理解數(shù)學(xué) 表達(dá)數(shù)學(xué) 豐富思維
——“直線與圓中的問題探究”一輪復(fù)習(xí)與反思

王 耀 (江蘇省蘇州第一中學(xué) 215000)

1 學(xué)情分析

教學(xué)對象是四星級高中的高三物化組合重點(diǎn)班學(xué)生，基礎(chǔ)良好，有較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．

2 考點(diǎn)解讀

直線與圓中的綜合問題是數(shù)學(xué)高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，高考對這一內(nèi)容的考查既可能出現(xiàn)在填空題也可能出現(xiàn)在解答題．出現(xiàn)在填空題中時(shí)，多為直線與圓的位置關(guān)系或圓與圓的位置關(guān)系為主的小綜合題，解法常以“定性分析”和“定量計(jì)算”相結(jié)合，有一定難度；作為解答題時(shí)，則主要考查直線和圓背景下的數(shù)學(xué)知識綜合運(yùn)用，試題基本源于課本，難度雖然不大，但要求考生具有一定的運(yùn)算能力和問題解決能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；掌握利用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．

(2)能借助幾何直觀探索解題思路，運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問題，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，讓學(xué)生經(jīng)歷獲取知識與方法的過程．

(3)通過直線、圓、三角函數(shù)、向量、不等式等知識間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．

教學(xué)重點(diǎn) 能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決與直線和圓有關(guān)的問題．

教學(xué)難點(diǎn) 能在分析問題的過程中合理選擇解題方法，優(yōu)化求解過程．

3 過程實(shí)錄

3.1 學(xué)生自測反饋

用導(dǎo)學(xué)案輔助教學(xué)，課前以填空題的形式引導(dǎo)學(xué)生自主完成如下自測題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+(y-1)2=4．

1.若直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，直線l的方程為．

3.動點(diǎn)P在直線l:x-y-2=0上，若圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為1，求動點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．

3.2 師生共同梳理(方法的搜集)

(1)面積公式上的邊角互化

師：處理直線與圓的位置關(guān)系問題時(shí)常常涉及求弦長，請同學(xué)們回憶一下有哪些處理方法．

師：上述兩種方法總結(jié)得清晰明了，充分體現(xiàn)了“數(shù)”“形”兩種思想之間的統(tǒng)一聯(lián)系.但是，這里在處理圓中的弦長時(shí)，我們首選哪種方法呢？

生眾：幾何法．

師：圓是中心對稱圖形，通過初中平面幾何知識的學(xué)習(xí)，弦心距、弦長的一半和圓的半徑可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形，可見弦心距是一個(gè)重要的概念，它將弦長、圓心角、弦心距聯(lián)系在一起，這樣便于借助幾何直觀找到圓中問題的解題途徑．下面，請回憶自測題1用什么方法求解.

圖1

師：上述兩種思路分別采用設(shè)“長度”和設(shè)“角度”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到面積公式，再分別結(jié)合基本不等式和三角函數(shù)求解，這也是處理解析幾何問題的兩條常用途徑．通過設(shè)“角度”的解答，我們是不是還能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方法可以互化？

學(xué)生討論、回答：邊長化成角度，其實(shí)就是三角換元，設(shè)∠ACB=2θ，則h=rcosθ，AB= 2rsinθ，于是S=r2sin 2θ．

師：非常好！這里我們發(fā)現(xiàn)圓中的弦長可以用三角函數(shù)來表示，即AB=2rsinθ，也可以稱作“參數(shù)法”．在解題時(shí)，盡量選擇適合自己的方法．

(2)向量等式中的數(shù)形轉(zhuǎn)化

師：自測題2中給出了一個(gè)向量等式條件，我們可以運(yùn)用向量的什么知識實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化呢？

圖2

師：兩位同學(xué)用不同方法都得到了正確結(jié)果，分別利用了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的線性運(yùn)算將向量等式代數(shù)化.這是利用向量知識解決幾何問題的一種重要方法與途徑．當(dāng)然，我發(fā)現(xiàn)也有部分同學(xué)選擇了向量的另一種運(yùn)算——坐標(biāo)化，通過聯(lián)立方程組進(jìn)行求解，這也是通性通法.比較而言，生5的方法更加簡潔明了．

