基于積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的初中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究

王亞平

[摘? 要] 基于積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是將培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”增加到培養(yǎng)“四基”，讓學(xué)生從動手操作過程中的觀察思考、對已學(xué)概念和定理再思考、對解題過程進(jìn)行聯(lián)想等方面積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，以獲取解決新問題的思路.

[關(guān)鍵詞] 積累;數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;初中數(shù)學(xué);教學(xué)研究

如何安排教學(xué)才能積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)兀糠e累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗之后，學(xué)生在能力和素養(yǎng)方面又有哪些提高呢？在教學(xué)實踐中我們有這樣的體會：學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在自己不斷地經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動的過程中產(chǎn)生的. 更明確地說，要積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，首先應(yīng)立足于“做”，然后在“做”的過程中思考、總結(jié)、積淀. “做”的主體是學(xué)生，不過應(yīng)由教師事先安排;而思考、總結(jié)應(yīng)在“做”的基礎(chǔ)上完成，在“做”的過程中完成，且由師生共同完成. 因為有些總結(jié)、歸納，單獨依靠學(xué)生還達(dá)不到應(yīng)有的高度，需要教師的引導(dǎo).

借助動手操作過程中的觀察與思考

新課程理論明確提出，在數(shù)學(xué)學(xué)科里，動手操作也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要方法，它是對傳統(tǒng)的計算、證明等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的有效補(bǔ)充. 另外，還有歸納、猜想等學(xué)習(xí)方法.

學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理及其推論”時，教師對這節(jié)課的安排先是再次經(jīng)歷小學(xué)已學(xué)的折疊、剪拼三角形內(nèi)角，觀察拼圖的痕跡，積累“在一個頂點處拼接出一個平角”這一數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而找到添加輔助線的方法. 教材安排的添加輔助線的方法是“（如圖1）延長BC到點D，過點C以CD為一邊作∠DCE=∠B”，而不是以前的“延長BC到點D，過點C作CE ∥AB”. 這樣安排的原因是，從剪拼或折疊三角形的內(nèi)角中只能直接獲得前者這個數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而不可能直接獲得后者這一經(jīng)驗. 成功地添加出輔助線后，解決問題就變得非常簡單了，具體為：如圖1，延長BC到點D，過點C以CD為一邊作∠DCE=∠B，于是可得CE∥AB. 從而完成將∠A，∠B，∠ACB成功地移至以C為頂點的平角∠BCD，命題的詳細(xì)證明略.

這里有三個注意事項：（1）應(yīng)讓學(xué)生完整地經(jīng)歷這個數(shù)學(xué)活動過程. 即先經(jīng)歷撕紙、拼圖（動手操作）等數(shù)學(xué)活動，再觀察拼圖的痕跡（思考猜想），聯(lián)想出添加輔助線的方法（總結(jié)歸納），完成證明過程（抽象思維）. （2）四個環(huán)節(jié)輕重應(yīng)不同. 如動手操作在小學(xué)時學(xué)生已經(jīng)做過，這里可以加快操作進(jìn)度;對于總結(jié)歸納環(huán)節(jié)，學(xué)生討論交流后，教師可以引導(dǎo)和幫助;完成證明過程這個環(huán)節(jié)學(xué)生剛剛接觸，應(yīng)以教師示范為主，同時規(guī)范書寫過程. （3）這是最重要的一點，我們應(yīng)把動手操作和作輔助線緊密聯(lián)系起來. 很多教師的處理方式是在不知不覺中將二者割裂，只是為了操作而操作，不利用動手操作獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗去發(fā)現(xiàn)如何添加輔助線，這就沒有體現(xiàn)二者的聯(lián)系. 如果將二者割裂，那無論你安排操作與否，實際上都舍棄了通過動手操作積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗這一過程，而將其變成了只為解決問題而教學(xué). 不客氣地說，這樣的教學(xué)實際上仍然只停留在注重“雙基”上，只實現(xiàn)了一半的收獲.

