數學解題中的動靜結合*

李德安 (云南省曲靖市第一中學 655000)

孫雪梅 (曲靖師范學院數學與統計學院 655011)

隨著基礎教育課程改革的不斷推進，為改變當前知識被絕對化和神圣化，而能力和素養卻被弱化的教育現狀，教育部在《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中提到：要研究提出各學段學生發展的核心素養體系.就數學學科而言，有關數學核心素養的問題也引起了數學教育界廣泛的討論，對數學核心素養的界定也眾說紛紜，歸納起來數學核心素養是指具有適應現代社會發展和終身發展需要的、與數學有關的關鍵能力和思維品質，它以數學核心知識為載體，以培養學生數學核心能力、引導學生形成數學思維與數學態度為目的[1-2].數學核心素養是數學教學的核心與靈魂，要形成和發展學生的數學核心素養就是要教會學生數學思維，然后通過個體的獨立思考和親身體驗，從而領悟數學的基本思想和方法.學習數學離不開解題，數學解題過程就是數學思維和數學思想方法應用的過程，充滿著直覺和邏輯、觀察與聯想、猜想與推理、分析與綜合等思維，是有效地促進學生數學思維能力提升的重要環節.

本文以第一作者所上的一節習題課為例，探討在解題教學中如何提高數學思維能力進而提升學生的數學核心素養.

1 一石激起千層浪，動靜思維

動靜思維是數學解題中常用的一種思維方式.動和靜是事物存在的兩種狀態，動和靜是相對

案例中設置面積建模的探究環節，讓學生多角度建立面積的模型，并選擇合適的模型，滲透了數形結合、直觀想象、數學建模；設置了直線與橢圓位置關系的探究與證明，滲透了邏輯推理、轉化與化歸、數學運算．數學文化在課堂上體現在從學情出發，尊重學生的認知規律、尊重學科本質，構建邏輯連貫的探究過程，在諄諄善誘的點拔和個性化指導中浸潤學生的思想和心靈．

3.3 滲透數學美，設置拓展推廣，落實素養提升

黑格爾說：“數學是上帝描述自然的符號.”數學教學中的數學之美體現于在數學知識的自然生成過程中感受自然之美、在展示數學方法的動態生成過程中欣賞和諧之美、在揭示數學規律的產生背景中欣賞人文之美．本案例從過橢圓上一點處切線的作法，到代數方法的邏輯推證，到過橢圓外一點作橢圓切線的探究，再到應用結論解決問題．這樣全景式地展示橢圓切線問題，讓學生經歷了和數學家一起發現問題、思考問題、解決問題的過程，學生在參與中體驗，在體驗中感悟數學之美，以文化來滋養學生，培養核心素養，落實學科育人．

3.4 滲透數學應用，設置鏈接高考，積累基本活動經驗

數學應用不僅體現在數學與生活、自然的密切關聯中，還體現在應用數學思維方法解決問題的過程中．本案例設置2016年全國高考卷解析幾何綜合題，此題是將例題的方法推廣到拋物線中，應用橢圓切線思想方法解決拋物線切線問題，重點考查了知識的遷移與應用，讓學生在問題解決過程中積累基本活動經驗．

4 結語

在高三數學微專題的教學中， 教師可以選擇一個具有代表性和普適性的典型問題(一般是課本上的例題和習題，或高考試題等)，從知識出發，通過設置問題鋪墊、解法探究、拓展推廣、鏈接高考，構建邏輯連貫的研究主線，呈現數學知識自然產生的過程；同時，從思想方法出發，追尋數學的歷史足跡、文化淵源、美學構建，從數學文化視角構建一條清晰的思想方法脈絡，讓學生體驗到數學的本質、人文價值、理性精神，在此過程中學生感受到數學的魅力，促進數學核心素養在課堂中落地生根．

的，是可以轉化的.在數學解題中，可化靜為動，也可以靜制動，還可動靜轉化和動靜結合.此節課就是讓學生掌握這種動靜思維.上課伊始，先拋出一個學生并不陌生的問題，起到拋磚引玉的作用.

引例 已知a,b,c∈R，a2+b2+c2=1，若a+b+c=0，求a的最大值.

觀察題中的表達式a2+b2+c2=1，學生很容易想到對a=-b-c平方，再利用重要不等式 2bc≤b2+c2，得到含a的不等式，解出a的范圍，求出a的最大值，從而有解法1.

有的學生見到a2+b2=1，就很自然地想到三角代換.事實上，a2+b2+c2=1的三角代換與其本質相同，相當于用了兩次sin2θ+cos2θ=1.于是利用三角替換法，可得到解法2.

解法2由a2+b2+c2=1及a+b+c=0，得a,b,c∈(-1,1),可設

以上兩種方法是常規解法，學生都容易想到和理解.教師引導學生回顧前兩種方法的共同點都是要“消參減元”，從而讓學生從 “減元”入手，首先選“主元”，將方程視為b的一元二次方程，即b為主元，a為參數,于是得到解法3.

解法3由a+b+c=0，得c=-a-b，故c2=a2+b2+2ab.又c2=1-a2-b2，故2b2+2ab+2a2-1=0.(*)

數學中的常量和變量是相互依存的，并在一定條件下可以相互轉化，而參變量是介于二者之間的具有中間性質的量，它雖屬于變量，但又可把它視為常量.解法3就是從“b動a靜”找到解題的突破口，但在解題中要注意方程(*)有實根，具體是在(-1,1)上有根，從而由Δ≥0得出a的范圍，這時的a只能保證方程(*)在R上有根，故要有一個檢驗的過程.

