三平移機構設計與運動學符號解及性能評價

沈惠平 吉 昊 許正驍 楊廷力

(常州大學現代機構學研究中心， 常州 213016)

0 引言

三平移(3T)并聯機構具有少自由度機構獨有的結構緊湊、控制容易、造價低等優點，具有良好的工程應用前景[1-4]。

目前，已有許多國內外學者對其展開了研究。1988年，ClAVEL[5]設計了著名的Delta 機構，此后，一些學者提出了相應的類Delta[6-8]機構；KONG等[9]設計了一種新型的3-CRR機構，其特點在于不存在明顯的奇異位置；李仕華等[10]設計了一種3-RRUR型3平移機構；楊廷力等[11-12]基于POC理論設計了多種新型3T機構，并分析了它們的拓撲特性；ZENG等[13]設計了一種三平移Tri-pyramid并聯機構，分析了該機構的工作空間等特性；MAHMOOD等[14]設計了一種3-[P2(US)]的3T機構，分析了該機構的靈巧度等特性；李坤全等[15]以3-RPRP并聯機構為原型，設計了一種全柔性并聯機構；毛鵬飛[16]研究了不同分支的三平移并聯機構；杜康等[17]研究了基于POC方程的三平移并聯機構拓撲結構設計方法；賈明星[18]研究了3-RRC機構的運動和力傳遞性能，并分析了不同的支鏈布置方法及驅動關節對傳遞性能的影響；韓帥帥[19]以3-CPR機構為模板，提出了5種新機構，并對其進行分析；朱偉等[20]設計了一種弱耦合2RRP_aR+PP_aP三平移操作機器人機構，并分析其主要拓撲特征；葉海燕等[21]提出了空間曲線三平移機構的型綜合及分類方法；孫馳宇等[22]對(RPa‖3R)2R+RPa型三平移機構進行剛度建模及分析。

文獻[23]設計了一種新型3T機構，與上述大多數三平移機構類似，該機構并不具有正向位置符號解，這使得該機構的誤差分析、動力學分析和尺度綜合較為復雜。一般地，機構位置正解的形式有解析解、數值解，而解析解包括封閉解、符號解。其中，位置符號解對運動學和動力學性能分析最方便，因為可以用輸入量表示全局奇異位形方程，進而進行操作度的性能評估及結構參數的全域優化；較易建立運動學誤差模型，并進行影響因素的敏感度分析；計算工作空間方便、高效、準確；動力學建模方便、高效。然而，目前具有正向位置符號解的并聯機構還較少。

本文根據基于方位特征方程(Position and orientation characteristics, POC)的并聯機構拓撲結構設計理論和方法，設計一種具有正向位置符號解的新型三平移(3T)并聯機構。分析該機構的POC集、自由度及耦合度(κ=0)等拓撲特征，對其進行運動學位置建模與分析，求得該機構位置正解符號表達式，基于逆解表達式推導該機構的工作空間；根據并聯機構運動/力傳遞性能指標[24]對該機構進行運動/力性能分析，即基于螺旋理論求得各支鏈傳遞力旋量與約束力旋量，求得該機構各支鏈的輸入傳遞指標、輸出傳遞指標與局部傳遞指標表達式，得到兩種指標曲線分布圖；根據約束力旋量與輸入、輸出運動旋量的互易積，以及傳遞力旋量與輸入、輸出運動旋量的互易積等分析機構的奇異位型；最后，根據局部傳遞指標曲線評價機構距離奇異位型的遠近。

1 機構拓撲設計及分析

1.1 機構設計

本文設計的具有正向位置符號解的3T并聯機構如圖1所示，定平臺0(導軌)與動平臺1之間通過兩條混合支鏈Ⅰ、Ⅱ連接。

圖1 具有正向位置符號解的3T并聯機構Fig.1 3T parallel mechanism with forward position symbol solution

混合支鏈Ⅰ由移動副P1、P2，平行四邊形副Pa1，轉動副R11、R12、R1及R2組合而成。其中，移動副P1與定平臺上的一側導軌相連，然后，與軸線平行的轉動副R11、R12依次串聯，組成子鏈SOC1；移動副P2與移動副P1安裝于同一導軌上，平行四邊形副Pa1與之串聯，組成子鏈SOC2，再將2條子鏈SOC1和SOC2，以R12、Rb1、Rc1共線的方式組成一個子并聯機構(Sub-PM)，而Sub-PM中所有轉動副軸線平行于定平臺0所在平面；最后，將2個軸線平行且垂直于定平臺0平面的轉動副R1、R2與Sub-PM串聯組成混合支鏈Ⅰ，且混合支鏈Ⅰ通過轉動副R2與動平臺相連。

