DIMA平臺下高中函數圖象教學要注意解析性與幾何性的一致性*

朱偉衛(wèi) (上海市徐匯區(qū)教育學院 200032)

函數圖象的幾何直觀是整體認識函數概念的重要角度．這是因為函數圖象的特征反映了函數重要的基本性質，所以掌握了函數圖象的特點，基本上就掌握了函數的基本性質．函數圖象具有直觀性，它能夠幫助我們建立想象、理解抽象的概念，尋求解決問題的思路．函數圖象的教學能夠幫助學生形成數形結合思想，能夠較好地提高學生的直觀想象能力，也能夠提高學生的邏輯推理能力，是培育學生數學核心素養(yǎng)的重要載體．

DIMA是“基于現代信息技術的數字化數學活動”的簡稱，由數字化(Digitization)、信息技術(Information technology)、現代(Modern)和數學活動(Mathematics activities)的英文首字母組合而成．“DIMA平臺”是指以計算機、計算器為支撐，擁有智能軟件和豐富課件，連接信息網絡的，能夠開展現代信息技術的數字化數學活動的數學教學軟硬件設備系統．[1-2]DIMA平臺使得函數作圖變得方便快捷，并且可以構建一種動態(tài)環(huán)境，為學生利用圖象直觀研究函數性質提供了有力工具．因此，教學中應注意充分發(fā)揮函數圖象的作用，讓學生自己作出函數圖象，通過觀察圖象變化規(guī)律來研究函數的性質．但是，函數圖象的得到卻又不是一件輕而易舉的事情，即使是利用現代信息技術作圖也會存在問題．對于一些比較復雜的函數，我們需要通過對函數進行解析研究來得到函數的定義域、值域、對稱性、奇偶性、凹凸性、拐點、漸近線、極值、最值、有界性等，只有清楚地研究出這些性質才能較為準確地畫出函數的圖象．可見，函數圖象的解析性與幾何性都是認識函數的基本內容．

本文擬對DIMA平臺下高中函數圖象教學的解析性與幾何性進行探討，并提出要注意函數圖象的解析性與幾何性的一致性問題．

1 充分利用DIMA平臺作圖功能

1.1 發(fā)揮驗證展示功能

筆者曾經讓一些青年數學教師做一個非常“簡單”的問題：

幾乎所有人都畫出了圖1的形狀，但實際上這個函數的圖象應該畫成圖2的樣子．可見，計算機的精確作圖能給我們起到很好的驗證作用．

圖1 圖2

出現錯誤的原因是教師沒有注意到函數的凹凸性．現行高中教材并沒有定義函數的凹凸性，教師出現這種錯誤似乎情有可原，但如果教師在描點的時候能夠稍微細致一點，這個問題就可以得到很好的解決．其實，函數的凹凸性在解決一些問題時是極為重要的．

下面再給出一個因為處理函數凹凸性不當而帶來的錯誤解答．在一次自主招生輔導課上，我給學生布置了一道多元函數的最值問題：

可見應用琴生不等式的前提條件不存在，因此上面的證明是錯誤的．

此外，DIMA平臺可以通過函數解析式直接得到函數圖象，或者根據圖象直接擬合出函數解析式.這對于展示函數圖象并據此得出函數性質非常方便．

1.2 發(fā)揮動態(tài)演示功能

DIMA平臺動態(tài)演示功能的特有優(yōu)勢是具有交互性、直觀性和運動性．DIMA平臺可將教學內容以多媒體的形式形象生動地表現出來，圖像、動畫逼真，有助于師生互動．運用計算機可以演示那些用語言難以表達的、變化過程復雜的或用肉眼看不見的教學內容，使學生很好地明白其內在規(guī)律．這彌補了傳統教學在直觀感、立體感和動態(tài)感等多方面的不足，能夠取得傳統教學無法比擬的教學效果．

2004年5月人民教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書(必修)數學1(A版)》封面上展示了電腦屏幕上三個函數y=x2,y=2x,y=log2x的圖象，反映了這三個圖象之間的關系．進一步地，我們有個常規(guī)的經典問題：互為反函數的指、對數函數f(x)=ax和g(x)=logax的圖象有幾個交點？

我們借助DIMA平臺的動態(tài)演示功能，通過設定參數，演示動畫，容易得到一些結論：

圖4

當0

2 DIMA平臺作圖的局限性

DIMA平臺作圖有著傳統徒手作圖無法比擬的優(yōu)勢，特別是在對函數性質不十分明了時更有其獨到的“本領”，但也有不完善的地方．

2.1 容易忽視重要細節(jié)

