從一次函數中的面積問題研究數學建模核心素養的培養策略

羅文歡

【摘要】一次函數中的面積問題是近年中考的熱點題型，從依托教材中的例題、習題，滲透數學模型的思想;運用構造法進行教學，培養學生數學建模核心素養;幫助學生學會建模;三方面來研究數學建模核心素養的培養策略。

【關鍵詞】數學核心素養;數學建模;培養策略

一次函數中的面積問題是近年中考的熱點題型，往往會與二次函數一起出現在壓軸題的位置上，其解題方法靈活多變，學生往往是有點想法，但卻難以突破，可望而不可達。而這類問題，看起來不是同一數學問題，但在分析解題思路上卻是相同的，看似殊途，實則同歸。正是因為這些共同點的存在，筆者才從一次函數中的面積問題入手，來研究數學建模核心素養的培養策略。

一、依托教材中的例題、習題，滲透數學模型的思想

教材中的例題、習題是經過眾多數學家、教育家的精心設計及反復篩選后才進入教材被使用的，具有典型性與功能性等基本特征，這些題中往往蘊含著豐富的數學模型思想，作為老師，應不失時機、有意識、有目的地滲透數學模型思想，讓學生獲得數學模型思想的“浸潤”，促成數學方法的“自覺”觀念的自然“生成”。

評注：利用圖像是“數形結合”思想在解題中的運用，是提高學生解決問題的有效途徑。這一問題有相當一部分學生可能感到沒有方向，無從下手，但教師引導學生回歸第一小問中的圖像;圖像直觀反映出的S軸上24是空心的，也就是說△OPA面積不可能等于24，更加不能大于24，從而在取值范圍入手，這樣就將問題簡化。

看似很復雜的一道題目，通過分析函數圖像，然后再轉化為代數運算，變成一道非常淺顯易懂，而且運算過程很簡潔的一道題目，真正實現簡化問題過程的目的。

二、運用構造法進行教學，培養學生數學建模核心素養

構造法是一種富有創造性的解題方法，它很好地體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數學方法。數學構造的方法具有很大的靈活性，利用“數”的模式解決數或形的問題;通過構造圖像圖形等方式，利用“形”的模式解決關于數或形的問題。下面就從常見幾種的構造法去解決一次函數中的面積問題。

1.背景構造和數形構造巧妙結合

通過對數學問題的分析，結合圖形，巧妙構造問題的情境，展現問題的真實背景，引導學生把握關鍵點。由數量關系所表示的幾何圖形方面進行研究，使問題更明朗，在解題中更能感受數學問題所蘊含的數學思想。

評注：難點是已知面積反推點坐標，注意分類討論;突破點是三角形面積計算分為規則三角形。（有一邊與軸平行或在坐標軸上）

2.拓展構造與聯想構造融為一體

以教材為本，挖掘教材;通過對教材的前后思考，理清知識之間的聯系，拓展問題。能夠從題目中的題設、條件出發，依據題目的特點聯想到處理問題的其他形式，使問題得以解決。通過對舊知識的拓展研究，使學生學到新知識，提升能力。將問題深化拓展體現出我們教育學科本質及價值的思想，還具備了培優全面持續發展的優勢。

評注：（1）本題考查一次函數的綜合應用、割補法（或鉛垂法）求面積、三角形的面積公式。解題的關鍵是靈活運用所學知識簡化問題， 從規則三角形到不規則三角形，從切割法到鉛垂法求面積。可以拓展構造鉛垂線（與y軸平行），鉛垂線=y上-y下

（2）面積相等問題：公共邊為定邊，在平面內找點P使到一個三角形等于要求的三角形，關鍵在于作定邊的平行線。

4.對稱構造與探尋構造更易解決

通過對數學中對稱思想的理解可以更好地幫助我們解決問題，在最短距離時常常引導學生利用對稱的思想考問題和解決問題;探尋構造在分類中使我們的思想更加清晰，把信息整合更加高效。

（2）動點形成的面積計算：①表示三角形的底和高，利用動點的速度、時間、方向或坐標轉化為邊長;為了便于理清思路，一定要標出關鍵的條件，②分類依據是動點經過拐點，使所求的圖形發生變化。③過程書寫，注重一類一圖，定好取值范圍，分別計算。

（3）利用最小值，作出對稱點，定好點P，求出有關得直線解析式代入點P，用路程、速度來求出時間t。

三、鼓勵并幫助學生學會建模

在實際情境中，從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題，建立模型，確定解題思路，寫出過程，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。在數學學科核心素養的視覺下，關鍵在于立足于學生的學習視角，從學生分析問題、解決問題的認識特點出發，讓學生充分發揮自己的思維作用，去建造模型，如果學生的模型顯得粗燥，老師應該發揮指導作用。教師應當結合教學，引導學生逐步學會將實際問題轉化為數學問題的方法，引導學生學會建立數學模型，如方程模型、函數模型、不等式模型、數列模型等等，從而提高建模素養。

在一次函數面積問題教學中，幫助學生學會建立數學模型的方法，主要有以下幾種：1.抓住關鍵詞語，聯想轉化;2.借助圖形直觀，以形助數;3.觀察圖像，整合信息;4.動點轉定點，分類討論。

總之，突破一次函數中的面積問題，提高數學教學效率，數學建模發揮著重要的作用。教師從學生的實際出發，研究數學建模核心素養的培養策略是數學建模素養扎實落地的有力保障。

參考文獻：

[1]闕東進.依托教材講授數學模型思想[J].中小學教學，2013（1-2下旬，高中）.

[2]教育部.義務教育教科書數學八年級上冊[S].人民教育出版社.

[3]李杰.例談高中數學中的構造法[J].中學教學參考，2013（8）.

[4]蔣海燕.中學數學核心素養培養方略[M].山東人民出版社.