基于遺傳算法的鈉冷快堆堆芯流量分區優化設計方法

王曉坤，王 端，齊少璞，胡 赟，張東輝

(1.中國原子能科學研究院 反應堆工程技術研究部，北京 102413；2.核工業研究生部，北京 102413)

壓水堆采用開式組件，主要通過堆芯功率展平實現堆芯出口溫度展平，獲得盡可能高的堆芯平均出口溫度。鈉冷快堆采用封閉組件，展平堆芯出口溫度的方法既有功率展平，又有流量分區[1-3]，通過組件管腳開孔實現組件間的流量分配，不同流量區的組件流量不同，高功率的組件流量大而低功率的組件流量小，從而使不同組件出口溫度接近。

目前，國內外鈉冷快堆堆芯流量分區優化設計的常用方法有枚舉法、最大差值法、最小差值合并法[4-6]，后兩種是半經驗方法。堆芯組件數和分區數少時，上述方法很有效，特別是枚舉法可精確得到全局最優解。但隨著反應堆功率水平的提高和組件數量的增加，傳統方法的計算量將呈指數增長。

我國正在開展1 200 MW電功率的鈉冷快堆(CFR1200)設計，初步方案中堆芯活性區有852盒燃料組件，使用傳統方法進行流量分區優化設計的難度很大。未來我國還將設計建設更大規模的快堆電站，所以研究大型快堆電站堆芯流量分區的快速優化設計算法很有必要。

理論上鈉冷快堆每盒組件的流量可互不相等，從而使所有組件的出口溫度相等，獲得最好的堆芯出口溫度展平效果。實際工程中，組件種類越多制造成本越高，為以較少的組件種類達到較好的堆芯出口溫度展平效果，需對堆芯進行流量分區，每一分區內各組件的流量相等，每一分區的流量由分區內最熱(功率最高)組件決定。

對應確定的分區數，都存在一種最佳的分區方案，在滿足最熱組件的包殼溫度和燃料溫度均不超過限值的約束條件下，使堆芯總流量最小，同時堆芯出口平均溫度最高。

實際反應堆設計中，堆芯出口平均溫度是重要的設計目標參數，通常預先設定，于是流量分區的優化設計目標就轉化為找到堆芯出口平均溫度達到目標值的最小流量分區數以及相應的可行分區方案。通常，堆芯出口平均溫度達到目標值且分區數等于最小分區數的分區方案不唯一，可在諸多可行方案中選擇包殼溫度裕量最大的作為最優方案。本文探討使用遺傳算法實現鈉冷快堆堆芯流量分區優化設計的一般方法。

1 數學模型和算法設計

堆芯流量分區的數量通常不會太多，中國實驗快堆(CEFR)堆芯(活性區)分4個流量區，百萬千瓦級的反應堆堆芯流量分區也不超過30區，這就使從1開始逐個檢驗，找到最小可行分區數的方法成為一種有效的方法。此方法具體計算步驟[7]如下：

第1步，從c=1(分區數的下限)開始迭代；

第2步，對某一確定的分區數c，首先隨機生成初始分區方案，即隨機將每個組件分在1至c中的某一區；

第3步，用遺傳算法求分區數c對應的堆芯活性區總流量Q的最小值Qmin。

Qmin的數學模型為：

(1)

其中：mi為第i個組件所屬的流量區；n為堆芯組件數；Q為堆芯流量，是所有組件流量分區的函數；qi為第i個組件的流量；Pj為第j個組件的功率；Tc,limit為包殼溫度限值；Tf,limit為燃料溫度限值；函數g(P,Tc，limit,Tf,limit)為使功率為P的組件包殼最高溫度不大于Tc且燃料最高溫度不大于Tf所需的最小流量，約束條件表示第i個組件的流量qi由與其同流量區的組件中功率最大的組件決定。

考慮到本文主要討論使用遺傳算法實現堆芯流量分區設計的一般方法，而非對堆芯熱工程序的研究，g(P,Tc,limit,Tf,limit)采用模型較為直觀的單通道程序[8]。忽略燃料和包殼的軸向導熱和環向導熱，燃料和包殼的溫度方程簡化為極坐標下的擴散方程：

(2)

其中：ρ為密度，kg/m3；cp為比熱容，J/(kg·K)；T為溫度，℃；t為時間，s；r為徑向坐標，m；k為熱導率，W/(m·K)；φv為體積功率，W/m3，忽略包殼釋熱時，包殼控制方程中φv=0。