混合支鏈Ⅱ由移動副P3、平行四邊形副Pa2、轉動副R3、R4組成，其中，移動副P3與定平臺上的另一側導軌相連；然后，再與平行四邊形副Pa2串聯，轉動副R3、R4分別位于平行四邊形副兩條短邊的中點，支鏈Ⅱ通過轉動副R3與動平臺1相連接。

1.2 并聯機構拓撲分析

1.2.1POC計算

機構的POC方程計算公式[11]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

因此，子并聯機構輸出構件(p點)的運動為YOZ平面內的兩維平動。

圖2 HSOC1中的子并聯機構Fig.2 Sub parallel mechanism in HSOC1

由式(1)求得第Ⅰ條HSOC1的POC集為

同理，由式(1)求得第Ⅱ條HSOC2的POC集為

于是，由式(2)求得機構的POC集為

因此，動平臺1具有三維平移的輸出特性。

1.2.2自由度計算

并聯機構的全周DOF計算式[11]為

(3)

(4)

其中

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副自由度

m——運動副數

v——獨立回路數n——構件數

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件的POC集

由式(3)可得第1回路的獨立位移方程數ξL1為

由式(4)求得第1個子并聯機構的自由度為

由式(3)可得其獨立位移方程數ξL2為

由式(4)求得機構的自由度為

因此，該機構的自由度為3，取機架上的P1、P2、P3副為驅動輸入時，機構動平臺1可實現三平移輸出。

1.2.3耦合度計算

由基于單開鏈(SOC)的機構組成原理[11]知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOC的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個SOC的運動副數

Ij——第j個SOC的驅動副數

進一步，一組有序的v個SOC可劃分成一個獨立回路數為v的最小子運動鏈(Sub kinematics chain，SKC)，它僅含一個零自由度BKC(Basic kinematics chain)；對一個SKC而言，需

因此，耦合度為

(6)

κ的物理意義在于揭示機構回路運動變量之間的關聯、依賴程度；κ越大,機構的耦合程度越高，運動學、動力學的分析越復雜。

由式(5)求得第1、2回路的約束度分別為

因此，該機構包含SKC1和SKC2，其耦合度由式(6)求得為

該機構的位置求解可轉換為對這兩個SKC的位置求解，且由于它們的耦合度為0，無需設立虛擬變量，其位置正解可分別獨立求解。

2 位置正、逆解分析

2.1 坐標系建立和參數標注

如圖3所示，在靜平臺0上建立OXYZ坐標系，O為移動副P1、P2所在導軌的中點，X軸垂直于導軌方向所在直線，Y軸與導軌方向所在直線重合。

在動平臺1上建立oxyz坐標系，o為直線D3C3的中點，x軸與直線D3C3重合，y軸與直線D3C3垂直；而Z、z軸分別由右手法則確定。

靜平臺0兩條導軌之間的間距為M；動平臺上，D3C3的長度為m，連接驅動副的3根連桿長度相等，即lA1B1=lA2B2=lA3B3=l1；平行四邊形副Pa1長邊長度為l3，短邊長度為2l2；桿lB1C1的長度l3，lC1D1=lC2D1=l1+l4，桿件lD1D2的長度為t，桿lD2D3的長度為l5，平行四邊形副Pa2長邊長度為l6。

設驅動副P1、P2、P3(圖3中A1、A2、A3)與原點的距離分別為S1、S2、S3。

圖3 機構參數標注及坐標系設定Fig.3 Mechanism parameter annotation and coordinate system setting

2.2 正向位置符號解求解

位置正解求解為：已知驅動副的行程S1、S2、S3，求解動平臺o的坐標(x,y,z)。

在靜坐標系中，易知點A1、A2、A3、B1、B2、B3的坐標分別為：A1=(0,S1, 0)、B1=(0,S1,l1)、A2=(0,S2, 0)、B2=(0,S2,l1)、A3=(-M,S3, 0)、B3=(-M,S3,l1)。

