基于核心素養理念下“數形結合”思想的滲透

摘 要：數形結合是學生學習數學最常用也是最重要的一種數學思想方法，是指把數學問題中的數量關系與空間形式結合起來進行思考，從而化難為易、化繁為簡。數形結合思想的滲透，對于發展學生核心素養有著很重要的作用。在實際教學中，教師要從兒童的視角出發，挖掘并選擇能體現數形結合思想方法的素材，精心設計探究活動，提高學生的推理能力，使學生主動探索在給定情境中隱含的規律或變化趨勢，建立數與形的生動聯系，體會到數形結合思想的價值與內涵。對于“數與形”的學習，學生應該經歷一個有層次性的、豐富的、立體的、逐漸深入的過程，從而在解決數與形的相關問題時逐步體驗“數”與“形”各自的價值和內涵，進而對小學階段所學的數學基本內容有整體的認識。

關鍵詞：核心素養;以形助數;以數釋形;數形結合

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2020）36-0032-02

引 言

“數與形”是人教版小學數學六年級上冊“數學廣角”中的內容。該單元一共有2個例題，例1是“以形助數”體會數形相關;例2則是“以數解形”滲透極限思想。一般而言，本單元為1課時教學內容。在實際教學中，教師應引導學生在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中發展推理能力，使學生體會數形結合的數學思想。筆者認為，教師可以根據學生的實際特點，將本單元1課時內容一分為二，先探究例1，再探究例2，以求穩扎穩打、步步為營。

對于兒童來說，他們的數學思維正漸漸從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。六年級學生已經逐步學會了區分現象與本質、主要與次要的因素，可以初步嘗試獨立進行邏輯論證。但他們依然要借助相對直觀、感性的經驗來理解比較抽象的數學原理。對于本課的教學來說，教師要從兒童視角出發，逐步引導學生在明確規律的基礎上初步感受并體驗數形結合思想的內涵與價值，然后從整體上幫助學生理解數與形的密切相關性。

對于本課而言，教師很容易陷入“找規律”的怪圈，即引導學生探究和發現“正方形方格圖”中蘊含的多種規律，借助圖形讓學生先從不同角度感知其中蘊含的規律，然后用不同的算式表示規律，并運用規律解決相關問題。很顯然，本單元的重難點明顯不在于規律的尋找上，而是讓學生感受數形結合思想的內涵與價值。

一、數形結合思想的基本內涵

“數”與“形”可以說是數學的基本研究對象，貫穿于數學教學的始終。“數”表現的是抽象的，“形”則比較直觀[1]。在實際教學過程中，教師需要設置一些有針對性的數學探究活動，“人為”地推動學生將二者建立聯系，使其體會數與形的內涵與價值。在小學階段的“數與形”學習中，學生應該經歷一個有層次性、立體、逐漸深入的過程：一是在學習數和算式、方程等內容時，體會可以借助“形”來“視數”，將抽象的數量關系“可視化”，打開解決問題的突破口，有時甚至可以從“形”中直接“讀”出答案，如借助“面積模型”理解分數及其運算含義;二是在圖形幾何學習中，在體會要更深入地理解圖形的變化等情形時，可以借助數和算式來“釋形”，這樣更易透過現象看到本質，如面積（體積）公式的推導;三是在體會了數形結合的內涵后，能自然地使用這樣的思想方法去解決相應的問題，感受其價值。

數形結合作為解決問題的重要策略，貫穿于整個數學學習階段[2]。對于學生而言，這種思想的滲透、方法的指導不是一蹴而就的。要想養成這樣解決問題的良好習慣，學生需要一定的時間積淀。在實踐操作中，教師要讓學生親身感受到這種思想方法的優越性，努力將“遇到問題要嘗試畫圖”這樣想法深深印刻在學生腦海中。例如，在解決問題時，即使不是一道圖形相關題，教師也可以引導學生通過畫線段圖表達題意，簡化思考的難度，從而加深學生對題目的理解。

二、探究活動，讓學生體驗“以形助數”

在小學具體的學習活動中，在經過多種問題或情境體驗后，學生對“數缺形時少直觀”的理解較為深刻，但對于“形少數時難入微”的理解較少。究其原因，一是教材具體實例較少;二是部分教師在實際教學中會有意“避開”，所以學生在這方面的體驗較為缺乏。筆者認為，在教學中，教師應深入研讀教材、創新性地使用教材例題、習題，創設豐富的學習探究活動，從而加深學生對“以形助數”“以數釋形”的理解。

在例1 的教學中，按照“L形”逐層將小正方形呈現給學生。在實際教學中，首先，教師會引導學生從不同角度觀察“正方形方塊圖”。在教師的引導下，學生會發現可以用不同的數或算式表示圖中的“方塊數”，即“形”中有“數或算式”，寫出的“數或算式”亦可以用“形”顯現，初步感受到“數”與“形”緊密相關。其次，教師會從“找規律”的角度切入，讓學生觀察隨著“形”的變化，“數或算式”也會發生相應變化，并且可以借助“形”的特征發現算式之間的關系，從而建立本例題的一般模型：從1開始n個連續奇數的和是n?。最后，教師會引導學生思考1+3+5+7+9+11+13 這個式子對應的圖形是什么樣子。學生很自然地會用“形” 來解決。但大部分學生會從圖形整體上進行思考：1 是1個小正方形，1+3 是4個小正方形……以此類推，所以1+3+5+7+9+11+13 是由7×7，即49個小正方形組成的大正方形。

