基于“深度教學” 提升推理能力
——“直角三角形的性質定理”的教學與思考

高 旻 (江蘇省蘇州市平江中學校 215000)

推理能力是《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)提出的核心概念之一.《標準》指出：推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中.推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.[1]從當前的教學現狀來看，發展學生的推理能力往往通過刷題來實現，有短期效果卻沒有真正成為學生的思維方式與能力.數學“深度教學”是指數學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與學生思維品質的提升，還應幫助學生學會學習，真正成為學習的主人[2].下面結合課例“直角三角形斜邊中線的性質”來談談數學教師如何在數學學習過程中基于“深度教學”,用“聯系的觀點”和“問題引領”的方式提升學生的推理能力.

1 教材分析

1.1 教學目標分析

“軸對稱圖形”章節教學要求在研究圖形性質和運動過程中，進一步發展學生的空間觀念，經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀.在多種形式的數學活動中發展學生的邏輯推理能力，讓學生體會運用合情推理探索數學結論、運用演繹推理證明數學命題的過程.本節課在學習了線段垂直平分線、角平分線和等腰三角形的性質及判定定理的基礎上，進一步研究直角三角形斜邊中線的性質定理.基于以上分析，本節課教學目標定為：在“操作—探究—歸納—證明”的過程中，探索并掌握直角三角形的性質定理，發展合情推理和演繹推理的能力.

1.2 教學重點和難點分析

學生在前兩節課已經學習了等腰三角形的性質和判定，初步具備了研究幾何圖形的基本方法(操作—探究—歸納—證明)，如何引導學生探索新圖形的性質？從動手操作到邏輯證明再到靈活應用是本節課著重要解決的問題.

教學重點 探索直角三角形斜邊中線定理.

教學難點 證明直角三角形斜邊中線性質定理和運用定理解決問題.

2 教學設計

2.1 回顧思考

師：前面我們學習了等腰三角形的軸對稱性，下面來回顧一下等腰三角形中所得的一些結論及研究幾何圖形的基本方法.

圖1

問題1如圖1，等腰三角形的性質定理是什么？判定定理是什么？

問題2請你說說上述定理的研究路徑和研究方法是什么？(研究路徑：操作—探究—歸納—證明.研究方法：從圖形運動(折疊)入手，把合情推理和演繹推理相結合，得到結論并證明；同時構造逆命題，并判斷它是真命題還是假命題，再利用演繹推理論證.)

設計意圖通過復習等腰三角形的性質和判定定理，讓學生回顧研究幾何圖形的基本方法“操作—探究—歸納—證明”，同時也為研究新圖形的性質做好方法鋪墊.用聯系的觀點分析問題是“深度教學”的重要環節，用聯系的觀點思考能讓學生思維更具邏輯性，并幫助學生建立結構性認知.在教學中，教師利用兩個問題讓學生理解具體知識和數學方法策略之間的聯系，讓學生在學習具體知識的同時理解研究幾何圖形的數學方法和思維策略，并能應用這些方法策略去分析和解決問題.

2.2 探究新知

活動1 合情推理，發現結論

師:今天我們要運用研究幾何圖形的基本思想方法來研究直角三角形斜邊中線有何特殊性質！

問題1請用刻度尺量一量直角三角形斜邊上的中線和斜邊之間有什么數量關系？(經過度量發現，斜邊上的中線等于斜邊的一半.)

問題2請同學們用折紙來驗證“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的猜想是否正確.

經過思考和交流，利用圖2的折疊方法，可驗證猜想.

圖2

設計意圖通過觀察測量和折紙活動，用合情推理猜想和驗證結論深化了學生的合情推理意識，同時為演繹推理做好鋪墊.測量和折紙等實踐活動為學生提供自主探索的空間，引導學生在“做”中感悟軸對稱圖形的數學本質，用圖形運動的方式確認探索得到的結論，有利于不斷發展學生對圖形直觀把握的能力，逐步形成一種審視、處理問題的一般方式——合情推理.合情推理是基于“事實”的推理，是為了推斷的推理，它的本質是從經驗過的東西推斷未曾經驗過的東西，從事物的過去和現在推斷事物的未來.由此可見，“深度教學”就是要將由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略.

