分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用

【摘 要】分類討論思想不僅能夠幫助學生理清解題思路，提高解題的正確率，而且可以鍛煉學生的邏輯思維，提高學生的綜合能力。但分類討論思想運用于實際解題時仍舊存在不少問題，若不能正確地處理這些問題，其不但不能發(fā)揮應有的作用，反而會增添解題的負擔。結(jié)合具體教學案例，對分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用問題進行探討。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 分類討論思想

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）11B-0080-02

分類討論思想是高中數(shù)學教學中的一個重點考查內(nèi)容，它在高中數(shù)學解題中的應用十分廣泛，掌握好了分類討論思想，不管對于學生的考試還是思維能力的提升都有諸多益處。然而，學生在實際解題中使用分類討論思想時還仍存在不少問題，如分類標準不明確、討論結(jié)果處理錯誤、重復分類或遺漏分類等。分類討論能夠更好地區(qū)分同類知識點，避免混淆相似的知識點，有利于學生把握數(shù)學知識，培養(yǎng)學生的學習能力，并做好知識的遷移。結(jié)合目前高考的題型，若能夠做好分類討論，在高考中就可以獲得一定的機會。教師在數(shù)學教學中應重視對分類討論思想的運用，幫助學生有效掌握學習數(shù)學的有效方式，促進學生數(shù)學能力的提高。對此，本文結(jié)合具體的數(shù)學題目，就分類討論在高中數(shù)學中的應用問題進行簡要的剖析。

一、全面討論，層次分類

分類討論運用于數(shù)學教學中，最為重要的一點就是要能夠根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)和條件來確定要討論的參數(shù)，并據(jù)此進行合理的分類，做到不重復且沒有遺漏，討論時層次應清晰明確，做到不越級討論。教師在灌輸分類討論思想的時候，應將這些要素一一交代清楚，這樣解題時才能夠全面而且充分，沒有遺漏。很多學生解題時出現(xiàn)差錯原因就在于沒有按層次分類并全面地討論。

例題1 存在函數(shù)y=x2—2x，x∈[-2，a]，求函數(shù)的最小值。

解析：在二次函數(shù)的解題中經(jīng)常會使用到分類討論，如例題1所示的題目，也是較為常見的二次函數(shù)求最值題。在解答這一問題時，學生根據(jù)所學知識，首先會想到該函數(shù)的對稱軸為直線x=1，但是x=1是不是在區(qū)間[-2，a]之內(nèi)，就需要進行分類討論。在討論過程中，據(jù)題目提供的條件，需要明確討論的對象參數(shù)并進行合理的分類討論，具體分類如下：當-2

根據(jù)上述分類討論的過程可以發(fā)現(xiàn)，分類討論需要做到全面且有層次，不能重復也不能有所遺漏，任何一項失誤都會導致最后的結(jié)果錯誤。在分類中，還需要統(tǒng)一標準，有層次、分階段地討論，不能盲目隨意地分類討論，否則也容易出差錯。也就是說，在進行分類的時候，應根據(jù)題目條件和問題的性質(zhì)，盡可能少地、精準地分類，在不重復不缺漏的情況下，有了層次分明的分類后，自然能夠正確地解答問題。

二、掌握定理，正確分類

在高中數(shù)學中有很多公式定理其實都與分類討論相關(guān)，這是因為在公式以及定理中本身就存在嚴格的限制條件，故而根據(jù)定理或公式進行解題的時候就需要依據(jù)這些定理的限制條件進行相關(guān)的分類討論，以避開討論結(jié)果不嚴謹?shù)那闆r。不少學生不能爭取讓運用分類討論的思想解題，很大一部分原因也在于對定理、公式的掌握不透徹，解題時沒能充分考慮到所使用的定理和公式的限制條件。根據(jù)定理、公式運用的分類討論，在等比數(shù)列的求和公式、絕對值的定義以及二次函數(shù)的定義等方面十分常見，教師教學時要注意引導學生透徹掌握定理、公式。

