由2020年江蘇數(shù)學(xué)高考壓軸題質(zhì)疑引發(fā)的思考

俞杏明 (江蘇省興化中學(xué) 225700)

石志群 (江蘇省泰州教育局 225300)

張 青 (江蘇省蘇州中學(xué)校 215006)

2020年江蘇高考數(shù)學(xué)壓軸題是數(shù)列題．試題編制新穎獨特，跳出收斂性、單調(diào)性的窠臼，跨入我們既熟悉又陌生的領(lǐng)域．及至試題與答案公布，微信公眾號中質(zhì)疑不斷．

1 試題呈現(xiàn)

(1)若等差數(shù)列{an}是“λ～1”數(shù)列，求λ的值.

(3)對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

下面是江蘇省教育考試院提供的參考答案.

解(1)(2)略.

①若λ≤0或λ=1，則(*)式只有一解cn=1，即符合條件的{an}只有一個．(此數(shù)列為1，0，0，0，…)

由于數(shù)列{Sn}從任何一項求后一項均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}有無數(shù)個，則對應(yīng)的{an}有無數(shù)個．

綜上所述，能存在三個各項非負的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，λ的取值范圍是(0,1)．

2 典型質(zhì)疑

當0<λ<1時，Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn．

因此0<λ<1時符合題意的不同數(shù)列只有兩個．

所以，不存在三個各項非負的數(shù)列{an}為 “λ～3”數(shù)列．

3 等價思考

3.1 特殊探路，結(jié)論初現(xiàn)

3.2 解讀考試院答案

當t為大于1的任意一個常數(shù)時，“Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn對一切正整數(shù)n恒成立”的含義是指對每個固定的n,Sn有兩種選擇：可以取滿足Sn+1=Sn的Sn,也可以取滿足Sn+1=t3Sn的Sn．譬如,由S1=a1=1,那么S2可以取1,也可以選擇取t3(t>1),取好S2后,再取S3,依次類推,直至得到一個完整的和數(shù)列{Sn}．

4 對考試院答案的改進

①若λ≤0或λ=1，則(*)式只有一解cn=1，即符合條件的{an}只有一個．(此數(shù)列為1，0，0，0，…)

綜上所述，能存在三個各項非負的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，λ的取值范圍是(0,1)．

說明 第(3)問沒有考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等C級核心知識考點，只是考查了一般的數(shù)列，和考試說明的要求有一定偏差．