教師再趁熱打鐵，引導學生再觀察題設中的實數a，b，c.這三點滿足兩個等式，且都是變化的、運動著的.運動是絕對的，靜止是相對的，以動靜思維考慮問題，視a靜，b，c動，問題解決又有了新的視角，從而得到解法4.

由已知得-10.

通過引例我們可看到，解題有常規的解法，即通性通法，但當我們用動靜思維審視問題時，就可另辟蹊徑，達到老樹長新芽的意境.

2 識得廬山真面目，以動取勝

引例中使用動靜思維找到解題的新思路，我們乘勝追擊，給出一道解析幾何題，嘗試動靜思維的再次應用.

題中有定點有動點，該如何利用呢？動和靜是事物存在的兩種狀態，一方面動和靜是相對的，是可以轉化的，另一方面，可以尋求靜止狀態之前的運動過程，或者從運動過程中找出數學對象將會達到的相對靜止的狀態，特別是挖掘它運動到某個特殊點時所具有的特殊性質.在數學解題中常常就用這種“以動取勝”的方法找到解題的突破口.

圖1

解法1如圖1，直線l恒過定點M(0,2)，⊙M可化為x2+ (y-2)2=1.

解法2是將題目放在物理背景中來研究，更能讓學生理解向量共線時，向量的模取得最大值.此方法和解法1一樣，就是通過讓點C動起來，從而“以動取勝”，求得問題的解.

在向量相加中，若通過平移使得表示向量的有向線段“首尾相接”，運算后會更簡捷，“以動取勝”的優勢會更顯著.

3 柳暗花明又一村，以靜制動

運動和靜止都有一定的相對性，處于運動的事物其中一部分也會處于相對靜止的狀態.在解題中可以尋找變化中不變的條件，以此作為解題的切入點，可達到“以靜制動”的效果.

例2如圖2，銳角△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，其中點B，C在y軸異側，且3≤a≤4，BC=4，AC邊上的高為BD，D為垂足，若直線OD的斜率為k，則k的取值范圍是.

圖2

學生容易想到的是用斜率公式求出k的表達式，但是解題過程繁瑣復雜，大部分學生不易求得正確的表達式，因此只能半途而廢了.教師引導學生觀察圖2，雖然A，B，C三點都是動點，但BC長度為4，是靜的.以此靜探究動點A，借助圓的知識，易確定∠BAC取最值時，點A所在位置.用 “以靜制動”的思維，從而找到解題的思路.

解由∠AOB=∠ADB=90°，可知A,B,O,D四點共圓，所以∠DOC=∠BAC.由點D在線段AC上，可知點D在第一象限，故直線OD的傾斜角為銳角.當∠BAC最小時，k取最小值；當∠BAC最大時，k取最大值.

圖3 圖4

該題若沒有運用以靜制動的思維策略，由于A,B,C三點都是動的，解答過程就會有很多的困擾，就會成為學生口中所謂的難題.

4 它山之石可攻玉，動靜轉化

運動和靜止的相互依存，同時又能借助一定的條件互相轉化的哲學思想，應用在數學解題中就是要認識到數與形、常量與變量、運動與靜止、變與不變等，它們既對立又統一，共處于一個統一體中，在一定條件下相互依存，一方的存在以另一方的存在為前提，并且依據一定的條件它們也可相互轉化[3].

由柯西不等式，得(au+2b)2≤(a2+4b2)(u2+1),即u4≤(a2+4b2)(u2+1)，

此解法為常規的解法.若注意到a2+4b2的幾何意義，可將原本關于x的等式，視為關于點(a,2b)的直線，那么x就是參數,處常數地位.通過如此動靜轉化，問題隨即轉化到原點與直線上點的距離的最小值問題.

動靜的轉化，使問題完全轉化到另一個狀態上.見到x自然會想到一個變量，見到a自然會想到一個常量，這是思維定勢.然而x,a在未確定之時，均可成為變量，亦可視為常量.思維定勢自然有思維上的優勢，但也會帶來一定的思維僵化.動靜轉化亦是對思維定勢的打破.

南師附中葛軍校長以為數學題就跟萬花筒一樣：“萬花筒中僅幾片，看到精彩紛繁僅是變，‘動則不動’繁化簡.”萬花筒靜止了看，只有一片兩片三四片.數學題也是這樣，萬變不離其宗.題目“搖身一變”，無非是讓你多一份感受，幫助你更深刻地認識它的本質.解題中的動靜思維打破了知識結構的限制，從思維層面、從辯證角度審視問題.

提升學生數學核心素養的主戰場就是課堂教學.數學核心素養不是綜合素養、全面素養，而是關鍵和少數素養，這其中數學思維能力是不可缺少的.因此，解題教學中教師要通過一題多解來提高學生思維的發散性；通過一題多變來訓練學生思維的廣闊性；通過一題多問來培養學生思維的深刻性；通過多題歸一來訓練學生思維的變通性.核心素養的落地迫切需要通過“課堂革命”來完成，需要我們“為未知而教，為未來而學”.核心素養是課程改革的燈塔.燈塔的引領常常可以讓我們走得更遠，但無論走到哪里，都不能偏離教學背后的人.核心素養的落地是以堅守“人本立場”為前提的[4].核心素養的提升，在課堂上，在課堂教學的改革上.