借助已學(xué)的概念、定理再思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)概念、定理是我們的重要任務(wù)之一. 結(jié)合問題情境，由已學(xué)的概念、定理引發(fā)再思考，積累新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，也可以獲得解決問題的思路. 為了節(jié)約篇幅，這里不再重新設(shè)置情境，仍以“三角形內(nèi)角和定理及其推論”為例繼續(xù)說明教師的再引導(dǎo)：“延長BC到點D，過點C以CD為一邊作∠DCE=∠B，可得CE∥AB. 由平行線的性質(zhì)也可以像剛才的撕紙、拼圖一樣，完成角的移動，將△ABC的三個內(nèi)角移至同一個頂點的平角”，也就是說，平行線的性質(zhì)定理也可以讓我們積累這個數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 受此經(jīng)驗的啟發(fā)，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究證明三角形內(nèi)角和定理的其他方法. 學(xué)生自然可以運用這個經(jīng)驗探究出過某一點作一邊的平行線，從而得到證明三角形內(nèi)角和等于180°的很多方法，如圖2、圖3所示（詳解略）.

同理，教師可以再引導(dǎo)：根據(jù)我們以往學(xué)習(xí)定理積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，對于命題中的180°，除了平角可以得到，我們學(xué)過的哪些知識也可以得到呢？啟發(fā)學(xué)生通過“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”及兩直角之和等于180°，再探究出新的證明思路. 很多同學(xué)根據(jù)自己以往學(xué)習(xí)定理獲得的活動經(jīng)驗，想出可以通過“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到180°”和“兩個直角之和等于180°”等. 于是便有了圖4、圖5等解法（詳解略）.

這節(jié)課進(jìn)行到此，應(yīng)及時總結(jié)歸納，積累出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 在一系列探究過程的前提下，教師啟發(fā)學(xué)生思考并總結(jié)歸納：這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的本質(zhì)只有兩個方面：（1）在圖形中巧妙實現(xiàn)“∠A+∠B+∠C”，也就是將∠A，∠B，∠C移至某一共同頂點處，得到一個平角;（2）除平角外，在圖形中再“構(gòu)造”180°. 兩個方面只要實現(xiàn)一個，獲取解題思路就成了很自然的事. 因此，證明思路還有很多，根據(jù)這節(jié)課所得的活動經(jīng)驗，學(xué)生課后可以繼續(xù)探究. 這樣的教學(xué)過程必然能讓孩子們獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化.

借助解題過程的聯(lián)想

解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要活動，也是經(jīng)常進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動. 解題時，得到解題結(jié)果很重要，但解題過程中的思考總結(jié)更重要. 數(shù)學(xué)試題浩如煙海，我們沒有必要天天陷在題海中，如果我們能借助解題過程的聯(lián)想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，獲取解決新問題的思路，那將受益無窮. 例如，如圖6，在△ABC中，M為BC邊的中點，AB=5，AC=3，求AM的取值范圍.

解決這個問題的關(guān)鍵是添加輔助線，即延長AM至點D，使DM=AM，連接BD，如圖7，得到△BMD≌△CMA，從而得到BD=AC. 在△ABD中，利用三角形三邊關(guān)系求解即可（詳解略）.

思考解答此題的數(shù)學(xué)活動過程，我們可以得到這樣一條經(jīng)驗：解決有關(guān)三角形中線（或線段中點）的問題時，我們可以通過延長這條中線，構(gòu)造出全等三角形甚至平行四邊形，再解決問題. 下面我們用這個活動經(jīng)驗來解決一個新問題.

由剛才所得的活動經(jīng)驗，我們可以這樣添加輔助線：如圖9，延長EF交CD的延長線于點G，從而得到△AEF≌△DGF，接下來問題迎刃而解（其他方法這里不做探究）. 為了表述和記憶的方便，我們可將剛才的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗稱之為“倍中線”.

結(jié)語

教學(xué)中，類似以上活動的數(shù)學(xué)活動還有很多，在活動中或活動后進(jìn)行思考其實更重要，因為思考就能獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，然后利用所獲經(jīng)驗解決新問題. 如此循環(huán)往復(fù)，螺旋上升，不僅可以將學(xué)生從題海中解脫出來，還能大幅度地提升他們解決數(shù)學(xué)問題的能力. 堅持下去，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一定會有較大程度的提高. 這應(yīng)該就是將培養(yǎng)學(xué)生“雙基”增加到培養(yǎng)“四基”的重要目的之一.