利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

鐘 嬌

（江西省南昌市立德朝陽(yáng)中學(xué) 江西南昌 330026）

函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)是被這個(gè)函數(shù)映射到其自身的一個(gè)點(diǎn)，即如果彐x0，使f（x0）=xo，則稱(chēng)xo為f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

（1）代數(shù)意義：若方程f（x）=x有實(shí)根xo，則函數(shù)f（x）有不動(dòng)點(diǎn)。

（2）幾何意義：若函數(shù)y=f（x）的圖像與y=x的圖像有公共點(diǎn)（x0，y0），則xo為y=f（x）的不動(dòng)點(diǎn)。

例1：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

解：因?yàn)閍n+1=2an+1，所以x=2x+1 x=-1，兩邊都減去不動(dòng)點(diǎn)-1得an+1+1=2an+1+1，所以可以得到an+1+1=2（an+1）。

設(shè)an+1=bn，所以bn+1=2bn，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，

故bn=b1·2n-1=2n，所以an=bn-1=2n-1。

則f（x）=kx+m

定理一：若f（x）=kx+m（k≠0，k≠1），p是函數(shù)f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列{an}滿足：xn+1=f（xn），則xn+1-p=k（xnp）。

思考：遞推函數(shù)具有什么結(jié)構(gòu)，能夠用取倒數(shù)？

是不是遞推函數(shù)是分式函數(shù)都可以取倒數(shù)？

求出兩個(gè)值，怎么辦呢？

我們證明（1），同理可以證明（2）。

【小結(jié)】

本節(jié)本源探究微課程是從學(xué)生的難點(diǎn)入手，歸納幾類(lèi)可以選擇利用函數(shù)的零點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的題型，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用。并且對(duì)方法進(jìn)行了整理，形成了定理。同時(shí)使學(xué)生的能力也得到了鍛煉，如類(lèi)比推理能力，劃歸與轉(zhuǎn)化能力。