集合中的創新問題聚焦

何 煒 劉大鳴︵特級教師︶

以集合為背景的創新問題，常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發現”為目的，以集合為依托，考查同學們解決問題的能力。常見的命題形式有新定義、新運算、新法則等，這類試題中集合只是基本的依托。

聚焦1：集合中的新定義問題

例1設A是整數集的一個非空子集，對于k∈A，如果k-1?A，且k+1?A，那么稱k是A的一個“孤立元”。給定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_____個。

解：依據k是A的一個“孤立元”，對于k∈A，k-1?A，且k+1?A，由給定S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”，這3個元素一定是連續的三個自然數。

故 這 樣 的 集 合 為 {1 ，2，3}，{2 ，3，4}，{3 ，4，5}，{4 ，5，6} {5 ，6，7}，{6 ，7，8}，共6個。

反思：理解新定義的最好方法就是特值法和列舉法。如本題S={6，7，8}不含“孤立元”，S={2，3，5}含“孤立元”5。若3個元素構成的集合不含“孤立元”，則這3 個元素一定是連續的三個自然數。

例2若集合A1，A2滿足A1∪A2=A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當A1=A2時，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆。若集合A有3 個元素，則集合A的不同分拆種數是____。

解：依據集合A的一種分拆的意義求解。設A={1，2，3}，一一列舉確定分拆的種數。當A1=? 時，A2=A，此時只有1 種分拆。當A1是單元素集時，共有6種分拆，即{1}與{2，3}，{1}與{1，2，3}，{2}與{1，3}，{2}與{1，2，3}，{3}與{1，2}，{3}與{1，2，3}。當A1是雙元素集時，共有12 種分拆，即{1，2}與{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；{1，3}與{2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}；{2，3}與{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}。當A1=A={1，2，3}時，則A2=?，{1}，{2}，{3}，{1，2}{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有8 種分拆。綜上可知，共有的分拆種數是1+6+12+8=27。

反思：本題的集合分拆，類似于求集合的補集的方法，涉及集合子集的個數問題。解答本題的關鍵是列舉集合時，不能重復和遺漏。

聚焦2：集合中的新運算問題

解：依據新定義的運算法則，弄清代表元素的屬性，分別賦值列舉出集合的元素。

故集合A= 1，2{ }。

反思：對于集合中的新運算問題，要按照一定的數學法則和運算規則，弄清代表元素的屬性，再結合相關知識進行邏輯推理和計算，進而達到解決問題的目的。

例4對于集合A，定義一種運算“⊕”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素e∈A，使得對任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，則稱元素e是集合A對運算“⊕”的單位元素。例如：A=R，運算“⊕”為普通乘法，存在1∈R，使得對任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R 對普通乘法的單位元素。下面給出三個集合及相應的運算“⊕”：

①A=R，運算“⊕”為普通減法。

②A={X?M}(其中M是任意非空集合)，運算“⊕”為求兩個集合的交集。

聚焦3：創新集合問題

例6設S是實數集R 的非空子集，如果?a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，則稱S是一個“和諧集”。下面命題中的假命題是( )。

A.存在有限集S，S是一個“和諧集”

B.對任意無理數a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和諧集”

C.若S1≠S2，且S1，S2均是“和諧集”，則S1∩S2≠?

D.對任意兩個“和諧集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，則S1∪S2=R

解：依據“和諧集”的性質對選項逐一驗證。對于A，如S={0}，顯然該集合滿足0+0=0∈S，0-0=0∈S，A 正確。對于B，設任意x1∈{x|x=ka，k∈Z}，x2∈{x|x=ka，k∈Z}，則存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1=k1a，x2=k2a，x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka，k∈Z}，x1-x2=(k1-k2)a∈{x|x=ka，k∈Z}，因此對任意無理數a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和諧集”，B 正確。對于C，依題意可知，當S1，S2均是“和諧集”時，若a∈S1，則a-a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此 時S1∩S2≠?，C 正 確。對 于D，取S1={0}≠R，S2={x|x=k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和諧集”，此時S1∪S2≠R，D 不正確。應選D。

反思：解答這類問題的關鍵在于應用創新性質和其他相應的數學知識來推理驗證。

例7若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：(1)X屬于τ，空集?屬于τ；(2)τ中任意多個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意多個元素的交集屬于τ。則稱τ是集合X上的一個拓撲。已知集合X={a，b，c}，下面給出的四個集合τ：①τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={?，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={?，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}。

其中是集合X上的一個拓撲的集合τ的所有序號是_____。

解：根據集合τ具有的三個性質逐個進行判斷。對于①，τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}=a，c{ }?τ，所以①不是拓撲。③不是拓撲。②④可以逐一驗證，都滿足集合Χ上的一個拓撲的集合τ的三個性質。滿足條件的序號為②④。

反思：求解本題需要準確理解集合Χ上的一個拓撲τ所具有的三個性質，需要準確把握集合包含的判斷方法以及集合子集間的交、并、補集的關系，需要同學們認真分析題設條件，準確把握題中的所給信息。