。

3.2 靜力學分析

為了保證折展機械臂實現支撐及遠距離作業等任務，折展機械臂應具有足夠高的剛度及結構穩定性，選取4個四面體單元組合機構對其進行靜力學分析。應用SolidWorks繪制機構的三維模型，導入到Workbench有限元仿真分析軟件中，并進行材料屬性、接觸、網格劃分及邊界條件等設置，固定一端三角形折疊板，在末端三角形折疊板端面分別施加X、Y、Z方向的外力，大小為100 N。求解得到3個方向作用力下組合機構的變形量，如圖6所示。

由圖6可知，機構在外力作用下X、Y、Z方向的最大變形分別為5.973 3×10-5、1.007 7×10-4、4.026 8×10-5m，變形滿足要求，機構具有較大剛度。

3.3 模態分析

折展機械臂機構的振動模態是機構設計的重要指標之一，選取4個四面體單元組合機構對其進行模態特性分析。當機構處于完全展開狀態時，機構呈現結構態，因而分析完全展開狀態時機構的模態。在Workbench中進行機構的模態分析，得到前6階模態，其振型如圖7所示。

圖6 機構變形圖Fig.6 Deformation of combined mechanism

圖7 前6階模態振型圖Fig.7 Mode shapes diagram of the first six modes

模態仿真分析表明，低階模態下機構振型表現為整體振動，整體變形明顯；隨著模態增大，機構振型表現為局部振動，局部變形明顯。

4 實驗

加工和裝配折展機械臂原理樣機一臺，并進行折展實驗研究，如圖8所示。

圖8 原理樣機Fig.8 Principle prototype

機構完全折疊狀態如圖8a所示。通過施加外力使第1個四面體單元展開，如圖8b所示，同理，其他單元也能夠逐級展開，通過控制同步折疊桿的折疊角度實現末端姿態調整。最后，采用懸掛法使樣機在重力作用下完全展開，如圖8c所示。實驗結果驗證了折展機械臂機構的折展性。

5 結論

(1)基于四面體單元采用不同的構造方式提出兩種折展機構，基于螺旋理論分析了四面體單元機構的自由度，由多個四面體單元構造的折展機械臂的自由度數與單元數相同。

(2)分析得到由多個四面體單元組合的折展機構的自由度、各節點位置、速度及姿態的分布規律，并進行了仿真驗證。

(3)通過實驗驗證了機構的折展性。與單一方向視為折展機械臂相比，本文提出的多自由度、大收攏率及姿態可調的折展機械臂具有明顯優勢。