構建知識結構 指向深度學習

陳丹娜

摘要：乘法公式是初中極為重要的一個公式，教材中首先研究了平方差公式，其研究過程具有很好的育人價值，從一般到特殊的研究方法，從具體到抽象的研究過程，數形結合的研究視角，為后續繼續研究其他公式提供研究思路和方法.本文以《乘方公式（第一課時）》為例，具體來談談教學中如何設計問題串，真正做到深度學習。

關鍵詞：平方差公式;公式教學

一、內容與內容解析

1.內容解讀

某些特殊形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式，當遇到相同形式的多項式相乘時，就可以運用公式寫出結果，以簡化運算。平方差公式是多項式的乘法公式的一種特殊情況，其本質特征是一項對應相等，一項對應相反的兩個二項式相乘，等于相同項的平方減去相反項的平方。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數、單項式、多項式、分式乃至任何代數式。平方差公式的得出，以多項式乘法與合并同類項的知識為基礎，從一般形式的整式乘法運算到對特殊形式的乘法運算概括出乘法公式，體現了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的過程，從具體的具有特殊形式的幾組多項式乘法的運算結果中，通過觀察、比較，抽象概括出一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現了從具體到抽象地研究問題方法

二、目標與教學重難點

1.目標

（1）理解平方差公式;

（2）在探索平方差公式的過程中，感悟從一般到特殊，以及從具有到抽象地研問題的方法，在驗證平方差公式的過程中，感知數形結合思想。

2.教學重難點

重點：平方差公式

難點：平方差公式的發現;平方差公式的變式運用.

三、教學過程設計

1.復習引入，獲得研究對象

問題1? 前面我們學習了多項式的乘法，你能說說運算法則嗎？這些運算的依據是什么？

設計意圖：回顧運算法則，強化“用運算律計算”的意識。

（引言：數學中，經常要通過考察特殊情況來獲得對問題的進一步認識，例如在兩條直線的位置關系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關系，得到了一些有用的結論。類似的，在多項式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。）

問題2 如前一節課練習中（x+b）（x+d）就是一種特殊的多項式相乘，它是（a+b）（c+d）在a=c=x時的特例。對這些特殊形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式，當遇到相同形式的多項式相乘時，就可以運用公式寫出結果，以簡化運算。在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，你認為還有哪些特殊情形？

通過“先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認識數學對象的方法，體會多項式乘法與本屆內容的關系——“一般——特殊”;

[預設：學生會提出c=a，d=b時即（a+b）（a+b），對平方差這種特殊關系不一定能想到，需要老師引導，啟發學生“特殊關系”有哪些，因為字母表示數，所以項與項之間的特殊關系和數的特殊關系相同，相等或相反是特殊關系。]

2、從具體到抽象，探究公式

問題3 你能舉出幾個具有以上述特殊情形的具體算式嗎？

問題4? 計算你列出的多項式的積，你能發現什么規律？

追問1 觀察積的各項，相乘的兩個多項式的各項與它們的積中的各項有什么關系？

追問2 你能將發現的規律用式子表示出來嗎？

追問3 你能對發現的規律進行驗證嗎？

設計意圖：讓學生經歷具體——抽象的過程，即經歷觀察（每個具體的算式及其結果的特點）、比較（不同算式及其結果間的異同）、抽象（不同算式及其結果的共同特征）、概括（可能具有的規律）、推理（論證概括的結果）的過程，從中體會研究數學問題的基本思想方法——“具體——抽象”。

3、本質特征概括，歸納公式

問題5 前面探索所得的式子稱為乘法的平方差公式，你能將平方差公式用文字語言表述嗎？

追問1 你能總結性平方差公式的結構特征嗎？

追問2平方差公式與多項式乘法有何關系？

設計意圖：讓學生將符號語言轉化為文字語言，發展學生的數學語言能力;學生在用語言表述公式內容時，可以加深對公式結構特征的理解。

4、數形結合，理解公式

問題6將圖甲中陰影部分的小長方形變換到乙圖位置，你能根據兩個圖形的面積關系直觀地說明平方差公式嗎？

設計意圖：通過探究活動，讓學生認識平方差公式的幾何意義，使學生更好得理解這一公式，并此過程中體會數形結合思想。

5、例題講解，辨析公式

例1? 用平方差公式計算：

練習1? 下列兩個多項式相乘，可以用平方差公式計算嗎？若可以，請寫出相應的相同項（a）和相反項（b），并計算結果。

問題7 通過例1和練習1中，你認為運用公式解決問題時應該注意點什么？

[師生活動：學生進行小結歸納，教師進行補充]

（1）再運用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結構特征;

（2）一定要找準那個數或那個式相當于公式中的a，那個數或式相當于公式中的b;

總結規律：一般地，“第一個數”a的符號相同，“第二個數”b的符號相反;

（3）公式中的字母a、b可以表示數，也可以表示數的單項式、多項式即整式

（4）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過適當的變形，實質上能應用公式。

例2? 計算：

（1）103×97? ? （2）59.8×60.2? ? （3）5678×5680-56792

拓展? 運用平方差公式計算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

設計意圖：通過練習讓學生熟悉公式的結構特征，并引導學生深入分析平方差公式的結構特征明確a，b的意義。并在數的乘法用應用，使得學生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，及鞏固新知，又培養學生分析和解決問題的能力。

6、歸納小結，形成研究套路

（1）請你總結一下本節課討論問題的基本過程。

（2）你能說說公式的結構特點嗎？應用時應注意哪些問題？

（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節課所學內容，把握本節課的核心——平方差公式，進一步認識公式的結構特征，為運用公式積累經驗。

小結

本節課主要的亮點有，亮點1：注重研究方法的滲透.通過從一般到特殊的研究方法，啟發學生發現研究對象，從一般形式（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd出發，類比數具有的數量關系，找到c=a，d=b和c=a，d=-b，兩種特殊形式.再次讓學生聚焦今天的研究內容是c=a，d=-b，通過學生自己舉例，從具體到抽象，概括出平方差公式;亮點2：挖掘公式本質.平方差公式其本質特征是一項對應相等，一項對應相反的兩個二項式相乘，等于相同項的平方減去相反項的平方，在教學時從發現問題開始就直指本質，學生遇到平方差公式變形類問題時，如（-x+2y）（-x-2y）時，學生不需要進行符號轉化抓住相同項是-x，相反項是2y，然后直接應用求解即可，突破難點;亮點3：多角度進行公式結構的分析.通過發現研究對象，得到公式后讓學生用符號語言表示第一次體會公式結構，再通過用圖形揭示平方差公式第二次體會公式結構，最后通過利用公式進行計算，在處理類似于（a+b+c）（a+b-c）的問題中，體會公式中的字母a，b可以是具體的數、單項式、多項式、分式乃至任何代數式，真正掌握平方差的公式結構。