基于數學核心素養的概念教學
——以“拋物線及其標準方程”教學為例*

趙天璽 (安徽省界首第一中學 236500)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《標準》)指出:“基于數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養.”數學是思維的科學，概念是思維的細胞，概念教學是培養學生數學核心素養的重要載體.本文以北師大版教材“拋物線及其標準方程”教學為例談談筆者的做法，不妥之處懇請同行斧正.

1 教學過程

環節1創設情境，引入概念

情境1 播放PPT讓學生欣賞鉛球運動軌跡、噴泉、煙花等圖片.

設計意圖讓學生了解拋物線幾何圖形的背景，產生對拋物線的直觀感受.

情境2 問題1：平面直角坐標系中二次函數的圖象是拋物線.旋轉函數圖象，旋轉后的拋物線還是二次函數圖象嗎？究竟什么是拋物線？

設計意圖概念教學要講必要性.二次函數的圖象旋轉后得到的拋物線不一定是二次函數的圖象.什么才是拋物線的本質，問題的提出引發了學生探索拋物線概念的渴望.

圖1

情境3 兔子逃跑問題：如圖1，一只貪吃的兔子為了吃到更肥美的青草，冒險來到這片危機四伏的草原，好在這里也有避險的地方，一個是右側的洞穴，一個是左側的樹林.當危險發生時，兔子選擇什么樣的逃跑路線才能以最快的速度抵達安全地帶？本著就近避險的原則，請在草地上作一個邊界，使得位于邊界一側的點到樹林避險，位于另一側的點到洞穴避險.

師：這個邊界上的點滿足什么樣的條件？

生：到洞穴和樹林的距離相等.

師：如果把地面看作一個平面，樹林的邊界和洞穴可以分別看作什么？這個問題可以轉化為一個什么樣的數學問題？

生：一條直線和一個點.可以轉化為在平面內找到定點距離和定直線距離相等的點的軌跡.

師：很棒！要補充說明一下，這個定點是在直線外.

設計意圖引導學生用數學的眼光觀察現象，發現問題.“兔子逃跑問題”來源于動畫片，有很強的趣味性，更重要的是它使拋物線概念的生成更加自然，同時也發展了學生的數學抽象和數學建模素養.

環節2操作探究，構建概念

師：我們把這條定直線記作l,定點記作F，請同學們在草稿紙上試著找出一些滿足條件的點，看看點的軌跡大致是什么形狀.

(幾分鐘后)

生：很難找.除了F到l垂線段中點外，其他的點只能目測，很難準確地畫出來，軌跡大致是一條曲線.

圖2

師：為了準確地畫出這個軌跡，請拿出我給大家準備的工具(畫板、直尺、三角板等).把直尺固定在畫板上當作直線l，把三角板的一條直角邊緊靠在直尺的邊緣，把細繩(長度與另一直角邊相等)的一端固定在頂點A處，另一端固定在畫板上釘子(點F)處.用鉛筆尖(點M)扣緊繩子，靠住三角板.如圖2，你有什么發現？

生：點M到點F及直線l的距離相等，點M在軌跡上.

師：很好.請同學們將三角板沿著直尺上下滑動，筆尖在畫板上描出軌跡的一段.

(學生四人一組，合作操作)

師：當三角板下滑到釘子處，下移不動了，怎么辦？

生：把三角板往下翻轉，就可以畫出下面一段軌跡.

師：真聰明.根據操作過程，軌跡上半部分和下半部分有什么關系？

生：關于過點F和直線l垂直的直線對稱.

設計意圖通過合作操作培養學生的團結協作意識，在活動探究中發現軌跡的軸對稱特征，讓學生體驗成功的喜悅.

圖3

師：很好！同學們畫出的軌跡是什么形狀？

生：一條向右彎曲的曲線.

師：為了清晰完整地展現軌跡形狀，我們用GeoGebra動畫展示作圖過程(圖3).

設計意圖動態演示讓學生對軌跡有更加直觀、精準的認識，為概念的抽象做好充分的準備.

師：如果將軌跡順時針旋轉90度，像什么曲線？

生：開口向下的拋物線.

師：很好，其實軌跡就是一條開口向右的拋物線.根據拋物線的畫法，請同學們給拋物線下個定義.

生：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線.

師：用集合語言還可以表示為，{M||MF|=dl},dl是M到定直線l的距離.定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線.

設計意圖概念教學要注重生成過程.通過學生合作操作畫拋物線，發現其幾何特征，抽象概括出拋物線的定義，并用文字語言和集合語言予以表征，提升直觀想象和數學抽象素養.

思考1 如果直線l經過點F，那么平面內到定點F和定直線l距離相等的點的集合還是拋物線嗎？

生：不是，是過點F且與直線l垂直的直線.

師：對！因為l過F時，其軌跡不是拋物線，所以定義中一定不能忽略“l不過F”這個條件.

設計意圖思考1的目的是進一步深化對概念的理解，完善概念.

思考2 觀察圖4，你能用數學語言來描述嗎？

圖4

生：過定點和定直線相切的動圓圓心軌跡是拋物線.

設計意圖思考2是在定義生成之后，一次拋物線概念的直接應用，目的是再一次在學生腦海中生成集合 {M||MF|=dl}的曲線特征，提升直觀想象素養.

