賦能八爪模型 助教誘導公式

陳衛(wèi)明

[摘? 要] 應用八爪模型進行任意角三角函數(shù)值化簡可以實現(xiàn)化簡的一步到位，從而大大提升了三角函數(shù)值化簡能力和加深了學生對誘導公式體系的理解，其在教材的整合、數(shù)學建模核心素養(yǎng)的提升、數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透等方面均有重要意義. 文章詳細解讀了何為三角函數(shù)誘導公式的八爪模型.

[關鍵詞] 八爪模型;誘導公式;數(shù)學建模;數(shù)形結(jié)合思想

問題的提出

誘導公式的應用是三角函數(shù)的難點，學生在利用誘導公式進行化異名為同名三角函數(shù)時常常思維混亂;在需要多組誘導公式進行任意角三角函數(shù)值化簡時常常手足無措. 原因就在于對《人教A版必修四1.3三角函數(shù)誘導公式》（以下簡稱《必修四1.3》）中六組誘導公式之間的內(nèi)在關系不清晰，用死記硬背方式學習. 為了幫助學生更好地理解誘導公式體系的內(nèi)涵及應用誘導公式進行任意角三角函數(shù)值化簡，筆者通過構(gòu)建八爪模型，收到了良好的效果.

模型解讀

八爪模型要點如下：

（1）任意一個角都能與某個爪子對應

①建立給各坐標軸賦角的（如圖1所示）帶有八個爪子的直角坐標系.

②規(guī)定：按順時針方向旋轉(zhuǎn)爪子對應的角在坐標軸所對應角的基礎上減少α;按逆時針方向旋轉(zhuǎn)爪子對應的角在坐標軸所對應角的基礎上增加α，以y軸正半軸的爪子為例，爪子（2）對應的角度為2kπ+■-α，爪子（3）對應的角度為2kπ+■+α.

（2）利用口訣“縱（軸）變橫（軸）不變、符號看象限”進行任意角的三角函數(shù)值化簡. 具體如下：

例1：（《必修四1.3P27例4》）化簡■.

解：在八爪模型下，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分別對應爪子（8）、（5）、（4）、（4）、（4），根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，函數(shù)名不變，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分別落在第四象限、第三象限、第二象限、第二象限、第二象限，其對應的三角函數(shù)符號分別為負、負、負、正、正，即sin（2π-α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，cos（π-α）=-cosα，sin（3π-α）=sinα，sin（-π-α）=sinα;■+α，■π-α，■π+α分別對應爪子（3）、（6）、（3），根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變，函數(shù)名改變，■+α，■π-α，■π+α分別落在第二象限、第三象限、第二象限，其對應的三角函數(shù)符號分別為負、負、正，即cos■+α=-sinα，cos■π-α= -sinα，sin■π+α=cosα. 從而：

■=■=-tanα.

■模型價值

應用八爪模型進行任意角三角函數(shù)值化簡可以實現(xiàn)化簡的一步到位，從而大大提升了三角函數(shù)值化簡能力和加深了學生對誘導公式體系的理解，其在教材的整合、數(shù)學建模核心素養(yǎng)的提升、數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透等方面均有重要意義.

1. 整合了教材

一方面，八個爪子囊括了《必修四1.3》六組誘導公式所對應的角（見表1），在口訣“縱（軸）變橫（軸）不變、符號看象限”下可以快速得到《必修四1.3》六組誘導公式，保證了八爪模型的準確性;另一方面，把《必修四1.3》P26例3納入八爪模型中，實現(xiàn)了爪子分布的完整性，這種完整性有助于學生全面理解誘導公式體系，可以大大提高學生在任意角三角函數(shù)值化為銳角三角函數(shù)值的準確性.

例2：已知角α終邊上的一點P（-4，3），則sin-■-α=______.

解法1：利用教材誘導公式（三）和（六）得到：

sin-■-α=-sinα+■=-cosα= -■=■.

解法2：在八爪模型下，-■-α對應y軸負半軸順時針方向的爪子（6），利用口訣可得sin-■-α=-cosα= -■=■.

應用八爪模型進行任意角三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值的最大價值就在于有效規(guī)避了需要多組公式化簡而實現(xiàn)化簡的一步到位，從而大大提升了任意角三角函數(shù)值的化簡能力.從思維角度來看，高中數(shù)學課堂教學中同時存在著“濃縮在教材中的數(shù)學家思維、對教材進行再加工的教師思維、被教材和教師引導著的學生思維”等三種思維活動，數(shù)學教學就是這三種思維相互碰撞和交融的過程. 教師對教材的整合，目的就在于讓數(shù)學家思維更為自然地與學生思維對接，這對發(fā)展學生的思維和提升學生的能力有重要意義，對教師從“教教材”到“用教材教”的轉(zhuǎn)變有積極影響.