(3)幾何直觀下的視角變化

師：自測題3用什么方法？正確求解此題的關(guān)鍵是什么？

圖3

生6：根據(jù)條件“圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為1”可以得到一個(gè)以P為圓心、1為半徑的圓，并且這個(gè)圓與圓C相交(圖3)，利用兩圓位置關(guān)系可以求解，過程如下：

師：很好！生6找到了一個(gè)動圓與已知圓相交的位置關(guān)系，完美地解決了問題.用這種幾何直觀的方法解決問題是正確求解的關(guān)鍵．荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說：“幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進(jìn)入的，當(dāng)我們陷入問題、觀念、方法的困擾時(shí)，幾何可以拯救我們．”

從宏觀的視角去分析，圓C上到點(diǎn)P的距離為1的點(diǎn)，在以P為圓心、1為半徑的圓上；再從微觀的視角去思考，這樣的點(diǎn)“恰有兩個(gè)”則表明了兩圓的位置關(guān)系為相交．因此，我們在分析問題時(shí)可以通過經(jīng)驗(yàn)、觀察、想象等途徑，直觀地感知問題的結(jié)果或方向．

3.3 典型例題講解(方法的應(yīng)用)

例1(2017年6月蘇州市高二期末統(tǒng)考第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+(y-1)2=4，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則PC的最大值為．

圖4

分析 首先，根據(jù)題意作出示意圖(圖4)，利用幾何直觀，可知點(diǎn)P，C在弦AB的中垂線上．通過引入?yún)?shù)(設(shè)長度或角度)得到PC的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求出最值．

師：本例中，通過對題設(shè)及結(jié)論的分析，合理選擇參數(shù)(長度或角度)找到簡便的解題途徑是關(guān)鍵．還有其他解法嗎？(停頓一下)

圖5

探究 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+(y-1)2=4，正方形ABMN的一邊AB為圓C的一條弦，求線段CM長度的最大值．

圖6

師(追問)：線段CM長度有最小值嗎？如何求？

師：直線與圓的問題歸根到底是幾何問題，因此解題中常需綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理及三角等知識以達(dá)到簡化解題過程的目的．

分析 本題中，弦AB被點(diǎn)P分成兩部分，考查這兩個(gè)線段長度比值的范圍.結(jié)合圖形 (圖7)，首先引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀的角度探究PA,PB的變化規(guī)律(借助GeoGebra軟件展示動畫),再從解析法角度展開分析．

圖7

師：這題從平面幾何角度分析，也許不太容易想到．那么，從解析幾何角度應(yīng)該如何思考呢？

師：生12的想法很好，通過向量表達(dá)式入手引進(jìn)坐標(biāo)運(yùn)算，得到兩圓位置關(guān)系求解．這道題也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì).從不同的角度看數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的本質(zhì)便有不同的認(rèn)識．這道題我們?nèi)钥蓮膸缀蔚慕嵌壬钊胨伎迹艚o大家課后討論．

3.4 課堂小結(jié)(略)

4 教學(xué)感悟

(1)深化認(rèn)識，理解數(shù)學(xué)

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》“課程目標(biāo)”中指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(簡稱“四基”)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)．高考命題的依據(jù)是課標(biāo)、考綱與教材，命題“源于教材但又高于教材”，這是全體高三教師的共識．在高三備考的教學(xué)實(shí)踐中，要落實(shí)“四基”“四能”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，離不開對教材的深刻理解．章建躍教授近年來倡導(dǎo)的“理解數(shù)學(xué)”引起了廣泛的關(guān)注，他指出：理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)知識的教學(xué)表達(dá)經(jīng)驗(yàn)．

的確，對于教師而言，理解教材是教好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，教材中的定理和例習(xí)題具有典型性、示范性和關(guān)聯(lián)性，它們或是滲透某些數(shù)學(xué)方法，或是體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想.因此，在高三一輪復(fù)習(xí)中，我們要認(rèn)真分析教材，充分利用教材相關(guān)資源，通過改編例習(xí)題的形式將相關(guān)重要知識點(diǎn)串起來，系統(tǒng)梳理知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)；通過挖掘教材中定理、例題所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生了解到高考中所用的一些解題思想方法并非是無源之水、無本之木，而是來源于教材，從而使學(xué)生更易理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法．