被忽視細節(jié)的函數圖象有時會失去一些關鍵的信息，比如漸近線、孤立點等信息，這些信息是準確畫出函數圖象的重要細節(jié)．由此造成的后果是容易出現用特殊代替一般、用圖形直觀代替數學推理的武斷行為，對培養(yǎng)學生的嚴謹品格不利．

圖5

(A)b<0且c>0 (B)b>0且c<0

(C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0

解答本題可以先畫出函數f(x)的圖象(圖6)．再令f(x)=t，則“方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數解”等價于“t2+bt+c=0有一正根、一零根2個不同實數解”．根據根與系數的關系得b<0且c=0，故選C．

圖6 圖7

在這個問題中，畫出的圖象應該要多出一條漸近線(圖7)，而要使關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數解，則關于f(x)的方程f2(x)+bf(x)+c=0有一個在區(qū)間(0,1)的正實數根和一個零根．故c=0,f(x)=-b∈(0,1)，即-1

2.2 可能忽視作圖過程

隨著技術的進步，DIMA平臺作圖已經非常簡便快捷，即輸即得、運動變化等操作已不是技術障礙．但也正因如此，有時候容易使得作圖過程得不到很好的展示，特別是復雜圖形的處理幾乎可以不用展示作圖過程而直接得到圖象，失去了一些學習函數知識的好機會．

2.3 容易受到技術限制

有時候，因為圖形畫得不夠完整，或者觀察圖形不夠仔細，或者圖形的選擇不夠合理，或者畫圖選用了不合適的比例，或者DIMA平臺分辨率不夠，又或者工具軟件使用不夠熟練，使得DIMA平臺作圖也容易因為一些失誤而帶來誤判．

圖8 圖9

2.4 難以辨別海量數據

DIMA平臺的運用經常伴隨著海量的數據．怎樣在海量數據中尋找有用數據、發(fā)現本質規(guī)律、進行合理分析，是達成教學目標的重中之重．

3 DIMA平臺下函數圖象解析性與幾何性的一致性教學

華羅庚先生曾這樣描寫數與形的關系：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．數無形時少直覺，形少數時難入微．數形結合百般好，隔離分家萬事非．切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離．”這段話反映出“數形結合”的本質是幾何與代數的統一，很好地描述了函數圖象解析性與幾何性的一致性，值得我們仔細品味．

3.1 函數圖象教學傳統處理方式的優(yōu)缺點

(1)傳統處理方式平衡點的把握是科學的

函數圖象教學的傳統處理方式主要有三種．一是“由圖象到性質”，主要體現在不便于在相應年級學習階段進行解析研究的一些函數性質的教學中．如初中函數圖象的教學、高中的指數函數和對數函數的圖象教學等．教學時一般需要先畫出圖象再根據圖象來初步研究函數的性質．二是“由圖象到概念”，主要體現在利用簡單函數的圖象引出函數的基本性質等概念．如函數奇偶性、單調性、最值等概念的引入．其特點是從特殊到一般的歸納，為對函數的解析研究奠定理論基礎．三是“由性質到圖象”，體現在研究函數解析性質的基礎上得到函數的圖象．如冪函數、正弦函數、余弦函數等圖象的教學．這是在明確了函數基本性質的研究內容和方法后，通過解析研究(或者部分的解析研究)并確定函數基本性質的基礎上利用描點法得出圖象．

函數圖象教學傳統處理方式已經充分考慮到不同知識教學的需要，既能適時根據函數的解析性質準確地分析函數的圖象特征，又能合理借助函數圖象直觀地揭示函數的解析性質．但是對于一些復雜函數的圖象教學，傳統的處理方式的確能夠做到嚴謹嚴格，卻缺乏一些DIMA平臺的動態(tài)展示的靈氣，對探究發(fā)現帶來了一定的障礙或困難．

(2)過分倚重圖象的幾何性是突出的

在實際教學中，由于從初中以來研究函數時更加側重“由函數圖象得到函數性質”，從而造成一個典型誤區(qū)：學生對“數形結合”的認識明顯側重“以形促數”“數難則形”卻忽視了“以數解形”的同等地位，同時容易掩蓋“形”的缺點與不足，導致學生不能辯證地認識“數形結合”．[4]