邊界條件為：

(3)

其中：Tu為燃料表面溫度，℃；Tci、Tco分別為包殼內壁和外壁溫度，℃；Tm為冷卻劑溫度，℃；ku、kc分別為燃料和包殼熱導率，W/(m·K)；hg為堆芯-包殼間隙換熱系數，W/(m2·K)；h為包殼與冷卻劑間對流換熱系數，W/(m2·K)；ru為燃料芯塊外徑，m；rci、rco分別為包殼內徑和外徑，m。

快堆燃料熱導率經驗公式[1]為：

ku=(0.042+2.71×10-4T)-1+

6.9×10-11T3

(4)

快堆包殼材料為不銹鋼，計算中熱導率取常數，即kc=21.46 W/(m·K)[8]。堆芯-包殼間隙換熱系數取經驗值，hg=5 678 W/(m2·K)[8]。包殼與冷卻劑間對流換熱系數由Seban-Shimazaki關系式[9]計算：

Nu=5+0.025Pe0.8

(5)

其中：Nu為Nusselt數；Pe為Peclet數。

忽略冷卻劑導熱，冷卻劑的控制方程為：

(6)

其中：Az為流道截面積，m2；q為冷卻劑流量，kg/s；z為軸向坐標，m。

燃料和包殼控制方程采用一階中心差分，冷卻劑控制方程采用一階迎風差分，沿流動方向逐層求解，在每一層求解燃料溫度、包殼溫度、冷卻劑溫度的方程組。

組件內燃料棒間呈現一定的功率分布特征[10-11]，組件內的流動特性按子通道分布[12]，分析中以熱通道因子表示功率和流量的不均勻性，即以組件內平均通道的計算值疊加組件熱管因子后得到比焓升最大的子通道[11]。軸向功率分布使用平均值。

遺傳算法的具體實現過程如下。

1) 編碼。使用格雷碼對組件流量區mi編碼，每個組件所需的編碼長度是log2c向上取整值，記為l，全部組件的流量區信息長度L=nl，即染色體長度。例如分為3個流量區需要2位格雷碼，假設共有5個組件，其格雷碼示例列于表1。

2) 計算適應度。適應度函數定義為：

F=Fit(Q(m1,…,mn))=

(7)

在不同的分區方案中，組件流量的最大值是相同的，由全堆芯功率最大的組件決定：

(8)

顯然，maxqi是常數。適應度函數的定義保證了其函數值隨Q單調遞減。

3) 進行遺傳操作：賭盤選擇、雙點交叉、基本位變異。

(1) 賭盤選擇

首先，依次累計群體中各個體的適應度：

(9)

其中，M為群體中個體數量。

然后，在區間[0,SM]內產生均勻分布的隨機數r；依次比較Si和r，第1個出現Si≥r的個體i被選為復制對象。

最后，重復該過程，直至產生M個新個體。

(2) 雙點交叉

將M個個體隨機配對，分為M/2組，設交叉概率為Pc，對每組個體在[0,1]內產生均勻分布的隨機數r，若r≤Pc，執行雙點交叉：在2個個體基因串中隨機設置2個交叉點，交換2個個體在所設定的2個交叉點之間的部分。

(3) 基本位變異

設變異概率為Pm，對每個個體在[0,1]內產生均勻分布的隨機數r，若r≤Pm，執行基本位變異：在該個體編碼串中隨機選擇1位，改變其值。如果變異后得到無意義的個體(如要求分3個流量區，變異后某個組件的流量區為4)，則認為變異失敗，該個體恢復變異前的狀態。

4) 執行最優個體保存。用迄今為止適應度最高的個體代替M個個體中適應度最低的個體。

至此，得到了新一代的M個個體。重復選擇-交叉-變異的過程，并始終保留迄今為止的最優個體，直至滿足收斂準則，即求出Qmin為止。

第4步，比較Qmin和Qr。Qr為堆芯流量的目標值，其定義的推導過程如下。

首先，堆芯出口平均溫度Tout與堆芯總流量Q的關系為：

Tout=Tin+P/Qcp

(10)

式中：Tin為堆芯入口溫度；P為堆芯功率。

通過改變堆芯流量區的劃分，可得到Q的極小值Qmin和Tout的極大值Tout,max，Qmin和Tout,max滿足：

Tout,max=Tin+P/Qmincp

(11)

