MKT視角下的“平均變化率”教學

汪智源 (安徽省宣城市第二中學 242000)

一直以來，很多教師和學者片面地認為，教師的教學知識等同于學科知識.1986年，美國學者舒爾曼(Schulman)有針對性地提出了PCK概念，在學界產生了巨大反響，也引發了更多學者對教師教學知識的研究.密西根大學鮑爾(Ball)及其團隊通過30多年的研究、實驗，提出的MKT理論[1]是其中影響最大、最具代表性的理論．

MKT理論認為教師所需的知識分為兩個部分：學科內容知識(Subject Matter Knowledge，簡稱SMK)和教學內容知識(Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK)．其中，SMK包括：一般內容知識(Common Content Knowledge，簡稱CCK)、專門內容知識(Specialized Content Knowledge，簡稱SCK)、水平內容知識(Horizon Content Knowledge，簡稱HCK)；PCK包括：內容與學生知識(Knowledge of Content and Students，簡稱KCS)、內容與教學知識(Knowledge of Content and Teaching，簡稱KCT)、內容與課程知識(Knowledge of Content and Curriculum，簡稱KCC)．

本文就從MKT的角度談“平均變化率”的教學．

1 一般內容知識

一般內容知識(CCK)，是指受過數學教育的人所具有的數學知識和技能，如一些數學常識等．就本章而言，學生對微積分略有耳聞(聽說可以用來求曲邊梯形面積等)就是CCK；就本節而言，知道平均速度就是CCK，它是學生學習此節的最近發展區．學生以此作“平均膨脹率”和“平均變化率”概念上的正遷移是不困難的．

2 專門內容知識

專門內容知識(SCK)，是指教師為了完成教學任務所特有的數學知識．此方面知識涉及教學法，不是“純數學”知識．

首先，教師的SCK包括：“學生為什么要學”“學生學什么”“學生怎么學”三個本源性問題，這是教師教學的出發點和落腳點．“學生為什么要學”要求教師能明確變化率問題的地位和作用，把握內容本質；能關注知識的上下位關系，要對微積分的創立過程有所了解(可以參看卡 爾·B·波耶的《微積分概念史》)；能區別本節內容的教學與以往章節教學的不同，能從不同的視角來解構本節乃至本章內容．如此，才能更好激發學生思維，培養學生的認知能力．反之，如果教學目標定位不明確，教師在教學實踐中就會偏離教學中心．“學生學什么”，是將“平均變化率”作為“瞬時變化率”的基礎，著重體現在“變化率”．“學生怎么學”，可具體參考有關KCT方面的介紹．如此，教師對一節課的必要性和重要性的把握才會有更準確和深刻的認識，上述三個本源性問題的解決才會更精準．

其次，教師的SCK還要求，面對“凝固”在數學知識里的數學思想方法，教師要準確地將其“析出”，并且通過“解壓”，選擇恰當、合適的方法，讓學生能感知、理解和吸收．數學思想方法蘊含在數學概念和內容中，具有內隱的特點．對本節課，教師要重視“以直代曲、從特殊到一般”的思想方法這條“暗線”，在課堂教學中處理好“知識內容”的“明線”和“思想方法”的“暗線”，通過對概念和內容的分析，循序漸進地把知識傳授給學生，把思想方法滲透給學生，一明一暗、相輔相成，發揮好數學的育人作用．部分教師在教學中容易忽視微積分思想方法的教學，誤把精力聚焦于計算、符號表示等方面，如此則偏離了教學重心、舍本逐末，作為章起始課卻沒有為本章的教學搭好框架．

3 水平內容知識

水平內容知識(HCK)，是指一種具有系統性和全局性的知識，是同一數學內容在不同學段上的相關聯系．從數學學科縱向看，“平均變化率”的思想在小學數學的應用問題中有所涉及，在初中數學階段學生已經掌握“平均速度”等概念．作為章起始課，教師必須要“交代背景，構建好導數學習的藍圖”.[2]教師HCK的要求是針對整個章節的，甚至是關于整個函數系統的：數→代數→基本初等函數→微積分→實變函數→泛函分析等，教師應具有整體框架的意識．就本章而言，導數就是微積分皇冠上的一顆璀璨的明珠，是研究函數增減、變化快慢、最值等問題的最一般有效的工具，理解導數概念、把握導數概念所反映的思想和方法是學習微積分的重點．從導數概念的發展來看，變化率是一個重要的過渡性概念，對變化率概念意義的建構直接影響后續導數概念的學習，而平均變化率是其切入口．從其他學科橫向看，物理學科對“平均速度”的介紹從初中延續到高中，學生很熟悉了．所以從橫、縱兩個方向看，對于“平均變化率”的概念，學生的最近發展區的知識是足夠的，教師要把握好這一點．

