注重概念本質，形成知識體系

鄒曉松

[摘? 要] 自新課改教學標準出臺以來，高考更加注重核心素養的考查和理解，試卷更加重視關注數學概念本質的理解，注重數學問題的轉化. 其中，高考試卷非常關注教材中的一些核心概念，這也為教學提供了一些放心，體現了新課標對提升核心素養和關鍵能力的要求. 因此高中數學教師在展開復習的過程中不僅要抓住基本概念，更要提煉教材中的關鍵內容，靈活運用好數學教材，發展學生的數學思維，使他們在考場上能更好地應對數學考試.

[關鍵詞] 概念本質;知識體系;橢圓的概念;復習

在高中數學復習過程中，教師要注重數學中的基本概念，引導學生挖掘與之相關的數學知識，深化對概念的理解，揭示概念的豐富內涵，要能對概念進行拓展，從而形成網絡化的知識體系. 概念的教學要引導學生進行總結概括，發散他們的數學思維，從中體會到概念的本質. 因此，概念的復習課不能僅靠“題海戰術”，而是要把基礎知識與例題再梳理，把散落于教材中的知識點進行整合、串聯起來，引導學生建構起數學知識體系，從而體現出數學“源于教材，高于教材”的理念. 下面，筆者以“橢圓的概念”復習為例展開探討，希望對大家有所幫助.

厘清概念本質

在數學教材中，各個版本對橢圓定義描述基本一致，學生一般都能牢記橢圓的定義，但在復習中要注意以下幾點：（1）定義中的文字翻譯成數學語言，表示為PF1+PF2=2a（2a>F1F2），那么與之對應的圖形又是什么呢？（2）定義中為何要規定2a>F1F2？如果2a=F1F2，2a

在人教版數學教材中，其中有這樣一道試題：

例1：如果點M（x，y）在運動過程中，總是滿足關系式■+■=10，點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程.

如果能夠掌握橢圓定義的本質，學生可以快速判斷和解答本道試題，這就避免了用移項再平方的方法來化解方程，降低了出錯的概率. 在本道試題中，實質就是動點M（x，y）到兩個點F1（0，-3），F1（0，3）的距離之和為常數10（10>6），這個動點的軌跡就是以這兩個定點為焦點的橢圓，并且2a=10，c=3，這樣就能求得橢圓的方程來正確解答. 由此可知，學生如果能夠掌握橢圓定義的本質，那么就能快速、正確地解答出試題答案.

挖掘其他形式

1. 圓變化得到橢圓

在教學中，有的學生也會疑惑橢圓與圓之間在數學上有何關系，這一點在教材上并沒有體現. 但是，在學習探究過程中，橢圓與圓之間存在著這樣的結論：在豎直或水平方向上同時均勻壓縮或均勻拉伸后，所得的圖形是橢圓. 根據這一結論，學生能夠抽象概括出問題的本質，即橢圓的生產方法是圓沿著某個方向壓縮或拉伸后所得.

例2：在2011年，陜西省高考數學試卷（理科）已有所體現. 試題如下：如圖1，設P點是x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上的一點，且MD=■PD.

（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程;

（2）略.

2. 過定點的直線斜率積為定值

例3：已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-6，0），（6，0），AC，BC所在的直線斜率（假設直線斜率存在）之積為-■，求頂點C的軌跡方程.

學生根據題目的信息很容易得到C的軌跡方程為■+■=1（y≠0），點C的軌跡為以BC為長軸的橢圓.

例4：已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-6，0），（6，0），AC，BC所在的直線斜率（假設直線斜率存在）之積為■，求頂點C的軌跡方程.

學生根據題目的信息很容易得到C的軌跡方程為■-■=1（y≠0），點C的軌跡為雙曲線.

比較上述兩道試題，我們發現二者之間的結構很相似，只是在直線斜率積方面相差一個負號，但得到的軌跡卻完全不同. 此時，教師可以思考是否可以把上面的兩道問題合二為一，上述試題是否具有一般規律，以上述試題再進行深度拓展，發展學生的數學思維，在潛移默化中幫助他們形成數學核心素養. 在此情況下，再把這道試題推廣得到如下例題：

例5：已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），AC，BC所在的直線斜率（假設直線斜率存在）之積為-■，求頂點C的軌跡方程.