2.2.1SKC1的位置求解

由幾何約束條件lB1C1=lB2C2=l3，列出兩個位置方程，求得:當S1-S2≠2(l2+l4)時，點D1坐標為

其中，另一zD1值使構型發生干涉，舍去。

當S1-S2=2(l2+l4)時，子并聯機構發生奇異，失去Z方向的自由度，奇異位型如圖4所示。

圖4 奇異位型Fig.4 Singular configuration

2.2.2SKC2的位置求解

由點D1的坐標可得點D2的坐標為(0,yD1,zD1+t)。

由幾何約束條件lD2D3=l5及lB3C3=l6，求得

(7)

其中

式(7)即為該機構的正向位置符號解，可表示為

(8)

由式(8)知，該機構具有輸入-輸出運動部分解耦性，這有利于該機構的軌跡規劃和運動控制。

2.3 位置逆解求解及驗證

位置逆解的求解為：已知動平臺上點o的坐標(x,y,z)，求解驅動副的行程S1、S2、S3。

在動坐標系oxyz中，由動平臺上點o的坐標可得點C3和點D3的坐標分別為(x-m，y，z)、(x+m，y，z)。

設點D2的坐標為(0，yD2，z)。由幾何約束lD2D3=l5，可得

設點D1的坐標為(0,yD1,z-t)。在SKC1中，由幾何約束lB1C1=lB2C2=l3，求得移動副P1、P2的行程S1、S2分別為

(9)

由式(9)可知，S1、S2各有2組解。因此，有2×2=4種反解；其中，有2種會導致機構發生圖4所示奇異，不可取。因此，機構的動平臺位置確定時，機構驅動副輸入S1、S2只有2組解。

在SKC2中，由幾何約束lB3C3=l6，求得移動副P3的行程S3為

(10)

式(9)、(10)即為該機構的位置逆解解析式。由此可知，機構的驅動副輸入S3有2組解，而S1、S2有2組解。因此，機構存在4種構型。

設機構各桿件桿長分別為：l1=55 mm，l2=40 mm，l3=160 mm，l4=35 mm，l5=80 mm，l6=200 mm，m=30 mm，M=200 mm，t=20 mm。取3個移動副的輸入分別為：S1=120 mm，S2=-100 mm，S3=0 mm。將上述數值代入式(7)中，求得機構位置正解數值如表1所示。

表1 機構位置正解

取表1中的第1行數據，代入式(9)、(10)中，求得逆解數值如表2所示。

表2 機構位置逆解

結果表明，表2中第1組值與機構設定的驅動輸入(S1=120 mm，S2=-100 mm，S3=0 mm)一致；驗證了機構正逆解公式的正確性。

3 工作空間分析

并聯機構的工作空間是在考慮桿件的干涉、移動副的行程限制、轉動副或球副的轉角等限制條件下，動平臺上某一選定點的運動范圍。

為獲得該機構的工作空間，選取2.3節定義的桿長參數，設定的限制因素分別為：平行四邊形副的轉角為15°～165°，移動副行程范圍-600～600 mm，且S2始終小于S1。采用極限邊界搜索法，由Matlab軟件繪制得到該并聯機構的三維工作空間如圖5所示，工作空間在XY、XZ截面上的視圖如圖6所示。

圖5 工作空間的三維視圖Fig.5 3D view of workspace

圖6 工作空間在XY、XZ截面上的視圖Fig.6 Views of workspace on XY and XZ sections

由圖6可知，當3個驅動副行程范圍有限時，該機構的部分工作空間具有Y軸方向的各向同性，即為圖6a黑色線框內部工作空間。在該機構后續的性能分析中，顯然，需要重點研究機構在該部分工作空間中的性能。為方便敘述，將該部分工作空間命名為規則實用工作空間。

由于該機構為移動副驅動，所以當導軌長度擴大時，工作空間也會隨之擴大。因此，該機構不僅適用于小范圍內的三平移精密操作，也能用于沿導軌方向的大范圍內的工件搬運、抓取、噴涂等操作。

4 性能指標的分析與計算

并聯機構的性能分析是為了評判機構在工作空間中是否具有良好的可操作性能。基于文獻[24]提出的性能指標，評價該3T機構的輸入端和輸出端的運動/力傳遞性能。首先，基于螺旋理論求解了該機構各支鏈的輸入傳遞指標(Input transmission index，ITI)和輸出傳遞指標(Output transmission index，OTI)的表達式，然后，利用Matlab繪制機構在規則實用工作空間XZ截面的輸入傳遞與輸出傳遞指標曲線。

4.1 性能指標的定義

文獻[24]提出的幾種性能指標的定義如下：

第i個傳遞力旋量的輸入傳遞指標為

(11)