以Tout,r為堆芯出口平均溫度的設計目標值，其對應的堆芯流量即為Qr，當Tout,max≥Tout,r時，有Qmin≤Qr，兩者是等價的。

若Qmin>Qr，則令c=c+1，轉到第2步；否則，Qmin≤Qr，此時c值即為最小分區數，對應的分區方案即為最優分區方案。

2 算例分析

2.1 CEFR堆芯流量分區分析

CEFR堆芯活性區共81盒燃料組件，分4個流量區，CEFR堆芯功率分布和流量分區軸對稱，圖1為1/2堆芯的功率分布和流量分區。圖中只給出了燃料組件，其他組件的冷卻劑流量需根據實際情況采取合適的方法另行計算。

圖1 CEFR 1/2堆芯流量分區和功率分布[12]Fig.1 CEFR 1/2 core flow zone and power distribution[12]

采用本文方法計算CEFR流量分區，分4區，每代的樣本數為100，交叉概率為0.2，變異概率為0.05，計算結果與圖2所示原設計結果一致。

反復計算統計，對于CEFR流量分區問題，遺傳算法計算時間與枚舉法計算時間的比在0.5～1之間，對于CEFR這樣規模的問題，相比傳統算法，遺傳算法在計算時間上沒有明顯優勢。

圖2 CFR1200 1/6堆芯功率分布Fig.2 CFR1200 1/6 core power distribution

2.2 CFR1200堆芯流量分區設計

根據堆芯熱工設計的結果，由于參數不確定性(包括輸入參數中功率計算的不確定性以及制造公差、運行參數偏差、經驗關系式的試驗誤差等)引起的燃料溫度相對于名義值的均方根偏差σf為76 ℃，由于參數不確定性引起的包殼最高溫度相對名義值的均方根偏差σc為16 ℃。高燃耗下快堆燃料熔點為2 630 ℃，正常運行的包殼溫度限值為700 ℃[13-14]。考慮設計不確定性，燃料溫度和包殼溫度分別取3σ置信水平，并疊加一定的設計裕量，流量分區優化設計的邊界條件確定為燃料中心溫度不超過2 100 ℃和包殼中壁溫度不超過630 ℃，同時以活性區平均出口溫度不小于569 ℃為目標進行優化計算。使用遺傳算法，每代的樣本數為400，交叉概率為0.3，變異概率為0.05。從活性區流量分區數等于1開始檢驗，當活性區流量分區數等于8時，活性區出口平均溫度為569.5 ℃，流量為2 166 kg/s，達到預定的活性區出口平均溫度目標值。圖3為堆芯流量分8區時的分區方案。

圖3 CFR1200堆芯8區流量分區方案Fig.3 CFR1200 core 8-zone flow zoning solution

對輸入參數做敏感性分析。隨機選擇5%的組件(7盒)，將其功率增大10%，將增加的功率按功率比例分配到其他135盒組件，保持全堆總功率不變，重復流量分區計算。結果表明，當分區數達到8時，活性區出口平均溫度達到優化目標。選取的組件不同，活性區出口平均溫度的變化范圍不超出2 ℃，具體的分區方案可能發生變化，特別是隨機選中的組件為原方案某一分區的最熱或最冷組件時，變化較為明顯。由此證明了分析結果的穩定性，也說明了流量分區問題本身的穩定性。

至此，解決了CFR1200的堆芯流量分區優化設計問題。

進一步研究了不同分區數所能達到的活性區最小流量和活性區最大出口平均溫度的關系，如圖4所示。分析發現，活性區流量分區數越大，增加分區數對減小總流量和提高出口平均溫度的貢獻越小，結合經濟性和安全性，適中的分區數應是較為理想的。

圖4 不同分區數對應的活性區總流量和活性區出口溫度Fig.4 Total active zone flow and active zone exit temperature for different numbers of zones

3 結論

鈉冷快堆堆芯流量分區是堆芯熱工設計的重要內容，隨著反應堆功率的提高，傳統方法的計算規模呈指數增長，本文通過建立數學模型，采用遺傳算法解決了鈉冷快堆堆芯流量分區的快速優化設計問題，為鈉冷快堆堆芯流量分區優化設計提供了完全基于數學過程的設計方法。該方法可推廣到采用封閉組件的反應堆堆芯流量分區設計。

通過CEFR算例驗證了基于遺傳算法的鈉冷快堆堆芯流量分區優化設計方法的有效性，并應用于CFR1200，得到了活性區流量分區優化設計方案。進一步研究了CFR1200活性區總流量、平均出口溫度和流量分區數的關系，得到了關系曲線。