4 內容與學生知識

內容與學生知識(KCS)，是指教師根據學生掌握的知識情況和思維的特點，矯正學生可能出現的錯誤，引導學生“數學地”思考問題、解決問題．這是內容與學生思維方式的兩種知識的交織，我們常說的“備學生”就是指的這方面．簡言之，就是“學生知道什么，不知道什么”“為什么”和“教師怎么辦”三個方面的問題．

首先，關于“學生知道什么，不知道什么”的問題．“學生知道”的是：學生通過高一階段的學習，對函數的理解更深了一個層次，且在物理學科中已學過平均速度、加速度等概念；“學生不知道”的是：(1)如何將“氣球越來越難吹”這一實際問題抽象表述成數學問題；(2)舊的“平均速度”到新的“平均變化率”認知結構可辨別性問題；(3)“平均變化率”背后蘊含的數學思想方法．

其次，關于“為什么”的問題.學生已知方面的問題不再贅述；學生未知方面的問題：(1)“吹氣球”問題，是對學生的數學抽象和數學建模方面的要求，需要教師在日常教學中有意識地逐步培養；(2)“新舊知識”問題，學生容易把本節新的知識“平均變化率”和“瞬時變化率”與相應的已學過的、物理上的“平均速度”和“瞬時速度”混為一談，把注意的重心放在實際背景中而忽視了數學特征，產生是復習課的錯覺；(3)“思想方法”問題，在一節數學課中讓學生完整掌握數學思想方法的教學是不現實的．首先教師要對相關的數學思想、方法做到心中有數，其次掌握思想、方法是個潛移默化的過程，教師教學的方式是潤物細無聲地“滲透”；最后教師要做好教學反思，在日常教學中要根據學情不斷地總結歸納，優化傳授的手段．

最后，關于“教師怎么辦”的問題.教師在學生的最近發展區內，從學生已有的知識框架內構建出新的知識.對于第1個“吹氣球”問題和第2個“新舊知識”問題，教師要精心設計問題，引導學生從數學的角度思考問題，讓學生區分出已知知識和本節知識；教師在教學設計時，要突出“變化快慢”這一本質數學屬性，摒棄非數學性質的干擾.對于第3個“思想方法”問題，除了在教學過程中要設計好如何體現“以直代曲、從特殊到一般”等思想，在課堂上還要介紹一些微積分的發展史等方面的知識(具體可參考有關KCT方面的介紹)．

5 內容與課程知識

內容與課程知識(KCC)，是指關于教材編寫方面的知識，如編寫的框架結構和邏輯體系，及具體落實編寫者意圖的過程．從“導數的概念”單元設計角度，教材的安排是：函數平均變化率→瞬時速度，瞬時變化率→導數→曲線在一點處的切線．變化率的地位和作用是：將平均變化率作為過渡概念，為導數(瞬時變化率)的引入作輔墊，為后續的內容做知識、思想方法的準備．對于章起始課，教材的編寫者希望教師能交代微積分背景、引入基本概念、構建微積分研究藍圖、描述微積分的內容框架及反映的思想方法，使學生明確微積分研究的“路線圖”，讓學生感受微積分概念的產生、發展的基本過程，體會研究微積分的基本套路．數學知識體系是一個完整的系統，學生數學認知結構的發展也是一個完整的過程.教師要基于數學知識系統、學生數學認知結構發展規律進行綜合考慮，從單元的角度來設計一節課的教學活動.這就要求教師不僅要對教材體系有清晰的了解，對學生的認知規律、身心發展規律以及不同學生個體之間的認知差異等相關方面都要有一定程度的掌握.只有這兩方面都把握住了，才能說教師的KCC是全面的．這也是很多一線高中數學教師需要學習、加強的方面．

6 內容與教學知識

內容與教學知識(KCT)，是教學內容與教學活動兩方面的綜合，涉及教學設計和課堂教學實踐兩個方面，主要是指不同教學手段、教學方法表征教學內容的利弊.在具體教學活動實施過程中，如何更好地處理好“預設和生成”的問題、面對課堂一些特殊情況教師的應對和處理等這些都涉及教師的KCT．

首先，KCT要求教師對教材進行二次開發，根據具體學情有針對性地設計教學，體現在：教學情境的創設、概念的呈現形式和不同的表征、引例的選擇和引入時機、例題的選擇、對教學環節的調整、如何有效地引發學生認知沖突以激發他們的求知欲和探索精神等．

