探索隱性軌跡，突出解題層次感

朱亮亮

[摘? 要] 解析幾何試題因條件繁多、計算復雜而成為各類考試的分水嶺，文章對非明確指出求軌跡方程的"隱性"考查進行探索，突出解題層次感，鍛煉學生的邏輯思維能力.

[關鍵詞] 隱性軌跡;隱性圓;層次

引例：在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-4，0），B（0，4），從直線AB上一點P向圓x2+y2=4引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D.設線段CD的中點為M，則線段AM長的最大值為________.

通過適當分析，部分學生可得到以下思路：

①A為定點，M為動點;②尋找M的來源，得到點M因點P“動”而“動”;③設點P（a，a+4），通過兩直線PO與CD（關于a的形式）得交點M（關于a的形式）;④建立AM關于a的函數關系式，即AM=f（a），求函數f（a）的最大值即可.

到現在為止，本題似乎很平淡，“數”的特性也很突出. 但是如果此時我們將點M看成是某個軌跡，就可以利用“形”這個幾何意義來解決AM了，當然我們希望這個軌跡是我們熟悉的.不妨一試，如圖1.

設點P（a，a+4），易得lOP：（a+4）x-ay=0，lCD：ax+（a+4）y-4=0.

（關于直線CD的方程，大家可以試著構造一些熟悉的軌跡，而求得，此處略過.）

聯立方程組（a+4）x-ay=0，ax+（a+4）y-4=0.接下來是解出點M還是得到軌跡方程，這是個問題！我們試著來消a看看能得到什么，x+■■+y-■■=■，原來點M的軌跡是我們非常熟悉的圓！從數到形的轉化，只是因為一個熟悉的圓方程，思維上的突破是關鍵.

事實上，從表面上看求解過程似乎與求軌跡方程一點關系都沒有，但稍加辨識，我們把一些“數”的問題轉化為“形”的問題，便能化繁為簡地解決類似問題. 這類問題具有一定的隱蔽性，解題方向不易把握，有時解題會陷入困境.

本文試圖通過近年來在各大模考和高考中出現的類似題型來探討解題過程中如何合理尋找隱性軌跡，并突出解決此類題的層次感.

隱性軌跡是指，在一些較復雜的試題中，一些未知點雖然不確定，但它的運動軌跡經常是確定的，比如常見的直線、圓、橢圓等. 上述引例中M點軌跡即是一個圓，有了這個軌跡，就給我們在解題中回避較復雜的代數運算、靈活運用數形結合提供了可能.

解題層次感是指，試題條件較多、思維較復雜，此時將題設合理地分解成幾個梯度適中的基礎題，各個擊破，最后形成一個完整的解題網絡，這樣可以完成解題目標，經過長期訓練還可以培養學生較縝密的邏輯思維.

下面我們主要通過對隱性圓的探索來談談關于解題層次感的體會.

例1：（2018南京、鹽城高三期末卷第12題）在平面直角坐標系xOy中，若直線y=k（x-3■）上存在一點P，圓x2+（y-1）2=1存在一點Q，滿足■=3■，則實數k的最小值為________.

先來確定本題的解題層次：

①點P在直線上，直線不定;

②點Q在圓上，圓確定;

③■=3■，可以建立怎么樣的聯系？

不區分層次，將①②③雜糅在一起，是很多考生的思維過程，如果先跳出①的思維，只考慮②和③，是不是就可以得到P點的運動軌跡呢？

這個思考很關鍵，令P（x，y），Q（x1，y1）易得x=3x1，y=3y1，即x1=■x，y1=■y.代入圓方程化解得x2+（y-3）2=9. 原來點P除了滿足直線，本身還在一個圓上運動，那點P存在的意義即是直線y=k（x-3■）和x2+（y-3）2=9有交點.

有的考生在解題過程中容易陷入①的思維中，把點P代入過于繁雜的求k運算中，這樣解題不僅笨重，而且容易丟掉點P隱含的幾何意義，使得解題思維混亂，計算量大大增加，這樣不利于良好的思維品質的養成.

事實上，很多隱性圓還是有跡可循的，比如：三角形頂角為直角的隱性圓;阿波羅尼斯圓;距離平方和為定值的隱性圓;向量積為定值的隱性圓等. 有的時候在解題過程中能看到類似的形式有助于我們進行外形聯想，迅速打開思維，起到事半功倍的效果.

例2：已知△ABC中，AB=AC=■，△ABC所在平面內存在點P使得PB2+PC2=3PA2=3，則△ABC面積的最大值為__.

我們繼續分析，確定解題層次.

①△ABC為等腰三角形，本題要求三角形面積的最值，而△ABC的底邊和高容易得到等量關系，如圖2，于是我們嘗試用S=■BC·h來解題.

令底邊長為2t（t>0），則高為■，故S=■·2t·■= t·■.

那么要求最值，t的取值范圍怎么辦？

②P既滿足PB2+PC2=3，P又滿足PA2=1，想到了什么？

③由②中的外形聯想到了圓，接下來該建系了.

如圖3，令P（x，y），B（-t，0），C（t，0），則A（0，■）.

P滿足PB2+PC2=3可得（x+t）2+y2+（x-t）2+y2=3，化簡得：x2+y2=■-t2（1）……⊙C1.

P滿足PA2=1可得x2+（y-■）2=1（2）.

⊙C2存在點P，即可以把P看成兩個圓的交點，利用幾何特征.

問題轉化為：1-■≤C1C2≤1+■，即1-■≤■≤1+■，兩邊平方求解得t2≤■;而S=■·2t·■=t·■=■，易得S最大值為■.

通過對隱性圓的探索，我們發現解題的層次感變得非常鮮明，思路清晰了，解題效率自然就提高了，其實在隱性軌跡的探索中除了隱性圓比較常見之外，構造隱性直線或其他軌跡有時也較常見. 在教學過程中尤其在起始年級，適當突出此類教學，培養學生的探索興趣，對鍛煉學生的邏輯思維能力、提高思維靈活性有一定的幫助.