妙用賦值法速解函數題

王 暉

在求解有關函數問題時，我們經常會遇到“對某一區間上一切變量都有某條件成立”這類問題，解題的關鍵要能夠巧妙、合理、靈活地對變量賦予一系列特殊值，進行歸納推理，這樣便可以簡捷、快速、正確地獲解。

一、求值

例1如果函數f(x)=(x+a)3對任意x∈R，都有f(1+x)=-f(1-x)，試求f(2)+f(-2)的值。

解：由于f(1+x)=-f(1-x)對任意x∈R 成立，為此取x=0，則f(1)=-f(1)，于是可得f(1)=0。因為f(1)=(1+a)3，所以a=-1，所以函數f(x)=(x-1)3。故f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=-26。

二、判斷函數的奇偶性

例2設函數y=f(x)(x∈R 且x≠0)對任意非零實數x1，x2均滿足f(x1·x2)=f(x1)·f(x2)成立，試判斷f(x)的奇偶性。

解：令x1=x2=1，代入所給關系式，可得f(1)=0。

令x1=x2=-1，可得f(-1)=0。

再令x1=x，x2=-1，可得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，故f(x)是偶函數。

三、求函數的解析式

例3設f(x)是定義在N 上的函數，滿足f(1)=1，對任意自然數a，b，都有f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，求函數f(x)。

解：令a=x，b=1，則f(x)+f(1)=f(x+1)-x。

由于f(1)=1，所以f(x+1)-f(x)=x+1。

在上式中令x=1，2，3，…，n-1，可分別得到：

f(2)-f(1)=2，f(3)-f(2)=3，…，f(n)-f(n-1)=n。

四、求函數的綜合問題

例4對每一實數對(x，y)，函數f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，若f(-2)=-2，試求滿足f(a)=a的所有整數a。

解：令x=y=0，可得f(0)=-1。

令x=y=-1，由f(-2)=-2，可得f(-1)=-2。

又令x=1，y=-1，可得f(1)=1。

再令x=1，y=n，可得f(n+1)-f(n)=n+2。

五、證明與函數有關的不等式

例5設函數f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，|f(x)|≤1。求證：當|x|≤1時，都有|cx2±bx+a|≤2。

證明：根據題意，當x分別取0，-1，1時，可得|f(0)|≤1，|f(-1)|≤1，|f(1)|≤1，所以|c|≤1，|a-b+c|≤1，|a+b+c|≤1。

當|x|≤1，即x∈[-1，1]時，可得|cx2±bx+a|=|cx2-c+c±bx+a|≤|c|·|x2-1|+|c±bx+a|≤1+|a±bx+c|(此處涉及絕對值不等式)。

由于g(x)=a±bx+c是關于x的一次函數，它的最大值與最小值在區間端點處取得，所以|a±bx+c|≤max{|a-b+c|，|a+b+c|}≤1。

故|cx2±bx+a|≤2。