由一道學生錯題引發的思索

張慧清

（重慶市武隆區實驗中學 重慶武隆 408500）

對于凹多邊形和凸多邊形，在人教版的初中教材八年級上冊第20頁中寫道：“本節只討論凸多邊形”，在相對應的教學參考書中，第23頁也寫道：“多邊形分凹凸兩類。因為我們現在只研究凸多邊形，所以教科書只定義了凸多邊形，要求學生能根據定義辨認一個多邊形是不是凸多邊形就可以了。教科書沒給出凹多邊形的概念，教學中也不必對學生講?！币虼藦慕淌畮啄陙恚覐膩矶紱]有去想過研究凹多邊形，更別提拓展給學生了。但最近的一道數學試卷上的題卻讓我反思：我們在教學中是否應該拓展學生，讓學生能獲得更多的思考方法，讓學有余力的學生多一些方法去解題。

雖然教材中沒有，但在各種練習冊只都出現了有關凹四邊形或者凹多邊形的題目，以前我們都是化為凸多邊形來解決，但如果能多探討一些關于凹多邊形的知識，學生會獲得更多的解題思路：

題目是這樣的：

25.如圖1：BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，且BE與CF相交于點G.

若∠BDC=1400，∠BGC=1050，求∠A的度數。

猜想：∠A與∠BDC，∠BGC的關系，并證明。

我班的張鈴同學對第（2）個問題的證明方法是這樣的:證明：∠BDC+∠BGC=1800-1/2∠A，證明如下：

∵∠5=3600-∠BDC

∴在四邊形BGCD中，∠2+∠4=3600-∠5-∠BGC=3600-（3600-∠BDC）-∠BGC=∠BDC-∠BGC

∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD

∴∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠BDC-∠BGC

在四邊形ABDC中，∠A=3600-（∠2+∠4）-（∠1+∠3）=3600-2（∠BDC+∠BGC）

∴∠BDC+∠BGC=1800-1/2∠A

首先看到他做的題時，我意識到他是在用凹四邊形的知識來做，但他的結論與參考答案中的不一樣，因此我并不確定他的答案是否正確。我在他的試卷上做了批注：“本章我們學的是凸多邊形，不是凹多邊形。”我告訴他，我要去找找資料，看凹四邊形是否也有和凸四邊形同樣的結論，因此開始了我對這道題目的探索之旅。

第一步，我在網上查找資料，想證實凹四邊形的內角和是否也為3600。結果發現，因為無論凹凸，都能分成兩個三角形，因為三角形的內角和為1800，所以無論凹凸，四邊形的內角和都為3600。

第二步，我同時在網上還搜索到圖2這種形狀的凹四邊形有一個非常重要的性質：∠BDC=∠A+∠B+∠C，可以用以下的幾種方式來證明：

而且應用非常廣泛，在本章試卷中就有關于這個題目的證明題。

23.（1）如圖6，求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C。

（2）如果點A與點D線段BC的兩側，猜想∠BDC， ∠A， ∠ABD， ∠ACD這四個角之間的關系，并證明。

第三步，那他的這個解答過程到底錯在哪里呢？經過我的仔細查找，發現問題出在兩個方面。首先是在運用“∠BDC-∠BGC”的過程中，把“-”號寫成了“+”號；然后是他在計算∠A的過程中沒有減去∠BDC的外角，也就是∠5。我再將它代入進去：∠A=3600-∠ABD-∠ACD-∠5=3600-2(∠BDC-∠BGC)-(3600-∠BDC)=2∠BGC-∠BDC ，所以2∠BGC=∠A+∠BDC。也就得到了本題的正確答案?；蛘哌@個題也可以用上面的性質來證明：

∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠1+∠2+∠3+∠4，

∠BGC=∠A+∠1+∠3

∴∠BDC=∠A+2(∠BGC-∠A)=2∠BGC-∠A

∴2∠BDC=∠A+∠BDC

做完這個題目，給了我許多思考，在我們教書的過程中到底應該如何去教。對于學生做的題，首先應該去認真的體會，不能光看結果的對錯，要幫助學生認識到錯在了哪個地方。其次，要用教材，還要走出教材，教材不教，不意味著學生的思維不去想，對于學有余力的學生，要引導學生用多種思路去思考，這就對老師的教學能力提出了更高的要求。必須要提高自己的專業知識，才能用更廣闊的思路去解決問題。

后來，我把這道題的錯誤之處講給了這位同學，表揚了他，并且把他的思路在班上講了。現在，我會在教學的過程中把教學參考書中的一些合適的拓展資源和教材章后的閱讀與思考拓展給學生，希望學生能看的更遠，走的更遠。