基于通量校正傳輸方法的地震波數值模擬

蔡小蘇 周文宗

摘 要：地震波數值模擬在地震勘探中具有重要作用。有限差分法憑借自身優點，廣泛的應用于波動方程求解中。本文將通量校正方法和交錯網格高階差分法有效的結合，對均勻半空間介質二維一階速度-應力波動方程組進行數值解。得到同一時刻，時間二階，不同空間階數，不同網格步長的波場快照。結果表明，細網格步長和高階差分能較好地壓制數值頻散;通量校正法在壓制網格數值頻散方面有明顯的優勢，在保持一定計算精度情況下，可采用較大的網格間距，提高計算效率。

關鍵詞：有限差分法;數值模擬;交錯網格;頻散;通量校正傳輸法

中圖分類號：P631.4 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2020）08-0218-03

0 引言

地震波數值模擬是研究各種地質條件下構造、物性和巖性等各種地質因素與地震波響應特征（運動學和動力學特征）之間關系的一門技術。地震波數值模擬是地震反演和偏移成像的基礎，對于人們理解地震波傳播規律，進行實際地震資料的地質解釋以及地球資源開發等，均具有極其重要的意義。地震波波場模擬是以彈性波理論為基礎，彈性波方程是其基本方程[1]。有限差分法憑借應用范圍廣、方便靈活、計算效率高等優點，廣泛用于數值模擬中。然而，用有限的離散網格來近似連續的無限介質，以差商代替微商，會出現不同頻率的地震波在介質中以不同速度傳播的現象稱為波的頻散[2]。數值頻散嚴重的影響波動方程數值計算精度，必須給予消除。本文將通量校正方法（Flux corrected transport method，FCT）應用于二維一階速度一應力彈性波動方程的交錯網格高階有限差分求解中，進行數值模擬試驗，并與其他差分模擬結果進行對比分析。

1 二維一階應力-速度彈性波方程

由運動平衡微分方程、本構方程和幾何方程推導得到二維一階速度-應力彈性波動方程[3-4]：

表示介質的密度;t表示時間;、表示介質的拉梅常數和剪切模量;vx、vz表示質點在x，z方向的速度;和是正應力分量;是切應力分量。

2 二維交錯網格有限差分近似

與其他地震波數值模擬方法相比，有限差分法具有適應條件廣、方便靈活、便于實現等優點，因此大量應用于數值模擬中。而其中的交錯網格高階差分法與常規網格高階差分相比，可進一步提高數值模擬的精度并有效的壓制數值頻散[5]。

2.1 時間2M階差分近似

在用交錯網格有限差分法解一階彈性波方程時[6]，在半節點處（）計算速度分量vx、vz，在節點處（t時刻）計算應力分量、、。利用Taylor公式將和在t時刻展開，可得到：

2.2 空間2N階差分近似

在交錯網格有限差分計算中，在相應的變量網格半節點上計算變量的導數。對于具有2N+1階導數的連續函數f（x），其一階空間導數如下：

3 通量校正傳輸方法（FCT）

由于有限差分是對時間和空間網格的離散，以差商代替微商，以有限近似連續介質，這樣就出現了模擬中不期望出現的波動現象—數值頻散。差分格式的截斷性決定了波動方程計算中的數值頻散問題是無法避免的。數值頻散嚴重干擾數值計算精度，對模擬的結果造成嚴重影響，應盡量壓制。

Boris和Book[7]等最早在求解流體動力學連續方程時提出了通量校正傳輸方法。而后將FCT法用于求解聲波方程，有效的壓制了在粗網格情況下的差分計算產生的數值頻散。

4 模型分析

設計尺寸為400m×400m均勻半空間介質模型，震源位于（200，200）處，震源為主頻30Hz的Ricker子波，時間間隔，縱波速度，橫波速度，密度為。通過交錯網格差分得到時間二階，不同空間階數，不同網格步長模型在100ms時垂直分量的波場快照圖，圖1～圖10所示[8-11]。

對比圖1、圖3、圖5，當增加空間步長，即減少一個波長內離散點數，數值頻散越嚴重。對比圖1、圖7、圖9，隨著空間差分階數的提高，產生的數值頻散會逐漸減小，因此可采用高階差分來減小數值頻散。對比圖1和圖2、圖7和圖8、圖9和圖10，經過FCT校正后，數值頻散得到了很好的壓制。對比圖2、圖9，發現低階差分的波場模擬通過FCT校正也可以得到較高精度的模擬效果。

5 結論

本文給出了彈性波二維一階應力-速度波動方程在交錯網格中時間和空間差分近似，介紹了FCT方法，并將其用于波場模擬中。實際模型結果表明，采用細網格、高階差分能較好的壓制頻散;通量校正方法與交錯網格高階差分有效結合，在壓制網格數值頻方面有明顯的效果，并可采用較大空間步長，提高計算效率。

參考文獻

[1] 姚姚.地震波場與地震勘探[M].北京：地質出版社，2006.

[2] 董良國，李培明.地震波傳播數值模擬中的頻散問題[J].天然氣工業，2004（6）：53-65.

[3] 揚頂輝，藤吉文.各向異性介質中三分量地震記錄的FCT有限差分模擬[J].石油地球物理勘探，1997（2）：18l-188.

[4] 董良國，馬在田，曹景忠.一階彈性波方程交錯網格高階差分解法[J].地球物理學報，2000（3）：412-419.

[5] 蔡其新，何佩軍.有限差分數值模擬的最小頻率算法及其應用[J].石油地球物理勘探，2003（03）：247-251.

[6] 吳國忱，王華忠.波場模擬中的數值頻散分析與校正策略[J].地球物理學進展，2005（1）：58-65.

[7] Book D L， Boris J P， Hain K. Flux-corrected transport I：SHASTA， A fluid transport algorithm that works[J].Journal of Computational Physics，1973，11（1）：38-69.

[8] 鄭海山，張中杰.橫向各向同性（VTI）介質中非線性地震波場數值模擬[J].地球物理學報，2005（3）：660-671.

[9] 李勝軍，孫成禹，高建虎，等.地震波數值模擬中的頻散壓制方法分析[J].石油物探，2008（5）：444-449.

[10] 潘海濱，孫萍.交錯網格波場數值模擬頻散分析與校正策略[J].海洋動態地質，2009（6）：36-41.

[11] 李文杰，張改蘭.利用FCT方法壓制彈性波數值模擬中的數值頻散[J].物探化探計算技術，2011（3）：248-251.