集合與函數核心考點綜合演練

劉中亮

一、選擇題

1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=( )。

A.{0} B.{1}

C.{1，2} D.{0，1，2}

2.已知集合A={x|x2-x-2＞0}，則?RA=( )。

A.{x|-1＜x＜2}

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x＜-1}∪{x|x＞2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

3.設全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，則(?UA)∩B=( )。

A.{x|0＜x＜3} B.{x|0≤x≤3}

C.{x|0＜x≤3} D.{x|0≤x＜3}

4.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2-3x+a=0，a∈A}，若A∩B≠?，則a的值為( )。

A.1 B.2

C.3 D.1或2

5.設全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|x-1≥0}，則圖1中陰影部分所表示的集合為( )。

圖1

A.{x|x≤-1或x≥3}

B.{x|x＜1或x≥3}

C.{x|x≤1}

D.{x|x≤-1}

6.某班共40 人，其中24 人喜歡籃球運動，16人喜歡乒乓球運動，6人這兩項運動都不喜歡，則喜歡籃球運動但不喜歡乒乓球運動的人數為( )。

A.17 B.18

C.19 D.20

7.已知集合A={0}，B={-1，0，1}，若A?C?B，則符合條件的集合C的個數為( )。

A.1 B.2

C.4 D.8

8.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，B={3，4，5，X}，若B?A，則X可 以 取 的 值為( )。

A.1，2，3，4，5，6 B.1，2，3，4，6

C.1，2，3，6 D.1，2，6

9.已知a為給定的實數，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的個數為( )。

A.1 B.2

C.4 D.不確定

13.已知函數f(x)=x2-2x-3，則該函數的單調遞增區間為( )。

A.(-∞，1] B.[3，+∞)C.(-∞，-1] D.[1，+∞)

14.設f(x)-x2=g(x)，x∈R，若函數f(x)為偶函數，則g(x)的解析式可以為( )。

A.g(x)=x3B.g(x)=cosx

C.g(x)=1+xD.g(x)=xex

16.已知函數f(x)為奇函數，當x＞0時，f(x)單調遞增，且f(1)=0，若f(x-1)＞0，則x的取值范圍為( )。

A.{x|0＜x＜1或x＞2}

B.{x|x＜0或x＞2}

C.{x|x＜0或x＞3}

D.{x|x＜-1或x＞1}

17.已知f(x)在R 上是奇函數，且滿足f(x+4)=f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)=2x2，則f(7)=( )。

A.-2 B.2

C.-98 D.98

18.定義在R 上的偶函數f(x)滿足f(x)=f(x+2)，且在[-1，0]上單調遞減，設a=f(2)，b=f(2)，c=f(3)，則a，b，c的大小關系是( )。

A.b＜c＜aB.a＜b＜c

C.b＜a＜cD.a＜c＜b

（2）小組在分組進行討論時，教師不是放手讓學生去漫無邊際地討論，而是要發揮好“領路人”的作用，這是中職學生的自我學習能力和自覺性局限性所致。當學生討論的思路偏離或者遇到障礙時，教師要及時提供幫助。

20.已知f(x)是定義在R 上的奇函數，且當x＞0 時，f(x)=x2-x，則 不 等 式f(x)＞0的解集用區間表示為( )。

A.(-1，1)

B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(-∞，-1)∪(0，1)

D.(-1，0)∪(1，+∞)

21.若 函 數f(x)=2|x-a|+3 在 區 間[1，+∞)上不單調，則實數a的取值范圍是( )。

A.[1，+∞) B.(1，+∞)

C.(-∞，1) D.(-∞，1]

22.已知函數f(x)在[0，4]上是增函數，且函數y=f(x+4)是偶函數，則下列結論正確的是( )。

B.f(2)＜f(5)＜f(4)

C.f(5)＜f(4)＜f(2)

D.f(4)＜f(2)＜f(5)

23.已知奇函數f(x)的定義域為R，當x∈(0，2]時，f(x)=x2+1，且函數f(x+1)為偶函數，則f(2018)+f(-2019)的值為( )。

A.7 B.2

C.-7 D.3

24.已知f(x)是定義域為(-1，1)的奇函數，而且f(x)是減函數，如果f(m-2)+f(2m-3)＞0，那么實數m的取值范圍是( )。

二、填空題

25.已知全集U=R，集合A={x|x＜3或x≥7}，B={x|x＜a}。若(?UA)∩B≠?，則實數a的取值范圍為____。

26.設集合A={x|x+m≥0}，B={x|-2＜x＜4}，全集U=R，且(?UA)∩B=?，則實數m的取值范圍為____。

27.對于任意兩個集合A，B，定義AB={x|x∈A且x?B}，A*B=(A-B)∪(B-A)，記A={y|y≥0}，B={x|-3≤x≤3}，則A*B=____。

