函數(shù)的基本性質重點突破

游紹緒

函數(shù)的基本性質主要是指單調性和奇偶性，但是，我們應當明確函數(shù)的基本性質中有哪些重點，遇到相應的題型應如何處理與解決，又需要掌握哪些方法，這些都是我們需要落實的。

重點1：函數(shù)單調性的判斷與應用

證明或判斷函數(shù)的單調性的方法主要是定義法(在解決選擇題或填空題時可用圖像法)。

重點2：利用函數(shù)的奇偶性求解析式

若f x( )為奇函數(shù)，則它的圖像關于原點對稱，反之也成立；若f x( ) 為偶函數(shù)，則它的圖像關于y軸對稱，反之也成立。這個結論提供了結合圖像處理函數(shù)奇偶性問題的依據(jù)，這也是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)與應用。

重點3：函數(shù)奇偶性與單調性的綜合應用

例3 定義在R 上的偶函數(shù)f x( )滿足：對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，都有(x2-x1)[f x2( )-f x1( )]＞0，則當n∈N*時，有( )。

A.f-n( )＜f n-1( )＜f n+1( )

B.f n+1( )＜f-n( )＜f n-1( )

C.f n-1( )＜f-n( )＜f n+1( )

D.f n+1( )＜f n-1( )＜f-n( )

解：因 為 對 任 意 的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，都有(x2-x1)[f x2( )-f x1( ) ]＞0，所以當x2-x1＞0，即x2＞x1時，則f x2( )-f x1( )＞0，即f x2( )＞f x1( )。當x2-x1＜0，即x2＜x1時，則f x2( ) -f x1( )＜0，即f x2( )＜f x1( )。故函數(shù)f x( )在(-∞，0]上為單調遞增函數(shù)。

又因為f x( ) 在R 上是偶函數(shù)，所以f x( ) 在[0，+ ∞)上為單調遞減函數(shù)，則f n+1( )＜f n( )＜f n-1( )，即f n+1( )＜f-n( )＜f n-1( )。應選B。

奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反。利用函數(shù)的奇偶性與單調性比較函數(shù)值的大小，關鍵是利用奇偶性把自變量轉化到函數(shù)的一個單調區(qū)間內，然后利用單調性進行比較。