活動2 演繹推理，證明猜想

師：通過活動1的操作，我們發現“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個結論成立.要驗證這是否是真命題，我們需要用已學過的知識進行證明.

問題1這個結論本質是要證明什么？(線段相等)

問題2想一想，我們有哪些證明線段相等的方法？(交流后方法有“等角對等邊”“全等三角形對應邊相等”等)

問題3如圖3，若根據“等角對等邊”，如何證明？(證明略)

問題4如圖4，“構造全等三角形，證明對應邊相等”，又如何證明？(證明略)

圖3 圖4

證明完畢后教師將直角三角形斜邊中線性質定理的文字語言和符號語言詳細板書.

設計意圖在活動1的基礎上，從不同角度論證探索得到的結論，將探索和證明有機地結合在一起，引導學生感受證明(演繹推理)是探索活動(合情推理)的自然延續和必要發展.“問題引領”和“交流互動”是數學深度教學的重要環節：設置問題1、2，讓學生理解問題的本質和常用證明方法，將證明直角三角形斜邊中線的性質轉化為證明線段相等，這也符合演繹推理是從已有的定義、公理、定理等出發的特點.問題3、4，讓學生通過不同的方法證明結論，在證明過程中師生之間、生生之間要充分交流和互動，教師不要直接給出添輔助線的方法，而要讓學生自主尋找恰當的輔助線添法，進而提升學生的演繹推理能力.由此可見，演繹推理能力的提升不能單靠多刷題，而要重視在證明活動中適當用好問題來引領推理并積極進行交流和互動.

活動3 逆向思維，合作探究

師：等腰三角形的性質和判定互為逆命題，下面請同學們從“逆命題”的角度繼續探究.

問題1“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是什么呢？

問題2這個逆命題是否成立？說明理由.

分析逆命題的題設和結論后，讓學生合作探究，論證逆命題是否成立.

設計意圖在探究線段、角和等腰三角形的對稱性過程中學習了性質定理(命題)和判定定理(逆命題)，拓展了學生“逆向思維”的能力，同時在證明逆命題過程中強化了學生演繹推理的能力.從深度教學“聯系的觀點”看逆向思維，是將命題與逆命題聯系起來，并幫助學生完善認知結構，這既是提出問題的一種思考方法，也是分析問題的一種思考角度.故在進行命題學習時，探究逆命題的過程能讓深度教學內容更豐富，并能提升學生的推理能力.

2.3 應用新知

圖5

例1如圖5，在△ABC中，AD是高，E,F分別是AB,AC的中點．若AC=8，AB=10，求四邊形AEDF的周長.

問題1該圖形中有直角三角形斜邊中線嗎？

問題2運用今天所學的性質定理，在Rt△ABD中你能得到的結論是什么？在Rt△ADC中呢？

圖6

例2如圖6，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分別是AC,BD的中點．求證：MN⊥BD．

問題1圖6中有直角三角形斜邊中線嗎？如果沒有，怎么構造得到？

問題2運用今天所學的性質定理，在Rt△ABC中你能得到的結論是什么？在Rt△ADC中呢？

問題3你還發現圖6中有什么特殊三角形？

問題4等腰三角形的中線還是什么線？

設計意圖例1考查直角三角形斜邊中線的性質，直接運用該性質定理解決.例2考查直角三角形斜邊中線的性質和等腰三角形的性質，在解題時教師要引導學生連結斜邊中點得到“直角三角形斜邊中線”的基本圖形，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質解決問題.在解題教學時，教師要充分利用“問題引領”，將例題和知識有機結合在一起，讓學生的思維在問題鏈中更具邏輯性，同時也提升學生推理的能力.

2.4 小結、再探究

讓學生對本節課內容進行小結并提出下面問題.

圖7

問題如圖7，在Rt△ABC中，如果∠ACB是直角，∠A=30°，你能提出哪些問題？這些問題如何證明？

設計意圖“幫助學生學會學習”是深度教學的一個重要環節.新課結束后，教師要幫助學生學會總結和反思，總結和反思是對所學數學知識和思想方法的再認識，能讓學生建立結構性認知.新課結束后，教師要讓學生學會繼續探究，探究要經歷提出問題、分析問題、解決問題等過程，在這些過程中要能靈活應用本章所學的探究和推理方法.本課例的探究問題是一個開放性問題，學生可以從多角度去提出問題，并且這個問題對下一章“勾股定理”的學習有一定的輔助作用. 通過探究活動能讓學生感受到學習的樂趣，對培養學生的學習能力和推理能力大有幫助.

