一類概率問題的求解方法
——遞推數(shù)列

吳潔瑩

（江西省南昌市立德朝陽中學(xué) 江西南昌 330026）

例2：設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個(gè)頂點(diǎn)移向另外3個(gè)頂點(diǎn)是等可能事件，現(xiàn)拋擲骰子，根據(jù)其點(diǎn)數(shù)決定棋子是否移動(dòng)， 若投出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動(dòng);若投出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，棋子移動(dòng)到另一頂點(diǎn)，若棋子的初始位置在頂點(diǎn)A，回答下列問題：

（1）投擲一次骰子，棋子到達(dá)頂點(diǎn)B的概率；

（2）投擲兩次骰子，棋子到達(dá)頂點(diǎn)B的概率；

（3）投擲n次骰子，棋子到達(dá)頂點(diǎn)B的概率。

【分析】

若投擲一次骰子就能達(dá)到B點(diǎn)，則投出點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)且棋子由A移到B；若投擲兩次骰子，棋子到達(dá)B點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)或者都為偶數(shù)，即棋子先由A移到B或B再移到B，或者一奇一偶(包括先奇后偶和先偶后奇)，即棋子先不動(dòng)再從A移到B和棋子先由A移到B再不動(dòng)。投n次骰子，棋子到達(dá)頂點(diǎn)B的概率與第n-1次到達(dá)B的概率有關(guān)，可以利用遞推數(shù)列體現(xiàn)這兩個(gè)概率的關(guān)

例3：[2019年高考理科數(shù)學(xué)全國1卷第21題]

為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為x.

（1）求x的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0，P8=1，Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（x=－1），b=P（x=0），c=P（x=1）。

假設(shè)α=0.5，β=0.8。（i）證明：{Pi+1－Pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列；（ii）求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【分析】在此基礎(chǔ)上若第二問不告訴遞推公式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1，要去證明{Pi+1-Pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列。我們可以做一下分析：

依題意，當(dāng)其中一種藥治愈白鼠比另一種藥多4只，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)越多得藥越有效。甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0，P8=1。若甲得i分，考慮下一輪，要么變?yōu)閕-1，此時(shí)對應(yīng)概率為a，要么不變，仍為i，此時(shí)對應(yīng)概率為b，要么變?yōu)閕+1，此時(shí)對應(yīng)概率為c。故Pi=aPi-1+bPi+cPi+1。

案例說明：本節(jié)是基于學(xué)生基本掌握了求概率的基本方法以及由遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行探索的。尋找遞推關(guān)系由淺入深，例1、例2是找Pn與Pn-1的關(guān)系，例3是找Pn與Pn-1，Pn-2的關(guān)系，例4是找Pn與Pn，Pn-1，Pn-2。每道例題進(jìn)行了詳細(xì)的分析，遵循從一般到特殊的原則，引導(dǎo)學(xué)生類比思考，分析Pn與它前1項(xiàng)或前幾項(xiàng)的關(guān)系，則得到遞推關(guān)系就水到渠成。