指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)實踐與思考*

蔣智東 (江蘇省黃埭中學(xué) 215134)

1 認(rèn)識理解

1.1 對數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的認(rèn)識

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．[1]其中，直觀想象是指借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，體現(xiàn)了形象化特征的數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，體現(xiàn)了形式化和結(jié)構(gòu)化特征的數(shù)學(xué)思維．直觀想象和數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)思維兩種最基本的形式，體現(xiàn)了認(rèn)識事物和理解數(shù)學(xué)的思維特征．通常我們先通過直觀想象的方式來感知和理解事物及其規(guī)律，然后再通過數(shù)學(xué)抽象來獲得“數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”[1]．通過數(shù)學(xué)抽象又能更加深刻地理解和把握事物及其規(guī)律的本質(zhì)．直觀想象是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象是直觀想象的發(fā)展，兩者辯證統(tǒng)一地存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，是數(shù)學(xué)思維發(fā)展過程中的兩種最基本的素養(yǎng)，我們稱之為數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．[2]

1.2 對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的認(rèn)識

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵是要在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中來落實．一個數(shù)學(xué)教學(xué)活動通常包含著多種核心素養(yǎng)的發(fā)展，但這些核心素養(yǎng)的發(fā)展往往并不同步，而是有所側(cè)重的．

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)是最基礎(chǔ)也是最根本的教學(xué)，一般表現(xiàn)為三個基本環(huán)節(jié)．一是了解知識的來源或背景，根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實經(jīng)驗和已有認(rèn)知通過問題探究來實現(xiàn)知識的認(rèn)知．這一環(huán)節(jié)常常伴隨著直觀感知、模型想象的思維活動過程，指向“直觀想象”素養(yǎng)的發(fā)展．二是數(shù)學(xué)知識對象的抽象．在對數(shù)學(xué)對象原型(或模型)直觀想象的基礎(chǔ)上抽離數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，并用符號等數(shù)學(xué)方法進行表示，建立對數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識．這一環(huán)節(jié)指向了“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的發(fā)展．三是形成數(shù)學(xué)知識，理解并加以應(yīng)用．圍繞數(shù)學(xué)對象本質(zhì)進行基本的應(yīng)用，形成完整的數(shù)學(xué)對象模型，建立起對數(shù)學(xué)對象比較完整的認(rèn)識和理解．?dāng)?shù)學(xué)知識的教學(xué)中突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)抽象之間辯證的綜合發(fā)展過程．

2 實踐落實

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)是數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)發(fā)展的前提和基礎(chǔ)．我們需要在上述三個環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上不斷豐富課程內(nèi)涵設(shè)計，將自己對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解轉(zhuǎn)化為個性化的教學(xué)行為，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)提供具有可操作性的方案．

2.1 教學(xué)中數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得

·概念是在對概念對象圖形感知或模式識別的直觀認(rèn)知基礎(chǔ)上抽象獲得的

教學(xué)案例1弧度制

弧度建立在扇形圓心角基礎(chǔ)上，從圓心角、弧長、半徑三者的關(guān)系中可分析抽象出描述圓心角大小的概念．設(shè)計一個既包含圓心角、弧長及半徑又符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的情境引入新課．

圖1

問題情境：按照國際標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)校鉛球場地投擲區(qū)是一個圓，落球區(qū)是一個以圓心為頂點的角(根據(jù)比賽對象的不同，在角內(nèi)畫出多條弧線)，如圖1．

問題1 在只有皮尺的前提下，測算出這個角的大小．

鉛球比賽是學(xué)生比較熟悉的情境，提出的問題學(xué)生也比較容易聯(lián)想到扇形中的弧長公式，達到了通過情境引出問題的效果．此環(huán)節(jié)中學(xué)生經(jīng)歷了問題刺激進行模型想象以及對n的近似值進行分析推理的思維活動．