由■·■=-■，得■+■=1（y≠0）. 同理得到，若AC，BC所在的直線斜率（假設直線斜率存在）之積定值為■，則點C的軌跡為■-■=1（y≠0）.

在課堂講解時，教師不能讓學生簡單解答就過去，還要引申相關知識，進行深度挖掘. 在學生完成試題之余，教師不妨把知識點再延伸到雙曲線之中，拓寬他們的眼界，發散其數學思維，有效提升課堂教學的質量和效率. 這種把橢圓、雙曲線知識進行類比和對比的教學極大地激發學生學習興趣，使他們進一步認識到橢圓的概念，強化自身對橢圓定義本質的認知，避免在以后的學習中出現錯誤.

3. 與圓有關點的軌跡

在數學試題中，很多知識點都和圓有關，橢圓也不例外. 在圓的相關知識點中，一些與之有關的點的軌跡可以生成橢圓圖形，幫助學生感受到橢圓的知識.

例6：在圓x2+y2=4上任取一點P，過P點作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

設M（x，y），P（x，2y），由M為線段PD的中點得到點M與點P間的關系式，P點在圓心為坐標原點，半徑為2的圓上，由點P的坐標滿足圓的方程來得到點M坐標所滿足的方程，寫出橢圓表達式.

例7：已知圓O1：（x+2）2+y2=3，圓O2：（x-2）2+y2=3，動圓P與圓O1內切，與圓O2外切，求圓心P的軌跡方程.

在本題中，先設出P點的坐標，根據題意找到圓P與圓O1、圓O2的半徑間的關系. 根據橢圓的定義，發現點P是以O1，O2為焦點，定長為7的橢圓.

學生在解題過程中感受到橢圓定義所帶來解題的便捷，但也意識到并非只有橢圓相關知識才與橢圓有關，圓的一些知識也會與橢圓相關，這有利于改變傳統數學思維習慣，有效提升解題質量.

4. 與距離有關點的軌跡

例8：已知圓內的一個定點（非圓心）作圓C與已知圓相切，則圓C的圓心軌跡是（? ）

A. 圓 B. 橢圓

C. 圓或橢圓？搖？搖 D. 線段

設定點為A，已知圓的圓心為O，半徑為R，動圓的圓心為C，半徑為r，AC=r，OC=R-r，AC+OC=R（OA

在做完這道試題后，教師不要著急讓學生接過這一知識點，還可以繼續進行深度挖掘與拓展，如：（1）把“相切”變為“內切”或“外切”;（2）改變題目的信息，把定點與圓相切變為動圓與定圓相切，經過某一定點. 這種拓展的思路能有效改變學生的學習習慣，便于他們發散數學思維，提高數學課堂學習效率和質量.

值得引起注意的是，這種類型的試題在高考中曾經出現過，即2013年高考全國卷Ⅰ：已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡曲線為C. 求C的方程. 學生在做這部分試題時要引起注意，避免不經意間的失分.

總結歸納定義

在高中數學復習教學中，教師講課的目的并不單是讓學生理解和掌握橢圓的概念這么簡單，而是要引導他們以橢圓定義為核心，形成一個知識體系，對知識有由局部到整體、由點到面的整體認知. 在教學過程中，教師要注重從定義、拓展、實例分析等方面進行教學，緊扣“橢圓定義”這條主線來展開，引導學生在理解基礎上進行思考和交流，進而抽象概括得到橢圓的定義，形成數學知識體系. 其中，最關鍵之處在于對概念的深入挖掘，對試題的二次開發，引導學生提煉得到橢圓這一核心概念的本質，熟悉知識點間的規律，把教材中的零散知識有機串聯起來，對知識進行系統化整合以及再加工.

總之，在數學概念的復習教學中，教師一定要注重學生對核心概念的理解，不要拘泥于表面形式，要引導他們向深度發展，對數學概念能夠進行延伸拓展，有效形成數學核心素養.