式中n——支鏈數目

$Ti——分支i的傳遞力旋量

$Ii——分支i的輸入運動旋量

第i個傳遞力旋量的輸出傳遞指標為

(12)

式中 $Oi——分支i的輸出運動旋量

為了整體評價機構輸入端的運動傳遞性能，定義機構的輸入傳遞指標為

(13)

為了整體評價機構輸出端的運動傳遞性能，定義機構的輸出傳遞指標為

(14)

定義并聯機構整體的傳遞指標為局部傳遞指標(Local transmission index，LTI)γ，有

γ=min{γI，γO}

(15)

4.2 性能指標求解

借助螺旋理論，首先，分別求解2條支鏈的傳遞力旋量與輸入、輸出運動旋量。然后，根據式(11)～(15)，求解該機構的性能指標。

4.2.1支鏈Ⅰ(HSOC1)傳遞力的求解

在坐標系OXYZ中，首先求出支鏈Ⅰ中各運動副的旋量為

其中

H=S2+l2+l3cosα+l4

式中α——桿件Ra1Rd1與Y軸正向的夾角(圖7)

α′——桿件R11R12與Y軸正向的夾角

θ——桿件R1R2與X軸正向的夾角

圖7 支鏈Ⅰ的角度表示Fig.7 Angle marking of branch Ⅰ

圖8 子并聯機構的兩種構型Fig.8 Two configurations of sub parallel mechanism

研究發現，由于桿長約束與拓撲約束，α′與α存在特殊幾何關系。即α′=π-α或者α′=α(2.2.1節所述奇異位型)，具體位型如圖8所示。因為機構處于奇異位型下其局部傳遞指標為0，且該種奇異在設定合適的輸入條件下可以避免，因此，為分析方便，本節只研究α′=π-α構型時機構的傳遞性能。

由1.2.1節可知，混合支鏈Ⅰ末端作3T1R運動，其轉動繞Z軸，則該支鏈的2個約束力旋量(Constrained wrench screw, CWS)分別為

根據文獻[24]，傳遞力旋量(Transmission wrench screw, TWS)為“剛化”驅動副后，與支鏈中其他所有運動副旋量互易積為0，且與約束力旋量線性無關。因此，先后分別“剛化”驅動副P1、P2，采用文獻[25]提供的反螺旋求解方法，可求出該支鏈的兩個傳遞力旋量為：

剛化驅動副P1，得到傳遞力旋量為

$T1=(T11，T12，T13；T14，0，T16)

其中T11=cosαcosθT12=cosαsinθ

T13=-sinαsinθT14=-sinθ(l1cosα+S1sinα)

T16=-Hcosαcosθ

剛化驅動副P2，得到傳遞力旋量為

$T2=(T21,T22,T23; 0, 0,T26)

其中T21=T11T22=T12T23=sinαsinθ

T26=-Hcosαcosθ

因此，支鏈Ⅰ的兩個傳遞力旋量均為螺旋。

4.2.2支鏈Ⅱ(HSOC2)傳遞力的求解

在坐標系OXYZ下，分別求得支鏈Ⅱ包含的各運動副的運動螺旋為

式中γ1——平行四邊形副Pa2與XOY平面的夾角

β——R3R4在XOY平面的投影與X軸正向的夾角

具體角度標注如圖9所示。

圖9 支鏈Ⅱ角度參數Fig.9 Angle parameters of branch Ⅱ

同樣，支鏈Ⅱ的運動也為3T1R，轉動方向為繞Y軸的轉動，則該支鏈的2個約束力旋量分別為

剛化驅動副P3，求得該支鏈的傳遞力旋量為

$T3=
(cosγ1cosβ，cosγ1sinβ，sinγ1；0，l1cosγ1cosβ-Msinγ1，0)

因此，支鏈Ⅱ傳遞力旋量表示的是軸線同時經過轉動副R3、R4中點的一個純力。

4.2.3機構輸出運動旋量的求解

據文獻[24]，保留一個驅動，“剛化”其余所有驅動，其余的傳遞力也將變成約束力，那么只有該驅動的運動經過傳遞力$Ti的作用傳遞到動平臺。動平臺在該傳遞力的作用下發生相應的輸出運動，可用輸出運動旋量$Oi(Output twist screw, OTS)表示。根據運動旋量與力旋量的互異性，只有該驅動對應的傳遞力$Ti能對動平臺做功，即

(16)

式中 $Ck——機構的第k個約束力旋量

由于機構的運動為空間3T運動，因此，動平臺將受到3個方向約束力偶的作用，分別為

(17)

