揭示本質 啟發思考 改進教學
——以“數列的求和”教學為例

王 燕 (江蘇省梁豐高級中學 215600)

1 緣起

前不久的一次縣區級教研活動中，筆者聆聽了三節同課異構新授課“數列的求和”.三位開課教師中的兩位不約而同地先給出若干例題，引導學生分析處理，然后總結歸納數列求和的常見方法：分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、并項求和法等諸多方法，接下來讓學生練習鞏固．而另一位年輕教師則直截了當地給出數列求和的上述方法，再舉例說明方法的具體運用．無疑這樣的教學設計和教學過程也完成了相應的教學任務，根據所學，學生也能夠解決常見的數列求和問題．事實上，日常教學中大多數教師也一直沿用著這樣的處理方式，然而其弊端很顯然：學生日后處理這類問題時，往往只會辨識數列求和的形式，然后套用相應的解法來解題．這樣處理顯然是僵硬的、機械的，沒有涉及知識及方法的本質，也就無法靈活地解決問題．比如，遇到如下的問題時，學生發現無法沿用上述解題方法，便會束手無策．

問題112+22+32+…+n2=？

問題2已知遞增數列{an}共有2 019項，其各項均不為零，a2 019=1，如果從數列{an}中任意取出兩項ai,aj，當i

2 問題的提出

數列求和是高中學生在學習了數列的概念、通項公式、前n項和公式，以及等差、等比數列等知識的基礎上的獨立成節內容，它既是對上述內容學習的小結和運用，也是培養學生的觀察、聯想、變形、轉化等數學能力，提高學生的探尋規律、拓展思維能力，培育創新意識的良好素材．

那么，對于數列求和，其數學本質是什么？方法本質又是什么？如何科學合理地設計教學、揭示本質，從而更好地啟發學生的數學思考？如何為學生的數學思考指明方向？依照《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱《新課標》)的基本理念，結合數列求和的教學，談談筆者的一些思考和具體實踐．

3 新課標理念下數列求和教學的思考和實踐

“把握數學本質，啟發學生思考，改進教學”是《新課標》的基本理念之一，強調“高中數學教學以發展數學學科素養為導向，創設合適的教學情境，啟發思考，引導學生把握數學內容的本質”.

依據新課標理念，“數列求和”的教學不能滿足于教會學生會求一些常見的求和問題，教師應通過適當的例題啟發引導學生積極地思考，感悟其數學本質和方法本質，達到自覺領悟，從而學會分析、思考、嘗試，探尋問題解決的方法．

3.1 揭示數學本質，明確學習指向

數列求和，就是求解一列數的和，如果面對的是沒什么規律的一列數，或者有限的幾個數的和，那就直接相加即可．例如，統計我國從1984年參加奧運會至今所獲得的奧運金牌數，將歷屆獲得的金牌數加起來便可，直截了當.這樣也就消除了學生對數列求和的神秘感．

當然，我們現在所研究的數列求和，是針對具有一定規律的一列數的求和，結合等差、等比數列前n項和公式的推導，其前n項和Sn=f(n)，即刻畫為關于項數n的函數表達式．這就是數列求和知識的本質所在，先要讓學生清楚這一點，那么學生的學習思考便有了明確的方向．簡單地說，數列求和，就是面對具有一定內在規律的一列數，求解前n項和關于項數的代數關系式．

清楚了數列求和的知識本質后，那么解題的方法本質呢？就是通過研究數列的規律特征，適當變形，進行運算化簡，獲得Sn=f(n)．

3.2 掌握解題方法，領會數學思想

通過例題思考分析，啟發學生感悟：數列求和的方法實質，其實就是化簡，而要實現化簡的關鍵手段是恰當的轉化，更好地體會轉化化歸的數學思想．

評注通過觀察，發現該數列前n項和Sn的求解可轉化為兩個等比數列的求和，故可利用等比數列前n項和公式求得結果．

評注觀察發現，上述數列的求和可以轉化為一個等差數列及一個等比數列的前n項求和，而后利用等差、等比數列的前n項和公式計算可得．兩題的特征規律較為明顯，學生易于發現.教師分析時，應該突出主題詞“轉化”，強化學生面對此類問題時的轉化意識．

作為數列求和的新授課，不能僅向學生介紹數列求和的一些常見方法，讓學生模仿著答題，而應該利用好該教學素材，引領學生去觀察、聯想，將陌生問題轉化為熟悉問題，將復雜問題轉化為簡單問題，期間應該始終伴隨著學生的火熱思考．

解析 觀察特點，發現首末等距兩項和均為常數1的規律，便可形成如下的求解方法.

評注觀察特征發現規律是解題關鍵，而上述的靈活處理也避免了等距配對求和時的奇偶討論，顯得簡捷而靈動．

以上例題基本上涵蓋了高中數列求和的常見基本類型，引導學生加以總結：面對數列求和，觀察其特征規律，通過適當的轉化變形，化歸為等差、等比數列的求和，或利用相鄰項抵消的辦法處理．

給學生以這樣一個認識：對數列求和，不要去套用這法那法，而是著眼于數列的形式特征進行轉化來解決問題．在這樣的觀念下，即使面對較為復雜靈活的問題，也能夠冷靜以對，積極思考，探索問題解決的途徑和方法．

3.3 提升思維能力，培育創新意識

高中數學課程以學生發展為本，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養，以期實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”．

在學生課外思考的基礎上，延時分析作答問題1和問題2．“慢學習”充分考慮學生獨特的知覺、意義和洞察力，關注學生創造性學習潛能的挖掘．

對于問題1：12+22+32+…+n2=？學生交流各自的想法和探索情況：

探索1

12345…ni=1k1361015…ni=1k215143055…ni=1k2ni=1k1537393113…

問題2解析 由題設，取j=2 019，i=1,2,3,…,2 018，又a2 019=1，故1-ai(i=1,2,…,2 018)仍然是數列{an}中的項.又{an}是遞增數列，則1-a2 018<1-a2 017<…<1-a2<1-a1<1．又a1

評注問題1和問題2是數列求和學習的延伸和拓展，需要學生進行充分的思考，在思考的基礎上，學生間相互交流，互相促進，從而提高學習自主性和積極性，同時也提升了解決較難問題的信心和勇氣．

4 思考和認識

數學教學是數學思維的教學，但在實際教學中，教師往往只注重學生學習的結果和題型的操練，而忽視學生的思考和領悟過程．課堂教學中往往很少給學生獨立思考的時間，更不用說培養創新性思維，發展數學素養.要培養學生的思維能力，落實素養發展，教師應該重視設計引導學生思考的數學活動，重視設計啟發學生思考的問題.通過變式等手段不斷激勵學生積極觀察，提出猜想，通過探索，助力學生思考，從而使學生學會思考，提升解決問題的能力．

數學學習的方式多樣，而其本質是思考，思考，再思考，而現在的學生一直在做，一直在練，唯獨缺少的是思考，以及思考以后的領悟．谷超豪院士說：“良師多啟發，珍本富精蘊．解題豈一法，尋思求百通．”教學的最終呈現是學生的學，作為教師，應該從學生的學出發，深入研究教學內容，結合新課標要求努力揭示數學的內在本質，啟發學生思考，不斷改進我們的教學．