不僅如此，在函數教學中，由于過分倚重函數圖象，掩蓋了“形”的不足，從而導致命題失誤和和解題過程不嚴謹的例子也不鮮見．

3.2 DIMA平臺下圖象教學要追求解析性與幾何性的一致性

《課標》[5-6]鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題．例如，利用計算器、計算機畫出冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數的性質，求方程的近似解等．在DIMA平臺上完成這些要求時，我們既要充分利用DIMA平臺作圖功能，又要注意DIMA平臺作圖的局限性，這就需要追求解析性與幾何性的一致性．

(1)描點作圖仍然需要

函數圖象的定義最初出現在初中教材：“一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．”教材還指出“通過圖象可以數形結合地研究函數”．人民教育出版社、課程教材研究所和中學數學教材實驗研究組編寫的《普通高中課程標準實驗教科書(必修)數學1(B版)》(2004年5月)第41-43頁：把集合F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}叫做函數y=f(x)的圖象．并指出“畫函數的圖象是學數學必須掌握的一個重要技能”，“要養(yǎng)成畫圖的習慣，并會利用函數的圖象來理解函數的性質．”

我們的實踐表明，為了更好地讓學生熟練掌握函數圖象，即使在DIMA平臺下，在起步階段，仍然應該對描點作圖進行必要的訓練，為學生徒手作圖奠定堅實的基礎．因為這既是理解函數圖象概念的需要，也是確認函數圖象應用的需要，更是理解DIMA平臺作圖的數學原理的需要，只有這樣才能讓學生確信DIMA平臺作圖的真實性，才能對圖象的得到更加信服并積極加以應用，才能對DIMA平臺作圖不僅知其然更知其所以然．

訓練時可以給出一些函數，學生先動手畫圖，然后與電腦作圖進行對比．結果其實并不重要，重要的是在作圖過程中讓學生思考如何能把握每一種函數圖象的變化趨勢、它們的相同以及不同點．

(2)圖象教學要追求解析性與幾何性的一致性

函數圖象的幾何性與解析性成為理解函數概念的兩個側面.這個辯證關系說明，只有圖象的解析性和幾何性并重才能完整準確地刻畫函數的性態(tài)，才可以在解題過程中相輔相成地應用．

教學時可以采用以下策略．

一是在得出圖象時，不僅要在DIMA平臺上展示函數圖象，而且在必要時應該研究函數的解析性質，包括函數的單調性、極值、凹凸性、漸近線等，以體現圖象的精準性．如果是通過DIMA平臺利用圖象變換得到函數的圖象，務必要先明確哪種基本初等函數的圖象是變換的基礎，然后弄清變換的過程，既有動態(tài)的演示又有解析的推演．注意不同的代數變形可以給出不同的幾何變換的解釋，這是體現圖象解析性與幾何性很好的機會．

例如，用圖象變換的方法得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,φ>0)的圖象：由t=ωx+φ得到x的過程有兩種方法，每種方法分別得到一種圖象變換的過程，也就是由t到x的兩種幾何解釋．

圖10 圖11

另一個是在應用DIMA平臺下函數的圖象解決問題時，要充分發(fā)揮圖形的直觀、形象、變化的作用，更要注意畫圖的準確性、完整性和對圖形觀察的細致性，必要時應結合數學運算通過解析研究來完成．這時要注意：圖形特征是否具有一般性？所使用圖象的幾何特征的解析依據是什么？ 只有從“數”的角度研究解析性質才能作出嚴謹正確的判斷，僅靠圖象是難以“入微”的．充分發(fā)揮“數”“形”的各自優(yōu)勢彌補各自缺陷，由數到形、由形到數，做到數與形的雙向溝通．

圖12

圖13 函數f(x)在(0, 1)上不是嚴格的凸函數或凹函數

圖14 x∈(0, 1)時，f(x)圖象在過點A的切線下方

總之，函數的解析研究可以嚴格論證函數的性態(tài)，雖然不夠直觀卻體現著函數圖象的解析性；函數的圖象研究是根據有限個點畫出函數圖象，盡管不夠嚴謹但形象直觀、易于理解，體現著函數圖象的幾何性．我們不能只是片面地強調解析性忽視幾何性，或者片面地強調幾何性而忽視解析性．DIMA平臺下函數圖象的教學既要注意用解析性論證幾何性，也要注意用幾何性探究解析性，保證解析性與幾何性的一致，同時注意應用的靈 活性．