問題2 各組測量的弧長l及相應(yīng)半徑r的值均不同，為什么算得n的值卻都相同？

問題3 在上述認(rèn)識基礎(chǔ)上，大家還有什么進一步的想法？

·規(guī)則是在對相關(guān)數(shù)學(xué)對象關(guān)系規(guī)律的直接感知基礎(chǔ)上抽象獲得的

教學(xué)案例2平面向量的坐標(biāo)表示

師：向量學(xué)習(xí)過程中，哪些內(nèi)容涉及實數(shù)？

通過對向量概念和相關(guān)定理的回顧，學(xué)生感悟到平面向量作為一個幾何對象，它與實數(shù)(對)一直有著緊密的聯(lián)系．

問題1 已知向量a,b，夾角為60°，且|a|=2，|b|=3，|c|=6，向量c與a,b夾角均為30°，若c=λa+μb，則實數(shù)λ=，μ=．

問題2 已知向量a,b滿足a⊥b，且|a|=2， |b|=3，|c|=6，向量c與a,b夾角分別為60°和30°，若c=λa+μb，則實數(shù)λ=，μ=．

通過上面兩個問題，學(xué)生感悟到向量c在不同基底下的分解不同，從計算角度看，正交分解明顯優(yōu)于非正交分解．選擇傾向已經(jīng)在學(xué)生頭腦中逐漸形成，完成對規(guī)則的第一次抽象．

問題3 將問題2中的向量a,b都改為單位向量，其他條件不變，則實數(shù)λ=，μ=．

此時，λ和μ的特征已經(jīng)非常明顯，通過直觀感知，向量c=λa+μb與點C(λ，μ)之間的一一對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)讓向量c的坐標(biāo)呼之欲出，用數(shù)對(λ，μ)表示向量c已經(jīng)水到渠成，完成第二次抽象，規(guī)則形成．

問題1到問題3，不斷擴大內(nèi)涵、縮小外延，進行逐級抽象．三個問題間具有邏輯關(guān)聯(lián)，使得學(xué)生在生成平面向量c對應(yīng)的坐標(biāo)(λ，μ)的過程中不僅明確了向量坐標(biāo)的“身世”，也明確了確定向量坐標(biāo)的規(guī)則，達到了對平面向量的坐標(biāo)的認(rèn)識和理解．

2.2 教學(xué)中數(shù)學(xué)命題和模型的提出

·命題是對數(shù)學(xué)對象的關(guān)系特征感知基礎(chǔ)上抽象概括而成的

教學(xué)案例3平面向量基本定理

·法則(模型)是對具體算式中所蘊涵模式的直觀認(rèn)知基礎(chǔ)上抽象概括而成的

教學(xué)案例4兩角差的余弦

2.3 教學(xué)中數(shù)學(xué)方法與思想的形成

數(shù)學(xué)抽象的一個重要產(chǎn)物是數(shù)學(xué)方法與思想的形成．?dāng)?shù)學(xué)方法與思想蘊含在數(shù)學(xué)抽象過程中，可以加深對數(shù)學(xué)抽象的理解．上面“兩角差的余弦”不僅要求學(xué)生抽象出公式的特征和本質(zhì)，而且要讓學(xué)生參與到公式的形成與證明過程中，通過這一公式了解此類知識研究學(xué)習(xí)的“套路”，這里的關(guān)鍵便是數(shù)學(xué)方法與思想的運用．立足學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想與方法，真正認(rèn)識并形成數(shù)學(xué)抽象的思維方式[3]，最終使學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)地認(rèn)識并解決問題的思想方法．

2.4 教學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識

數(shù)學(xué)抽象的一個更高水平是形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系．“兩角差的余弦”這節(jié)課借助數(shù)學(xué)抽象得出公式、應(yīng)用公式的過程，讓學(xué)生看清了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和發(fā)展過程，也就是知識的“來龍去脈”．

