經歷與思想并重
——“正切(1)”教學實錄與反思

李 東 (江蘇省淮安市金湖縣外國語學校 211600)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自本縣一所重點初中的實驗班，基礎知識和基本技能較好，有一定的抽象、推理能力及運算能力．

1.2 教材分析

所用教材是依據《義務教育數學課程標準(2011年版)》修訂后的蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級下冊，第7章“銳角三角函數”第1節內容．銳角三角函數隱含著角度與三角函數值之間一一對應的函數思想，因而它是本章的難點；另外，只有正確理解銳角三角函數概念，才能完整理解直角三角形中邊、角之間的關系，從而才能利用這些關系來解直角三角形，同時它又是高中學習三角函數的基礎，因而它也是本章的重點和關鍵．

教材基于學生的生活背景(臺階的傾斜程度、沿一定坡度的坡面行走等學生熟悉的生活問題)，基于學生的數學現實(學生已學過的有關函數、相似三角形的知識)，基于學生對“傾斜”的直觀感受，先定義“正切”，這凸顯了本課時教學又是銳角三角函數概念教學的重中之重.教學中要根據學生已有的知識，引導學生經歷觀察、思考、操作、實踐等探索活動，發現相似直角三角形的兩直角邊比值隨著銳角大小的變化而變化，隨著銳角大小的確定而唯一確定，這樣構建正切概念就順理成章.在正切概念的形成過程中同步滲透類比、函數思想、模型思想等．

教學目標 (1)利用相似的直角三角形探索并認識銳角正切的含義；(2)會在直角三角形中求出某個已知銳角的正切值；(3)經歷操作、觀察、思考、求解等過程，感受數形結合、符號化等思想方法，培養學生理性思維的習慣與方法．

教學重點 正確理解正切的意義，并會求出某個已知銳角的正切值．

教學難點 如何想到利用直角三角形的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度以及把比值和角度聯系起來用符號來表示正切．

2 教學過程

2.1 創設情境，引發思考

師：(問題1)圖1和圖2是一座吊橋OP繞點O從水平位置OA拉起的兩種狀態，請你比較哪種狀態下的吊橋OP更陡些？說說你的比較方法.

圖1 圖2

生1：圖2中的吊橋更陡．因為此時的∠POA比圖1中的∠POA大．

師：很好，你用∠AOP的大小比較吊橋的傾斜程度.除此而外，還有其他方法嗎？

生2：用吊橋OP與立柱的夾角大小比較，圖2中的夾角相對小，所以更陡．

師：同學們，你們覺得兩種方法本質一樣嗎？

生眾：一樣，都是看角度大小．

師：的確一樣，只是參照邊不同而已．請大家繼續思考其他方法，可以用手中的筆代替吊橋，將筆的一端摁在桌面上模仿吊橋旋轉抬升的過程，說不定有新發現．

生3：看點P抬升的高度，也就是到OA的距離，抬得越高就越陡．也可以看點P到柱子的距離，到柱子越近就越陡．

師：聯想到垂線段，看問題的視角有新意!這種方法是否適用于任何情形？如果不是普遍適用，你能舉出反例嗎？(教室里一陣沉默)

2.2 反例介入，尋找規律

師：(問題2)圖3所示的四座不同長度的吊橋，哪座傾斜程度更大？哪座傾斜程度最小？請議一議．

圖3

生4(小組代表)：用疊合法比較角的大小.①與②中長為8的兩邊疊合，長為4的邊落到長為6的邊上，此時①中的∠AOP小，所以②比①陡.同樣，②比③④都陡，③又比④更陡.①與④中的兩直角邊成比例且夾角均為90°，所以兩個三角形相似，所以∠AOP一樣大，故①與④的傾斜程度相同.綜合起來就是②最陡，①與④的傾斜程度同樣最小．

師：判斷正確.利用舊知進行解釋，通俗易懂．現在結合圖3回看生3的方法，有不同看法嗎？

生5：生3的方法只適用于等長的兩座吊橋，對比圖3中的①與④，6>4，但并不是④比①陡．

師：說得好！由此說明單看豎直高度(即PA長)或者水平距離(即AO長)或者吊橋長(即PO長)比較吊橋傾斜程度，局限性很大．如果不比角度比線段，考慮通用性，你覺得比較吊橋的傾斜程度需要看幾條線段？談談你的想法．

生6：看兩條線段PA和AO．①與④中這兩段的比相等，它們的傾斜程度恰好相同，而傾斜程度不同的，這兩條線段的比不等．

師：至此同學們看到，用角度或者用構造的直角邊的比能描述吊橋的傾斜程度.那么你們能感受到兩直角邊的比與傾斜角∠AOP之間有直接關系嗎？

圖4

師：歸納得好!