因此，根據式(16)，由反螺旋理論[25]可求出該機構3個傳遞力對應的輸出運動分別為

$O1=(0,0,0;L1,M1,N1)
$O2=(0,0,0;L2,M2,N2)
$O3=(0,0,0;L3,M3,0)

其中L1=cosγ1sinβsinαsinθ-cosαsinθsinγ1

M1=cosαcosθsinγ1-sinαsinθcosγ1cosβ
N1=cosαsinθcosγ1cosβ-cosαcosθcosγ1sinβ
L2=-cosγ1sinβsinαsinθ-cosαsinθsinγ1
M2=cosαcosθsinγ1+sinαsinθcosγ1cosβ
N2=N1L3=-2cosαsinθsinαsinθM3=L3

3個輸出運動旋量$O1、$O2、$O3原部均為零，再次證明機構輸出運動為3個不同方向的平移運動。

4.2.4性能指標圖譜繪制

根據式(11)～(15)，依次求解各支鏈的輸入、輸出傳遞指標。

支鏈Ⅰ的輸入傳遞指標(ITI)為

λP1=λP2=|cosαsinθ|

支鏈Ⅱ的輸入傳遞指標(ITI)為

λP3=|cosγ1sinβ|

支鏈Ⅰ的輸出傳遞指標(OTI)為

ηP1=|cosγ1sinαsinθcosα(sinβcosθ-cosβsinθ)|
ηP2=|cosγ1sinαsinθcosα(cosβsinθ-sinβcosθ)|

支鏈Ⅱ的輸出傳遞指標(OTI)為

ηP3=|cosγ1sinαsinθcosα(sinβcosθ-cosβsinθ)|

由式(13)得機構輸入端的輸入傳遞指標γI為

γI=min{|cosαsinθ|，|cosγ1sinβ|}

由式(14)得機構輸出端的輸出傳遞指標γO為

γO=min{η1，η2，η3}=
|cosγ1sinαsinθcosα(sinβcosθ-cosβsinθ)|

根據機構輸入、輸出傳遞指標的解析式，利用Matlab編程，繪制規則實用工作空間XZ向截面的輸入、輸出傳遞指標圖，如圖10、11所示。

由圖10、11可知，機構在規則可用工作空間內，輸入傳遞指標隨著高度增加而逐漸減小，且最大輸入傳遞指標為0.8；而在Z=150～200 mm之間，機構輸出傳遞性能較好，且最大輸出傳遞指標為0.35。圖10、11中的黑色線框均表示工作空間邊界。

5 奇異性研究

文獻[24]將并聯機構的奇異類型分為約束奇異與傳遞奇異，只有少自由度機構才會發生約束奇異。約束奇異分為輸出約束奇異和輸入約束奇異，傳遞奇異也可分為輸出傳遞奇異和輸入傳遞奇異。應用該方法分析奇異的優點在于：不需要求解并聯機構雅可比矩陣；從運動和力傳遞角度，可清晰地揭示機構發生奇異的物理意義。基于該原理，本節將根據各支鏈的約束力旋量、輸入、輸出運動旋量的互易積，來分析該并聯機構的奇異位型，并綜合評價該機構的奇異特性。

5.1 機構約束奇異

當少自由度并聯機構的自由度數目為n(n<6)，則該機構應該存在q個約束力旋量，限制了機構另外的(6-n)個自由度[24]，此時，這q個約束力旋量的最大線性無關數應為(6-n)。在機構運動過程中，若這q個約束力旋量最大線性無關數小于(6-n)，則這q個約束力旋量將無法限制機構的(6-n)個自由度，則機構將必然獲得額外不可控自由度，此時，即發生約束奇異。

由式(17)可看出，3個約束力偶的最大線性無關數目為3且始終為3，即機構的3個轉動自由度在運動過程中始終被約束，因此，該機構不會發生約束奇異。

5.2 機構傳遞奇異

當傳遞力旋量與輸入運動旋量或輸出運動旋量的互易積為0時，傳遞力旋量無法對機構的輸入運動或輸出運動做功，此時，機構發生傳遞奇異[24]。

當$Ti°$Ii=0時，傳遞力旋量不能夠將輸入關節的運動傳遞出去，則動平臺將失去一個自由度，機構發生輸入傳遞奇異。

在該機構中，傳遞力$T1和與其對應輸入運動旋量$I1的互易積為

$T1°$I1=cosαsinθ

(18)