3 教學反思

3.1 在“聯系的觀點”中發展推理能力

“聯系的觀點”是深度教學的重要環節之一，它是發展學生推理能力的重要保證.用聯系的觀點進行分析推理，才能達到更大的認識深度；反之，也只有達到了更大的認識深度，才能更好發現不同對象之間的邏輯和聯系[2].本節課有三個層面的聯系：學習內容的聯系、研究方法的聯系和推理方法的聯系.三個層面的聯系從不同角度發展了學生的推理能力.第一層面是學習內容的聯系.“軸對稱圖形”全章研究了線段垂直平分線、角平分線、等腰三角形的軸對稱性，這些圖形都是“顯性”的軸對稱圖形，而一般直角三角形不是軸對稱性圖形，那么把它做為本章最后一課的用意是什么呢？筆者認為，直角三角形中具有“隱性”的軸對稱，通過折疊可產生軸對稱的圖形，進而得出直角三角形斜邊中線的性質.“軸對稱圖形”學習內容的聯系蘊含著一種推理方法——歸納推理，它的核心思想是問題分類，逐類研究.教師要讓學生從知識聯系中體會邏輯關系，進而發展學生的歸納推理能力.第二層面是研究方法的聯系.“軸對稱圖形”全章要求在研究圖形性質和運動的過程中，經歷借助圖形思考問題的過程(即“操作—探究—歸納—證明”)，初步建立幾何直觀.線段垂直平分線性質的研究方法可以遷移到角平分線性質的研究中去，同樣等腰三角形性質的研究方法也可以遷移到直角三角形斜邊中線性質的研究中去.教師要讓學生從研究方法的聯系中體會邏輯關系，進而發展學生的類比推理能力.第三層面是推理方法的聯系.在“空間與圖形”的教學中，既要重視演繹推理又要重視合情推理.《標準》指出：“邏輯推理包括合情推理和演繹推理.在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路、發現結論，演繹推理用于證明結論，兩種推理功能不同，相輔相成.”[1]學生通過操作和觀察猜想(合情推理)出圖形的性質，并對發現的命題和逆命題進行證明(演繹推理)，這樣兩種推理就能有機地聯系在一起.教師要讓學生從推理方法的聯系中體會邏輯關系，進而發展學生的合情推理和演繹推理能力.

綜上所述，內容的聯系、研究方法的聯系和推理方法的聯系能很好地促進學生推理能力的發展.

3.2 在“問題引領”中提升推理能力

“問題引領”是深度教學的另一個重要環節，它是提升學生推理能力的重要途徑.在復習回顧中，以“問題”回顧所學內容和研究方法.運用問題讓學生重溫軸對稱圖形性質的研究方法，進而讓學生對探究新問題有“似曾相識”的感受，更重要的是讓學生明確了推理問題的方法.在探究新知中，以“問題”引導學生對新命題探索和證明.在探索過程中，利用問題引導學生通過觀察和折紙活動，讓抽象的數學變得更直觀，更容易猜想出結論.在證明過程中，利用問題引導學生發現問題的本質并運用所學知識進行多角度推理證明.在此基礎上，又用問題讓學生逆向思維去推理證明逆命題.在探究新知的過程中，“問題引領”為合情推理和演繹推理鋪平道路，學生的推理能力發展得更自然.在新知應用中，以“問題”搭建腳手架協助學生初步學會運用新知.證明題往往會對條件或基本圖形進行變換，在教學中通過搭建腳手架問題的方式幫助學生找到基本命題和圖形，能讓演繹推理更加順利.在小結、再探究中，以“開放式問題”引導學生對本節課進行總結和再研究.在小結中，開放式問題能讓學生從理解知識的不同程度和角度給出不同的結果.在探究中，開放式的提問能讓學生產生新問題，新問題的探究過程能繼續提升學生的推理能力.

綜上所述，問題既能引領思維“淺入深出”，也能引領思維“深入淺出”，同時問題能幫助學生深入進行思考，達到由知識和技能深入到思維層面的目的，進而提升學生的推理能力.