三、解答題

35.若集合A={(x，y)|x2+mx-y+2=0，x∈R}，B={(x，y)|x-y+1=0，0≤x≤2}，當A∩B≠?時，求實數m的取值范圍。

36.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}。

(1)若A∩B={2}，求實數a的值。

(2)若A∪B=A，求實數a的取值范圍。

37.已知集合A={x|x＜-2或x＞3}，B={x|4x+m＜0}，當A?B時，求實數m的取值范圍。

38.設f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數，f(x+2)=-f(x)，當0≤x≤1 時，函數f(x)=x。

(1)求f(π)的值。

(2)當-4≤x≤4 時，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積。

39.已知函數y=f(x)在定義域[-1，1]上既是奇函數，又是減函數。

(1)求證：對任意x1，x2∈[-1，1]，都有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0。

(2)若f(1-a)+f(1-a2)＜0，求實數a的取值范圍。

40.設f(x)是定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函數且在(-∞，0)上為增函數。

(1)若m·n＜0，m+n≤0，求 證：f(m)+f(n)≤0。

(2)若f(1)=0，解關于x的不等式f(x2-2x-2)＞0。

一、選擇題

1.提示：由A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，可得A∩B={1，2}。應選C。

2.提示：由x2-x-2＞0，可得(x-2)·(x+1)＞0，解得x＞2或x＜-1，所以A={x|x＞2 或x＜-1}，則?RA={x|-1≤x≤2}。應選B。

3.提示：由題意可得，?UA={x|x＜3}，所以(?UA)∩B={x|0≤x＜3}。應選D。

4.提示：當a=1時，x2-3x+1=0，無整數解，則A∩B=?；當a=2時，B={1，2}，A∩B={1，2}≠?；當a=3時，B=?，A∩B=?。因此實數a=2。應選B。

5.提示：圖中陰影部分表示的集合為?U(A∪B)。由A={x|-1＜x＜3}，B={x|x≥1}，可得A∪B={x|x＞-1}，所以?U(A∪B)={x|x≤-1}。應選D。

6.提示：記全集U為該班全體同學，喜歡籃球運動的記作集合A，喜歡乒乓球運動的記作集合B，則喜歡籃球但不喜歡乒乓球運動的記作A∩?UB(圖略)。易得人數為18。應選B。

7.提示：由題意可得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，-1}，{0，1}，{0，-1，1}，即符合條件的集合C共有4個。應選C。

8.提示：由B?A和集合元素的互異性可知，X可以取的值為1，2，6。應選D。

9.提示：由方程x2-3x-a2+2=0，可得Δ=1+4a2＞0，所以方程有兩個不相等的實根，所以集合M有2個元素，所以集合M有22=4(個)子集。應選C。

12.提 示：當a≥0 時，不 等 式 可 化 為a(a2+a-3a)＞0，即a2+a-3a＞0，即a2-2a＞0，解得a＞2 或a＜0(舍去)；當a＜0時，不等式可化為a(-3a-a2+a)＞0，即-3a-a2+a＜0，即a2+2a＞0，解得a＜-2或a＞0(舍去)。綜上可知，實數a的取值范圍為(-∞，-2)∪(2，+∞)。應選D。

13.提示：設t=x2-2x-3。由t≥0，可得x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，所以函數f(x)的定義域為(-∞，-1]∪[3，+∞)。因為函數t=x2-2x-3的圖像的對稱軸為x=1，所以函數t在(-∞，-1]上單調遞減，在[3，+∞)上單調遞增。故函數f(x)的單調遞增區間為[3，+∞)。應選B。

14.提示：因為f(x)=x2+g(x)，且函數f(x)為偶函數，所以(-x)2+g(-x)=x2+g(x)，即g(-x)=g(x)，所以g(x)為偶函數。由選項可知，只有B 中的函數為偶函數。應選B。

15.提示：函數f(x)的定義域為[-3，0)∪(0，3]，且f(-x)=-f(x)，可得f(x)是奇函數，故圖像關于原點對稱。應選B。

16.提示：函數f(x)是奇函數，當x＞0時，f(x)單調遞增，f(1)=0。由f(x-1)＞0，可得-1＜x-1＜0或x-1＞1，所以0＜x＜1或x＞2。應選A。

17.提示：由f(x+4)=f(x)，可得f(7)=f(3)=f(-1)。由f(x)為奇函數，可得f(-1)=-f(1)，f(1)=2×12=2。故f(7)=-2。應選A。

20.提示：由f(x)是定義在R 上的奇函數，可得f(0)=0。設x＜0，則-x＞0。當x＞0時，f(x)=x2-x，可得f(-x)=x2+x。又f(-x)=-f(x)，所以f(x)=-x2-x，x＜0。當x＞0時，由f(x)＞0得x2-x＞0，解得x＞1 或x＜0(舍去)，此時x＞1。當x=0時，f(0)＞0不成立。當x＜0時，由f(x)＞0得-x2-x＞0，解得-1＜x＜0。綜上可得，x∈(-1，0)∪(1，+∞)。應選D。