由式(18)可知，機構在cosα=0或sinθ=0時，傳遞力$T1和與其對應輸入運動旋量$I1的互易積等于0，即α=90°、θ=180°(在2.3節所述尺寸下，其他角度構型不存在，下同)時，機構發生輸入傳遞奇異，圖12為θ=180°時奇異位型。

圖12 奇異位型ⅠFig.12 Singular configuration Ⅰ

傳遞力$T2和與其對應輸入運動旋量$I2的互易積為

$T2°$I2=-cosαsinθ

(19)

由式(19)可知，傳遞力$T2發生輸入傳遞奇異的條件與傳遞力$T1發生輸入傳遞奇異的條件相同，故略去不作分析。

傳遞力$T3和與其對應輸入運動旋量$I3的互易積為

$T3°$I3=cosγ1sinβ

(20)

由式(20)可知，機構在cosγ1=0或sinβ=0時，傳遞力$T3和與其對應輸入運動旋量$I3的互易積等于0，即γ1=90°或者β=0°時，機構發生輸入傳遞奇異，β=0°時對應的奇異位型如圖13所示。

圖13 奇異位型ⅡFig.13 Singular configuration Ⅱ

當$Ti°$Oi=0時，傳遞力旋量無法對與之相對應的輸出運動旋量做功，即該傳遞力不能將運動或者力傳遞到動平臺，就會導致機構的某個自由度不可控，或者在某個方向上剛度極差，此時，機構發生輸出傳遞奇異。

在該機構中，傳遞力$T1和與其對應輸出運動旋量$O1的互易積為

$T1°$O1=sin(2α)cosγ1sinθsin(β-θ)

(21)

由式(21)可知，機構在sin(2α)=0、sinθ=0、cosγ1=0或sin(β-θ)=0時，傳遞力$T1和與其對應輸出運動旋量$O1的互易積為0，即α=90°，θ=180°，γ1=90°，機構發生輸出傳遞奇異，圖14為α=90°與之對應的奇異位型。

圖14 奇異位型ⅢFig.14 Singular configuration Ⅲ

經分析，傳遞力$T2、$T3與其對應的輸出傳遞運動$O2、$O3的互易積，與傳遞力$T1和與其對應輸出運動旋量$O1的互易積為0相同，即發生奇異的條件相同，故略去不作分析。

5.3 機構距離奇異位型的遠近評價

并聯機構處于奇異位型及其附近區域時，其運動和力/約束傳遞性能較差。因此，利用Matlab繪制機構在規則實用工作空間XZ截面局部傳遞指標(LTI)圖，以此觀察機構在該空間內部距離傳遞奇異的遠近，評價機構奇異特性。

由圖15可知，規則實用工作空間內部最大局部傳遞指標(LTI)為0.3，分布于{(X，Z)|-70 mm

圖15 規則實用工作空間XZ截面LTI分布曲線Fig.15 LTI distribution curve of XZ section of regular practical workspace

因此，LTI在規則實用工作空間內部都大于0，即該機構在其內部不存在奇異。

5.4 子并聯機構α′=α構型奇異歸類

當子并聯機構構型為α′=α時(圖8b)，求得此時機構的輸出運動旋量$O1、$O2、$O3分別為

$O1=$O2=(0, 0, 0;L1,M1,N1)
$O3=(0, 0, 0; 0, 0, 0)

根據文獻[19]定義的奇異類別，機構該種奇異類型為輸出傳遞奇異，即失去一個方向的自由度。

6 結論

(1)基于POC理論設計了一種具有正向位置符號解的新型3T機構，該機構僅由移動副和轉動副組成，易于制造和安裝；因機構的耦合度κ=0，具有正向位置符號解，有利于進行誤差分析、尺度綜合、剛度分析及動力學研究等；具有部分輸入-輸出運動解耦性，有利于機構的軌跡規劃及運動控制；移動副為驅動，操作工作空間大，可適用于長度方向較大尺寸工件的機加工、噴涂、鉚接等工藝；平行的導軌布置方式使部分工作空間具有各向同性，有利于機構的性能分析。

(2)將機構的運動/力傳遞性能指標應用于含混合支鏈的本文機構的運動/力性能分析，選取了具有Y向各向同性的部分工作空間，進行傳遞性能指標及奇異特性的分析，分析了機構的奇異位型，得到了局部傳遞指標曲線，可觀測機構距離傳遞奇異位型的遠近，且在選定合適的輸入時，該機構的所有類型奇異全部位于工作空間的邊界，無奇異工作空間較大。