環節3選軸建系，求得方程

問題2：根據橢圓標準方程的構建過程，求曲線方程的一般步驟是什么？如何求拋物線方程？

生：(1)建系；(2)設點；(3)列式；(4)化簡；(5)證明(可省略).

師：類比橢圓，如何建立坐標系才能使所得到的拋物線的方程更簡單？由于焦點F到準線l的距離為定值，不妨設為p(p>0)，即KF=p(K為垂足).

生：以曲線的對稱軸為坐標軸建立直角坐標系求得的曲線方程簡單.因為拋物線關于KF對稱，所以直線KF可以作為x軸.

師：不錯，關鍵是y軸怎樣確定，即坐標原點O怎樣確定.

經過討論，學生有代表性的建系方案共三種(方案1、方案2、方案3分別對應圖5、圖6、圖7)，學生對應地分成三組求曲線方程.

圖5 圖6 圖7

設計意圖讓學生經歷建系求曲線方程的過程，用代數語言描述拋物線，提升數學建模和數學運算素養.教材只給出了一種建系方式，但學生在建系時可能不止一種.三種建系方式都是自然合理的選擇，體現了以學生為主體的教學理念.

三組學生得到的拋物線方程分別為y2= 2px-p2(p>0)，y2=2px(p>0)，y2=2px+p2(p>0).教師用同屏軟件將得到的曲線方程投影到一體機大屏幕上.

設計意圖信息技術的應用使不同小組的學生能及時交流推導的結果，提升了課堂教學效率，也是對傳統教學模式的一種改進.

師：上述結果是否都對？為什么？你認為哪個最好？

生：都對.因為建立的坐標系不同導致的方程不同，第二個方程最簡單、最好.

師：方案2求得的拋物線方程y2=2px(p>0)比較簡潔，我們把它叫做拋物線的標準方程.

設計意圖概念教學要講合理性.讓學生在比較中體會哪種建系方法得到的方程簡單，理解y2=2px(p>0)作為拋物線標準方程的原因，讓學生知其然并知其所以然.

設計意圖分析標準方程的要素和形式，加深對標準方程的理解和記憶.

問題3：類比橢圓的標準方程中不同的參數對應不同形狀的橢圓，拋物線的標準方程y2=2px(p>0)中只有一個參數p，它是如何影響拋物線形狀的？

圖8

師生交流，最后教師用GeoGebra演示由p的值從大變小而得到不同形狀的拋物線，其開口也從大變小，當p=0時軌跡是一條直線，不再是拋物線(圖8).

設計意圖利用信息技術了解參數p對拋物線的影響，加深了對解參數p本質的認識，深化對拋物線標準方程的理解.

環節4思考交流，深化提升

問題4：在求橢圓的標準方程時，由于焦點的位置不同，我們得到了不同形式的標準方程.對于拋物線的標準方程，除了開口向右的還有哪些不同的形式？請思考交流并填寫表1.

表1

設計意圖進一步掌握拋物線的另外三種標準方程，培養類比推理和知識遷移的能力，提升邏輯推理素養.

環節5例題解析，鞏固概念(略)

環節6課堂小結,積累經驗(略)

2 教學思考

章建躍博士指出：“教好數學就是落實數學學科核心素養.”數學教學的核心是概念教學，做好數學概念教學是落實數學核心素養的關鍵所在.筆者認為基于數學核心素養的概念教學應做到以下幾個方面.

(1)在概念的引入中發展核心素養

概念的引入是概念教學不可缺少的重要一環.在概念引入環節，教師應創設合適的問題情境，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，激發學生進一步探索概念的興趣.筆者通過三個情境，特別是情境3“兔子逃跑問題”，自然地引入了拋物線概念，同時也提升了學生的數學抽象和數學建模素養.

(2)在概念的生成過程中發展核心素養

“思想”是概念的靈魂，是“數學素養”的源 泉，“過程”是“思想”的載體，概念教學的核心應 當是在概念的形成過程中培養學生的數學核心 素養.因此教師應深入研究概念的來龍去脈，正 確把握概念的本質屬性，挖掘概念背后所蘊含的數學思想方法，提出合適的數學問題，設計合理的探究活動，在概念生成的過程中發展學生的數學核心素養.筆者通過一系列的問題和思考，引導 學生在合作學習、操作探究過程中發現拋物線幾何特征，抽象概括出拋物線定義，發展了直觀想象和數學抽象素養.通過學生選軸建系和推導拋物線方程的過程，發展了數學建模和數學運算的素養.

(3)利用信息技術發展核心素養

《課標》要求教師要提升信息技術的使用能力，“發揮信息技術直觀便捷、資源豐富的優勢，幫助學生發展數學學科核心素養”.概念教學應充分利用信息技術，幫助學生加深對概念及其本質的理解，發展數學核心素養.筆者利用GeoGebra軟件動畫展示拋物線的作圖過程，助力了拋物線概念的生成；展示參數的變化對拋物線的影響，加深了學生對標準方程和參數的理解.另外，同屏軟件的使用使不同小組的學生能及時交流推導的結果，提升了課堂教學效率.這些信息技術的應用有力地促進了核心素養的發展.