但也有個別學生是從最外層的“L形”來觀察圖形的（見圖1），對應的式子中最后一個數“13”。橫著的一排和豎著的一列相交處，有1個小正方形是重疊的，重復了。此時，學生頭腦中有強烈的“以形助數”的想法，所以在求這個式子是幾的平方時，很自然地說出（13+1）÷2=7。此時，教師及時追問：“最外層的13，與算式中奇數的個數有什么關系？”從而使學生建立尾數與項數之間關系的模型：（尾數+1）÷2=式子中奇數的個數。接著，教師出示三個習題以加深學生的理解：1+3+5……+21=（ ? ? ?）?;1+3+5……+101= （ ? ? ?）?;1+3+5……+（2n-1）=（ ? ? ?）?。從具體到抽象，在加深理解“規律”的基礎上，學生思維向高階發展，體現出教學的深度，這是符合當前教學要求的。

三、深挖習題，使學生感受“以數釋形”

學生在探究完尾數與項數之間的關系后，能初步體會到“形少數時難入微”的意義：只有“數”沒有“形”，難直觀;只有“形”沒有“數”，難深入。在練習環節，教師可以放手讓學生繼續深入探究和體會“數”與“形”不是截然分開的，兩者之間有著密切聯系，鼓勵學生從不同角度、運用不同方法來解決問題，為例2的學習埋下一個的伏筆。而練習二十二的第2題就能達到這樣的效果。

在學生自主探究得出每個圖形小圓片個數是“1+2+3……+n”后，出示“1+2+3+4+5+6+7+8……+100=？它是一個怎樣的圖形？”在前面的圖形中，小圓片的個數用簡單的加法就能得出答案，但這個問題對于學生來說比較困難。那是否有更簡便的方法呢？當然，有個別學生脫口而出“首項+末項的和乘項數除以2”。但能否借用圖形來思考，證明這個結論，就需要學生創造性地使用習題，結合本課內容深挖習題內涵。

此時，教師可以布置學習活動：“你能用圖形來幫助解決這個問題嗎？”引導學生從題中圖形入手，將習題中原圖形旋轉后變成圖2形狀。圖2中左圖原圖形的算式是1+2=3;右圖原圖形的算式是1+2+3=6。接著，教師追問：“圖形旋轉后你還能用算式表示這兩個圖形的原來小圓片的個數嗎？”圖形與算式的互相解析，一定程度上超越了學生的認知。在實際教學中，只有個別學生能根據引導完成旋轉后的圖形。在找到了圖形旋轉后的圖形，學生借助直觀圖發現旋轉后，一是可以運用“平行四邊形的面積”來計算原來的小圓片數;二是可以根據“邊長個數”相乘計算原來小圓片的個數，即左邊圖形旋轉后算式為（1+2）×2÷2=3（個）;右邊圖形旋轉后為（1+3）×3÷2=6（個）。因為旋轉后有兩個一樣的圖形，求原來圖形的小圓片個數，所以除以2。到這里，適時的出示第n個圖形旋轉后形狀（見圖3）。學生根據剛才的經驗很自然就能看圖列出相應的式子：1+2+3……+n=（1+n）×n÷2。到這里，學生利用“形”完成了對等差數列求和公式的推導，也順利解決了1+2……+100的問題。

直觀圖給求解抽象算式的任務指出了大方向[3]。正如20世紀偉大的數學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中所談到的：圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結果。在解決問題的過程中，幾何直觀有助于學生從整體上去研究，在應對復雜的數量關系時明確把握大方向。

數學課要變得有生命力，教師就要貼近學生視角，在課堂探究活動中積極滲透數學思維和數學本質。數學本身是認識、理解生活現象的一種由淺到深、由具體到抽象的認識方式，要培養的則是會主動進取、善于分享、生動活潑的人。

結 ? ?語

在小學階段，數形結合貫穿、隱藏于許多知識點之中。教師要根據不同的知識模塊進行分析、整合，并尊重學生自身的特點，從學生的視角挖掘并選擇能體現數形結合思想方法的素材。在教學時，教師應以發展學生的核心素養為目的，尋找適合他們掌握數形結合方法的契合點，巧妙設計問題、挖掘教材，在一定程度上進行有深度的教學，真正幫助學生搭建起“數”與“形”之間的橋梁。

[參考文獻]

劉加霞，劉琳娜.在認知沖突中體現感悟數形結合思想的內涵與價值[J].小學數學教師，2015（12）：49-52.

劉加霞.“數形結合”思想及其在教學中的滲透（上）[J].小學教學（數學版），2008（04）：49-50.

孔凡哲. 關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011年版）》一個關鍵詞的認識[A]. 全國數學教育研究會.全國數學教育研究會2014年國際學術年會論文集[C].全國數學教育研究會：中國高教學會高等師范教育研究會數學教育會，2014：8.

作者簡介：虢小鵬（1991.12—），男，湖北武漢人，本科學歷，中小學二級教師，研究方向：小學數學。