2. 提升了數(shù)學建模核心素養(yǎng)

數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.從實際情況來看，不管是數(shù)據(jù)的收集和處理，還是結(jié)果的檢驗和模型的改進，在高中數(shù)學課堂教學中都不太好開展，因此高中階段的數(shù)學建模大都變成了解應用題、第二課堂活動、競賽輔導等具有數(shù)學建模“形”而缺少數(shù)學建模“神”的活動類課程，這對高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學建模核心素養(yǎng)的提升極其不利，怎樣把數(shù)學建模全過程或能充分反映數(shù)學建模本質(zhì)的部分過程在課堂教學中呈現(xiàn)就非常關鍵. 八爪模型由于具備數(shù)學建模全過程從而對提升數(shù)學建模核心素養(yǎng)具有重要價值.

通過呈現(xiàn)數(shù)學建模全過程或數(shù)學建模部分過程來提升學生數(shù)學建模核心素養(yǎng)的教學實踐對高中數(shù)學的公式、概念、定理等教學有很強的借鑒意義. 以概念教學為例，高中數(shù)學概念教學的“創(chuàng)設情境、概念形成、概念理解、概念應用”四個環(huán)節(jié)與數(shù)學建模過程的“發(fā)現(xiàn)問題、提出和分析問題、建立帶有參數(shù)的模型、模型應用”四個環(huán)節(jié)相互呼應，對在高中數(shù)學概念教學中提升數(shù)學建模素養(yǎng)具有示范意義.

3. 滲透了數(shù)形結(jié)合思想方法

作為聯(lián)結(jié)數(shù)量與圖形之間橋梁的一種重要思想方法，數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學有著廣泛應用，通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”實現(xiàn)了抽象問題具體化、本質(zhì)問題直觀化. 三角函數(shù)值是以角度為自變量的函數(shù)值，角度是幾何概念，重在形;函數(shù)值屬于代數(shù)范疇，重在數(shù)，三角函數(shù)概念本身就蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想. 作為三角函數(shù)值化簡的重要工具，誘導公式的理解和應用必須緊扣數(shù)形結(jié)合思想方法來進行. 在八爪模型中，從任意角對應到某個爪子的過程、口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”的表述、應用口訣進行化簡等方面都具有明顯的數(shù)形結(jié)合特征，對把數(shù)形結(jié)合思想方法落實到課堂教學，提高解題能力有積極意義.

例3：y=2sin2x+■的圖像向_____平移_____單位可以得到y(tǒng)=2cos2x-■的圖像？

分析：在平移變換中，首先是要化異名為同名，使得平移前后的函數(shù)名相同.

解法1：在正弦化為余弦中，根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，選擇y軸的四個爪子，為保證x系數(shù)和cosx都為正，則選擇y軸負半軸逆時針方向的爪子（7）■+α，即2sin2x+■=2cos2x+■+■=2cos2x+■π. 需要經(jīng)過■=-■.由于周期為π，-■+π=■，即向左平移■個單位.

解法2：在余弦化為正弦中，根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，選擇y軸的四個爪子，為保證x系數(shù)和sinx都為正，則選擇y軸正半軸逆時針方向的爪子（3）■+α，即2cos2x-■=2sin2x-■+■=2sin2x+■. 需要經(jīng)過■=■，即向左平移■個單位.

應用八爪模型進行化異名為同名三角函數(shù)，包含兩個步驟，第一步是根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，選擇y軸對應的4個爪子;第二步是根據(jù)口訣后半句“符號看象限”，由被轉(zhuǎn)化的三角函數(shù)的符號來確定最終的爪子. 這兩個步驟都緊扣八爪模型圖形進行，對把數(shù)形結(jié)合思想方法落實到課堂教學中有極其重要的實踐價值，很多時候?qū)W生對于某種思想方法的掌握程度與教師在課堂教學中對該思想方法的應用程度息息相關. 比如，若教師過于強調(diào)導數(shù)在處理函數(shù)單調(diào)性的價值，則學生對于通過函數(shù)圖像來解決單調(diào)性問題中所蘊含的數(shù)形結(jié)合思想方法的掌握自然而然就大打折扣.