2.3 激活舊知，引出概念

生9：函數．

師：不錯，這是一種新的函數！等腰三角形和直角三角形是同等重要的基本圖形，我們已經學習了等腰三角形邊與邊、角與角、邊與角間各自存在一些特殊關系，也研究了直角三角形中角與角、邊與邊的各自特殊關系，而這種新函數恰恰揭示了直角三角形中元素間的關系.你們認為是什么元素間的關系？

生10：邊與角的關系．

圖5

2.4 運用概念，強化理解

師(追問)：類似地，在圖5中∠B的正切如何表示？

接著教師出示兩道例題及其變式：

例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，求各銳角的正切值．觀察計算結果，你能發現什么？(一位學生板演，教師點評并給出規范解題過程；教師板書學生發現的余角的正切關系)

變式1 如果CD是斜邊AB上的高，請嘗試用不同方法求tan∠BCD．(有學生用定義直接求，也有用等角轉換求，教師引導學生感悟最優解；教師板書等角的正切關系)

例2在等邊三角形ABC中，CD⊥AB，垂足為D，求tanA．

變式 tan 60°=,tan 30°=, tan 45°=．(學生獨立思考并解決問題，教師板書“無直畫垂”的解題策略)

2.5 知識梳理，小結提升(略)

3 回顧與反思

3.1 教學設計的基本思路

本著從數學外部引入新課的想法，先利用問題1創設情境引發學生對實際問題的數學思考(從容易聯想到的比較傾斜角，到動手操作啟發構造直角三角形研究線段，突破探究方向的限制)，為線段比描述“傾斜程度”做有效鋪墊.再通過問題2，讓學生發揮學習主動性，通過自主探索與小組合作，自我發現并驗證前面探索所得結論的局限性，從而提煉出具有普適性的“傾斜程度”描述方法(直角邊的比)，同時引導學生在“傾斜程度”這一媒介下，感知直角邊的比與傾斜角之間的對應關系，掃清正切概念的形成障礙．接著通過問題3以及相關追問引領學生脫離具體線段長度，由特殊到一般探索銳角與其所對直角邊的比之間的對應關系，激活學生頭腦中的函數概念，感受正切概念的本質．最后利用例1和例2及其變式，在用正切定義解題的過程中，幫助學生使其概念學習由過程的操作(程序性的運算)上升到結構性對象(如tanα·tan(90°-α)=1)．

3.2 教學反思

(1)概念形成重經歷

正切函數是初中末尾階段學習的三角函數之一，它和一次函數、反比例函數、二次函數一樣都是形式定義，但是一次函數、反比例函數、二次函數的對應法則具體可見(因變量可以看作是自變量直接按具體程序運算產生)，而銳角的正切與角之間卻看不出兩直角邊的比是否為角經過某種具體運算產生，這種純抽象學生無法用已有的數學符號來表達，再加上函數概念的抽象性，帶給學生巨大的認知障礙．

這節課設計了三個問題，讓學生充分經歷觀察、思考、操作、說理等活動，“拉長”正切概念的形成過程，在慢節奏中感悟．由于學生生活經驗中積累的對“傾斜”的直觀感受，面對問題1，用角度比較陡峭程度的想法再自然不過.如何讓學生想到比長度？過去筆者從類比研究線段與角這兩個基本圖形的經驗喚起學生，學生是否人人參與思考很難觀察.這里讓學生抬升手中的筆，使每個學生在動手操作中更易感知吊橋頂端P在垂直和水平方向上移動距離的變化，同時也為下節課研究正切的增減性埋下伏筆.這個過程不僅突破了比較陡峭的視角，同樣讓構造直角三角形解題策略在此萌芽．如何又讓學生想到要同時考察兩條直角邊的關系來描述陡峭程度？通過問題2來幫助學生建立知識聯結，讓學生積極討論，學生自我發現、否定、再發現、說理驗證，這個環節使學生積累更多活動經驗，解題信心和能力不斷增強．教材利用比例線段佐證“如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定”，然后直接給出正切定義.如何讓學生深刻體會教材中高度濃縮的角度與直角邊的比之間的函數關系？這個環節處理顯然不可輕描淡寫.本節課通過問題3讓學生脫離斜面等實際背景，經歷角度與直角邊的比的具體變化過程，激活頭腦中的函數概念，掃除進一步抽象、歸納正切定義的障礙．對正切這個抽象概念，學生只有深度體驗后才能真正理解．

(2)知識形成重思想

毫無疑問，“銳角三角函數”這章教學內容是進行“數形結合”教學的理想材料，本節課當然也不例外，要引導學生由已知圖形或自畫圖形分析、表征其中的角度、直角邊間的關系，要將具體、直觀的圖形語言與抽象、嚴謹的符合語言緊密結合．然而就正切符號的抽象性，又不能忽視本節課另一重要目標，即讓學生深刻體驗隱含其中的符號化思想．

從2課時的教學內容看，正切概念的形成過程好似穿越了“數學三個世界”[1](即具體化世界、符號化世界、形式化世界)，這里經歷符號化世界也應該是符號意識的培養過程．英國數學教育家豪森(Howson)指出：“沒有必要引入任何符號或縮寫，除非學生自己已經深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議．或者至少，當教師提供給他們時，他們能夠充分體會到它的優越性．”為了讓學生感受用符號表示正切的必要性，本節課安排三小步：先是簡要陳述等腰三角形和直角三角形的諸元素間的關系并進行類比，這些關系以定理的形式融入學生的知識體系，學生對這些定理在解決問題時發揮的作用深有體會，因此會感覺到研究“銳角與所對直角邊的比”這兩個量是對直角三角形諸元素間關系的重要補充，而且在解題中的作用也不會小．然后追問學生能否像描述已學三類函數那樣，用符號表示直角三角形中邊角關系(遺憾的是沒有看到學生的“創新”表現)，激發學生用符號進行數學表達的意識，滲透符號化思想．最后喚醒學生已積累的使用新符號表示新概念的經驗，比如小學除不盡時用分數表示準確結果、用π表示圓周率、八年級用含根號的式子表示開方的結果等．這樣建立知識間的聯系，更利于正切符號及其承載的含義自然有序地融入學生的知識體系．