21.提示：易知函數f(x)=2|x-a|+3的增區間為[a，+∞)，減區間為(-∞，a]。因為函數f(x)=2|x-a|+3 在區間[1，+∞)上不單調，所以a＞1。應選B。

22.提示：因為y=f(x+4)是偶函數，所以y=f(x+4)的圖像關于直線x=0對稱，所以函數y=f(x)的圖像關于直線x=4對稱，所以f(5)=f(3)。又函數y=f(x)在[0，4]上是增函數，所以f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(5)＜f(4)。應選B。

23.提示：由f(x)為R 上的奇函數，f(x+1)為偶函數，可得f(x)=f(x-1+1)=f(1-x+1)=f(-x+2)=-f(x-2)=f(x-4)，可知f(x)是周期為4的周期函數。故f(2018)+f(-2019)=f(2)+f(1)=5+2=7。應選A。

二、填空題

25.提示：因為A={x|x＜3 或x≥7}，所以?UA={x|3≤x＜7}。又(?UA)∩B≠?，則a＞3。答案為(3，+∞)。

26.提示：由已知A={x|x≥-m}，可得?UA={x|x＜-m}。由B={x|-2＜x＜4}，(?UA)∩B=?，可得-m≤-2，即m≥2。故實數m的取值范圍為{m|m≥2}。

27.提示：由題意可知A-B={x|x＞3}，B-A={x|-3≤x＜0}，所以A*B=[-3，0)∪(3，+∞)。

30.提示：由f(x)=2x-x2，x∈(-2，2]，可知f(-1)=-3，f(0)=0，f(2)=0。又f(x)的周期為4，所以f(2018)+f(2019)+f(2020)=f(2)+f(-1)+f(0)=0-3+0=-3。

31.提示：由f(x)是R 上的奇函數，可得f(0)=0。又對任意x∈R 都有f(x+6)=f(x)+f(3)，可得當x=-3時，有f(3)=f(-3)+f(3)=0，可得f(-3)=0，f(3)=0，可得f(x+6)=f(x)，可知其周期為6。故f(2019)=f(3)=0。

32.提示：因為f(x)的圖像關于直線x=2對稱，所以f(x)=f(4-x)，f(-x)=f(4+x)。又f(-x)=f(x)，所以f(x)=f(4+x)，可知其周期為4，則f(-1)=f(4-1)=f(3)=3。

三、解答題

故m的取值范圍為(-∞，-1]。

36.提示：(1)由A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，A∩B={2}，可得2∈B，2 是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0 的根，所以a2+4a+3=0，即a=-1或a=-3。經檢驗a的取值符合題意，故a=-1或a=-3。

(2)由A∪B=A，可得B?A。

當B=?時，由Δ=4(a+1)2-4(a2-5)＜0，解得a＜-3。

當B只有一個元素時，Δ=0，即a=-3。同理當B有兩個元素時，a＞-3。當B≠? 時，由B={1}，利用韋達理可知a∈?；由B={2}，利用韋達定理可解得a=-3；由B={1，2}，利用韋達定理可知a∈?。

綜上可知，a的取值范圍是(-∞，-3]。

38.提示：(1)由f(x+2)=-f(x)，可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4 為周期的周期函數，所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4。

(2)由f(x)是奇函數且f(x+2)=-f(x)，可得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)]，即f(1+x)=f(1-x)，故函數y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱。

又當0≤x≤1時，f(x)=x，且f(x)的圖像關于原點成中心對稱，據此畫出f(x)的大致圖像，如圖2所示。

圖2

設當-4≤x≤4時，f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S=4S△OAB=4。

39.提示：(1)若x1+x2=0，顯然原不等式成立。

若x1+x2＜0，則-1≤x1＜-x2≤1。因為f(x)在[-1，1]上是減函數且為奇函數，所以f(x1)＞f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)＞0。所以[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)＜0成立。

若x1+x2＞0，則-1≤-x2＜x1≤1。同理可證f(x1)+f(x2)＜0，所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)＜0成立。

綜上所述，對任意x1，x2∈[-1，1]，都有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0恒成立。

(2)f(1-a)+f(1-a2)＜0?f(1-a2)＜-f(1-a)=f(a-1)。

由f(x)在定義域[-1，1]上是減函數，

40.提示：(1)因為m·n＜0，m+n≤0，所以m，n為一正一負。不妨設m＞0，n＜0，則n≤-m＜0。取n=-m＜0，由f(x)在(-∞，0)上為增函數，可得f(n)=f(-m)。取n＜-m＜0，同理f(n)＜f(-m)，所以f(n)≤f(-m)。又因為f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上為奇函數，所以f(-m)=-f(m)，所以f(n)+f(m)≤0。