(2)深度學(xué)習(xí)，表達(dá)數(shù)學(xué)

所謂深度學(xué)習(xí)，就是指學(xué)生在教師引領(lǐng)下圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題全身心地積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程．教學(xué)的目的是使學(xué)生從“學(xué)會”逐步達(dá)到“會學(xué)”，這實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)表達(dá)”方面的知識．換言之，學(xué)生并不是靜待接受知識，而是主動“進(jìn)入”知識結(jié)構(gòu)去分析發(fā)現(xiàn)的過程.這就需要教者為學(xué)生提供能夠進(jìn)行思維操作和加工的教學(xué)素材，成為學(xué)生的研究對象．

高三一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是緊扣教材，夯實(shí)“四基”“四能”，但如果僅停留在教材知識的簡單重復(fù)與羅列上，則無法激起學(xué)生主動參與的興趣．復(fù)習(xí)過程中，不妨注重聯(lián)系，“合縱連橫”地進(jìn)行知識體系的再建構(gòu)，將分散在教材各章節(jié)中有聯(lián)系的知識靈活“串聯(lián)”起來，并以多種多樣的方式加以呈現(xiàn)，讓學(xué)生在回歸教材時(shí)進(jìn)行再整理、再綜合，進(jìn)而掌握不同知識的結(jié)合點(diǎn)，提高綜合運(yùn)用知識解題的能力．如本節(jié)課中研究的相關(guān)問題，從解法中我們看到這些問題與三角函數(shù)、向量、正弦定理、余弦定理、不等式等知識之間有著密切的聯(lián)系，而且這些相關(guān)知識都是解決幾何問題的有力工具，對這些問題的分析歷程使學(xué)生領(lǐng)會了知識的精髓，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)知識的表達(dá)經(jīng)驗(yàn)．

(3)深入探究，豐富思維

微專題是近年來高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的一個(gè)常見課型.通過這個(gè)課型的教學(xué)方法，教師精心選擇好的素材和試題，結(jié)合歸類設(shè)計(jì)、變式開發(fā)等手段完善講評策略，適時(shí)讓學(xué)生自主或師生合作進(jìn)行解法的探究及知識的引申拓展，探究解法聯(lián)系，還原問題本原，從而引導(dǎo)學(xué)生積極、主動地矯正思維問題，深入體會數(shù)學(xué)思想方法，拓寬思維的廣度，發(fā)掘思維的深度，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．這不僅不會影響復(fù)習(xí)進(jìn)度，還會使高三課堂更富活力，有利于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提高課堂教學(xué)的效率和品位．

通過本節(jié)課中的問題解決過程發(fā)現(xiàn)，解法之間有聯(lián)系更有創(chuàng)新，各具特色，解題過程不再是“冰冷的形式化美麗”，而是那種發(fā)散的、火熱的思考過程，達(dá)到了數(shù)學(xué)思維的自然流淌．由此可見，面對數(shù)學(xué)問題，只要學(xué)會廣泛地聯(lián)想和生動地類比，我們就會發(fā)現(xiàn)寬闊的思路，探究出各式各樣的方法來．如果在解題過程中，對于每一個(gè)細(xì)節(jié)再進(jìn)一步深入思考，繼續(xù)追尋下去，那么解法還能不斷改進(jìn)、不斷優(yōu)化，化復(fù)雜為簡單，聚分散為統(tǒng)一．這一切不僅可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，更是一種數(shù)學(xué)美的享受．

總之，提高學(xué)生的解題思維能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要主題．作為教者，在實(shí)踐層面，要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的多樣化呈現(xiàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的多重建構(gòu)；要注重?cái)?shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)表征的多元轉(zhuǎn)換；要注重問題表征的數(shù)學(xué)反思，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深刻生成，從而讓我們的課堂教學(xué)更加精彩，最大限度地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升．