例題2 存在二次函數(shù)y=（a-1）x（b+1）+

x2+1，試求a和b的取值范圍。

解析：解這道題時主要是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)定理來進行相應的分類討論，因為y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函數(shù)，那么x的指數(shù)明顯不能超過2，據(jù)此（b+1）的值就可以分成三種情況：（b+1）=1或（b+1）=0或（b+1）=2，根據(jù)這三種情況討論b的取值范圍，對a的取值范圍的討論也根據(jù)二次函數(shù)的定義及性質(zhì)理論進行同樣的分類討論。又如，在求等比數(shù)列前n項和的題目中，主要依據(jù)的也是等比數(shù)列的求和公式，就需要分q=1和q≠1兩種情況進行討論了。這些都是根據(jù)定理或公式展開的分類討論，可見在數(shù)學教學或解題中使用分類討論的思想，主要定理與公式是必須掌握的。這一類型的分類就是數(shù)學概念上的知識運用，利用概念進行解題的時候，分類是十分重要的。此外，有一些數(shù)學定理和公式在定義的時候所要求的范圍已經(jīng)有了限制，對于這種前提也需要使用分類討論的思想，這點教師在教學中需要注意。

三、準確理解，確定分類

結(jié)合近年來的高考題目不難發(fā)現(xiàn)，分類討論思想愈發(fā)成為重點考查的知識點，尤其是往后的大題中，使用分類討論解題更加普遍。其中，那些需要根據(jù)不同的參數(shù)來確定分類標準的題目，其確定的過程更直接決定著整道題目能否正確解開，這就要求教師在教學中應引導學生把握好分類討論，正確認識分類標準并能做出合理的分類，以應對考試中的各種變化。

例題3 存在函數(shù)g（x）=ax2-2x-2a，a∈R，假設(shè)g（x）>0的解集為G，F(xiàn)={x︱1

解析：這道題看起來很復雜，似乎存在不少未知數(shù)，學生容易被唬住而覺得無從下手。仔細分析后可以發(fā)現(xiàn)，這道題將高中多種數(shù)學知識都結(jié)合在了一起，這就更要求學生在解題時能夠根據(jù)題目中提供的參數(shù)仔細分層，不重復也不遺漏，按照題目要求明確分類標準后，再進行討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類的情況主要為a>0和a<0兩種情況。

四、合作學習，深化討論

分類討論在高中數(shù)學中的運用是多方面的，其學習的組織形式上也可以是多種多樣的，小組合作的形式是經(jīng)過證明后比較有效地一種學習方式。同樣的，將小組合作學習的形式與分類討論的教學相結(jié)合，指導學生通過分類討論相關(guān)知識，可以促使學生互相交換不同的學習意見，既能夠及時解決學生在學習當中的困惑，也可以在討論中獲得一個比較明確的答案。

在分類討論的教學中，小組合作的活動形式可以是多樣的，如教師可以讓學生將新舊知識結(jié)合起來進行分類討論，像方程、不等式等就可以進行分類討論；也可以將同類的高考題目或者月考題型集中起來進行分類討論；還可以就數(shù)學概念之間的相似與不同進行分類討論與歸類，加深對數(shù)學概念的印象等。可以說，分類討并不只是運用在具體的某一類題型的解答中，而是可以滲透在數(shù)學的方方面面，它可以是抽象的，也可以是具象的。同時，小組的合作學習能夠打破個體學習的局限性，增強學生學習的趣味性，提高學生的學習自信心，引導學生將來主動地分類、思考。

綜上所述，分類討論思想在高中數(shù)學中的運用相當廣泛，它不僅可以幫助學生理清思路、快速解題，提高解題的正確率，同時還能夠有效鍛煉學生的解題思維，對學生數(shù)學學習中的嚴密性和靈活性之訓練也有幫助。從高考來看，很多問題也是離不開分類討論思想的。因此，在教學中，教師要結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，總結(jié)出更多更有效的方法，幫助學生充分使用分類討論思想來解題。

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（責編 江月陽）