作為微積分起始課，教師要抓住時機，介紹具有豐富文化底蘊的微積分發展史，通過具體的事例(力求一定的趣味性)，激發學生對微積分知識的好奇心和求知欲，讓學生有感覺、有思考，從而讓學生初步了解導數，感受其基本套路，接受數學文化的熏陶，體會其數學的價值．

在例題的選擇上，加入了“氣溫”的例子，從日常生活現象入手，學生理解沒有困難；問題2“高臺跳水，求某個時間段內的平均速度”，學生熟悉，容易處理.分析此問題時，教師要揭示平均速度是指“誰”的變化率，讓學生感受到變化率的意義——不同的時間段位移變化的不同．對于教材中“吹氣球”引例，筆者建議改編成例題，原因是根據筆者經驗，雖然學生明白這種現象，但要把“為什么氣球越吹越難吹”的原因解釋清楚很困難，最終筆者決定引導學生從平均膨脹率的角度來探究問題．從實際教學效果來看，達到了事先的預期，有利于教學目標的達成．

本節課的流程是：介紹微積分的發展史，引入“氣溫的例子”，提出“為什么12月23號感覺特別冷”的問題，引導學生從數學的角度思考日常生活中的現象；再引入教材中“高臺跳水”的例子，強化從數學角度描述問題，并通過平均速度引出本節課的概念——平均變化率，讓學生描述“吹氣球問題”；通過“高臺跳水”中平均速度為零，引導學生思考平均變化率只是分析問題的一個指標，且是有局限的，還需要其他的指標，為下一節課的瞬時變化率做準備．

其次，KCT是指教師教學目標的確定、教學重點難點的把握．教師要根據學情合理有效地進行教學，視具體情況及時有針對性地做調整．教師要設置恰當的問題、問題串和追問來驅動課堂教學，問題的設置要把握好“度”：太窄，沒有思維的廣度，對培養學生獨立探究問題的能力不利；太寬，學生難以把握，達不到預設效果．教師要充分了解、利用好學生的最近發展區來開展后續的工作．教師要多引導學生按照正確的方向去思考、實踐，把重點放在意義、概念的理解上，使學生學習的過程成為一次利用增長率模型建構平均變化率的程序型活動，而不是直接告訴學生解答的程序．教師要注意以下幾個問題：首先，要把握本節內容不是讓學生感受變化，而是讓學生感受變化的快慢，而衡量快慢的指標就是變化率；其次，建立抽象概念時，教師要善于使用圖象、圖表等多種呈現方式幫助學生去建構；最后，教師要避免把重點從意義、概念的理解轉到答案的正確性或完整性這些細枝末節上去．

課程改革的關鍵在于教師素質和能力的提升.對于數學教師的素質和能力的提升，MKT提出了一個很好的理論和操作標準．上述六個方面，特別是后五個方面，既給數學教師指明了提升的方向，又為數學教師的操作提供了一個很好的標準．數學教師應該以上述六個維度為出發點和落腳點，認認真真備好每一節課、上好每一節課、反思好每一節課，不斷從各個維度來充實自己，提升自己，強大自己．

附：

簡要教學設計

教學目標：通過實例，讓學生經歷函數平均變化率的大小表示函數變化的快慢過程，學會用數學符號、幾何圖形準確表示函數f(x)的平均變化率，來培養學生的數學抽象和數學建模等核心素養.

教學重點：平均變化率.

教學難點：如何讓學生將實際問題抽象成數學問題.

教學過程：

1．微積分概念歷史形成的簡要介紹．

圖1

2．第1個“氣溫圖”例子有如下問題(圖1)：

問題1 為什么23號感覺特別冷？

問題2.1 如何從數學的角度解釋上述現象？

問題2.2 在“22日到23日”，大家普遍感覺“比較冷”，而在“5日到22日”卻沒有這樣的感覺，這是什么原因呢?

問題2.3 怎樣從數學的角度描述“氣溫變化的快慢程度”呢？

3．第2個“高臺跳水”例子有如下問題：

問題4 運動員在每段時間內的速度是勻速的嗎？

問題5 如何計算運動員在“0 s至0.5 s、1 s至2 s”這兩段時間內的平均速度呢？

問題6 如何計算運動員從“t1到t2”這段時間內的平均速度呢？

問題7.1 上面兩個生活實例有什么相同的地方？

問題7.2 能歸納出分析此類問題的一般方法嗎？

問題8 假設每次吹入氣球內的空氣容量是相等的，如何從數學的角度解釋“為什么氣球越來越難吹”這一現象呢？