圖2 圖3

整節(jié)課的抽象過程既展現(xiàn)出知識的來龍去脈，又展現(xiàn)出知識的升華拓展，更有方法的延續(xù)，為學(xué)生的探究留下了足夠的機會和空間．兩角差的余弦公式作為三角變換的第一個公式，是后續(xù)變換研究的基礎(chǔ)．在cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ中，將“β”換成“-β”就得到cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ，進而通過誘導(dǎo)公式就可以得到兩角和的正弦公式．在此基礎(chǔ)上，進一步得到二倍角的三角函數(shù)公式，直至積化和差公式、和差化積公式，由此形成三角變換的系統(tǒng)．

3 思考建議

(1)深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)——培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)

知識是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成本源[4]．首先，教師應(yīng)該結(jié)合數(shù)學(xué)知識在學(xué)科體系內(nèi)的地位和作用，通過對知識的文本解讀弄清知識的特征、要素和關(guān)系，增強對知識本質(zhì)的認(rèn)識和理解，比如弧度制要從圓心角、對應(yīng)弧長和半徑三者關(guān)系入手來研究，為什么要引入平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量基本定理“基本”在哪里等．其次，教師應(yīng)該加強對數(shù)學(xué)知識所能體現(xiàn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的思考和分析，從前面所述的教學(xué)三環(huán)節(jié)的角度來研究認(rèn)識知識的結(jié)構(gòu)，依據(jù)知識間的內(nèi)在邏輯將知識由具體到抽象逐級呈現(xiàn)，使學(xué)生能夠充分感受到數(shù)學(xué)抽象的過程，并在此過程中建構(gòu)對知識的認(rèn)識、領(lǐng)悟知識的本質(zhì)．

(2)設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動——培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的載體

學(xué)生的抽象經(jīng)驗需要在探究活動中積累，抽象能力需要到探究活動中發(fā)展，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)需要在數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗的積淀和升華中培養(yǎng)．[5]數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)置要與數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)相適應(yīng)，要基于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的階段性特點．在認(rèn)識數(shù)學(xué)對象來源階段，提供直觀感知、模型想象等思維活動的情境或素材，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．在數(shù)學(xué)知識對象抽象階段，探究活動與問題設(shè)計要立足學(xué)生認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律，充分展示知識的生成過程，在促使知識內(nèi)化的過程中，形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象概括出數(shù)學(xué)對象的特征要素和關(guān)系，建立對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解，形成數(shù)學(xué)的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．

(3)領(lǐng)悟教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)方法與思想——培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的核心

學(xué)生能夠領(lǐng)悟蘊涵在知識中的數(shù)學(xué)方法，形 成理解和分析問題的學(xué)科思維能力是數(shù)學(xué)核心素 養(yǎng)生成的最高表現(xiàn)．[6]首先，教師要在對知識的理解基礎(chǔ)上，將相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與思想“鑲嵌”在知識 的教學(xué)中．這種“鑲嵌”就是要通過情境或問題設(shè)置，盡量讓學(xué)生在自主探究的思維活動中能夠捕捉到．學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)上，可以進一步提高數(shù)學(xué)抽象能力，加深對知識的認(rèn)識與理解．其次，教師要在對直觀想象和數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生積累形成數(shù)學(xué)思維能力的數(shù)學(xué)方法與思想．如聯(lián)想與概括、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等． 借助知識特征及相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與思想，不斷提升數(shù)學(xué)抽象的層級和水平，逐步完善知識的建構(gòu)與理解．

數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基礎(chǔ)層面的素養(yǎng)，是按照數(shù)學(xué)方式來認(rèn)識事物和理解數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)眼光來觀察世界”的思維性目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)思維素養(yǎng)的發(fā)展一定是要建立在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和理解之上，無論是傳統(tǒng)的“雙基”還是新課程之后的“四基”，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)都是最基礎(chǔ)的教學(xué)活動，它既體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知活動，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的發(fā)展過程，可以提高發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的有效性．因此，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)應(yīng)該聚焦于學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的發(fā)展．