高中數學教學中數形結合思想的應用

李彩琴

【摘要】文章簡單介紹了數形結合思想，分析了其在高中數學教學中的重要性，并從準確把握思想應用原則，循序漸進強化學生意識，深度引導學生感悟思想，針對不同問題合理應用等方面，對于高中數學教學中合理、有效應用數形結合思想的策略展開了探討，以供同行參考。

【關鍵詞】高中數學教學;數形結合思想;應用

要想有效提高數學教學效果，就必須對過于強調課堂講解與機械式重復的傳統(tǒng)教學模式進行創(chuàng)新、調整與優(yōu)化，尤其要突出學生主體性，重點培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)。其中，在教學中合理應用數形結合思想，不僅可以讓教學過程變得更為簡單，而且能有效促使學生主動思考，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力以及多角度思考問題、靈活變通與解決問題的能力，是極具實踐價值的教學創(chuàng)新方式。

一、數形結合思想及其在高中數學教學中的重要性

所謂數形結合思想，就是將數學中所研究的數與形進行聯(lián)系與結合，從而達到借助數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明與數之間的某種關系。簡單而言，數形結合思想就是以數解形或者以形助數，充分利用數與形之間的密切聯(lián)系，實現(xiàn)二者的相互利用。對高中數學教學而言，滲透與融入數形結合思想十分有必要。

首先，數與形是高中數學研究的基礎對象，基本上所有教學內容都繞不開二者，而且二者又有著密切聯(lián)系，因而合理應用數形結合能夠在很大程度上促使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，對幫助學生掌握知識、解決問題有著重要意義。

其次，在教育改革背景下，高中數學教學不能再停留和局限于知識傳授，而是要引導學生全方位發(fā)展。在教學中合理滲透數形結合思想，能夠對學生思考問題能力、創(chuàng)新思維、邏輯思維等進行有效培養(yǎng)，促使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，拓展學生解題思維和思考問題的思路，有助于學生全面成長與發(fā)展。

二、高中數學教學中數形結合思想的應用策略

1.準確把握思想應用原則

在數學教學中應用數形結合思想時，不管是基于該思想進行知識講解、難題解答，還是培養(yǎng)學生相應的數學思想解題方法，都需要遵循一定的基本原則。

首先，應當遵循雙向性原則，即數與形是相互對立又聯(lián)系緊密的兩個層面，在對二者進行思考時一定要進行雙向思考，不能只通過數對形來進行研究，也不能局限于數對形的表現(xiàn)。只有充分貫徹雙向性原則，才能真正做到對數與形的有效統(tǒng)一與靈活應用，保障其在數學教學中發(fā)揮應有的作用。

其次是簡潔性原則。無論是講解知識還是解答難題，教師在應用數形結合思想時，都是為了用更加簡單直觀的方式呈現(xiàn)內容，幫助學生以更容易理解和掌握的形式進行思考與探索，從而提高教學效率，提升學生解題速度與準確性。

再次是等價性原則。在數與形在相互轉換的過程中，一定要保證對等等價，但凡其中存在一點偏差，都可能導致數形結合思想與方法的運用存在問題，影響最終的解題結果準確性。

最后是創(chuàng)新性原則。數形結合思想雖然在高中數學中占據著極其重要的地位，但這并不意味著學生在解決任何數學問題時都可以應用該思想。只有根據實際情況創(chuàng)新性地應用該思想，才能最大限度地發(fā)揮其作用，促使學生更快更準確地解決問題，否則容易陷入解題誤區(qū);過于依賴數形結合而無法掌握其他數學思想及方法，更可能導致思維固化。

2.循序漸進強化學生意識

在數學教學中應用數形結合思想具有多重目的，其中最基礎的一點在于引導學生以更加簡單易懂的方式學習知識，解決難題。從更深層次的應用目的考慮，則要以培養(yǎng)學生良好的數形結合思想與靈活的運用方法為關鍵，確保學生能夠合理利用該思想自主學習與探索，同時促進學生全面發(fā)展。不過，思想的滲透與培養(yǎng)是一項長期工作，不可能通過短期教學有效實現(xiàn)，教師必須充分意識到這一點，并在教學實踐中以興趣培養(yǎng)為重要基礎，循序漸進地強化學生意識，一步步地培養(yǎng)學生良好的數形結合思想，讓學生科學運用數形結合方法進行思考與解題。因此在日常教學中，教師一定要對教學內容進行深度挖掘，著重分析其中與數形結合有著密切聯(lián)系的部分，并針對這部分進行合理設計，以數形結合的方式帶領學生學習新知識，從而讓學生在不知不覺間理解、接受和習慣該思想。

例如在教學三角函數相關內容時，教師可以利用單位圓幫助學生理解新知識。通過圖1所示的單位圓，教師可以直觀地向學生展示有向線段，并將該圖形與三角函數的定義進行緊密聯(lián)系、數形結合。教師以單位圓中的有向線段OB、OC、OP、OA、AD等，帶領學生學習角θ的正弦線、余弦線、正切線等，從而幫助學生快速、準確地理解知識點。由于單位圓和有向線段都是學生容易理解且較感興趣的內容，教師利用二者并應用數形結合思想，能夠在直觀講解知識的同時激發(fā)學生興趣，強化學生數形結合意識。

3.深度引導學生感悟思想

數學教學中對數形結合思想的應用不能停留在簡單的認知上，更要引導學生對其進行深度感悟，從而促使學生掌握靈活運用該思想及方法的有效方式。對此，教師一定要通過各種方式引導學生進行感悟，促使學生靈活地主動進行數轉形以及形轉數，更加高效地運用數形結合方法解決問題。要想真正促使學生進行深度感悟，一定要從學生既有知識儲備出發(fā)，讓學生對已掌握知識進行深度挖掘和探索。

例如在教學函數相關內容時，教師要求學生畫出一次函數與二次函數的圖像，并讓學生結合圖像對函數本質、特征等進行研究，鼓勵學生自主探索、合作學習。學生在教師的指導下，對函數圖像進行反復研究，合作討論，一起探討圖像表現(xiàn)了函數的哪些特征，并發(fā)現(xiàn)函數單調性、奇偶性、對稱性等均在圖像上得到有效體現(xiàn)。如此一來，學生對數形結合有了更為深刻的認知，并能真正將該思想作為學習數學和解決數學問題的重要工具。

4.針對不同問題合理應用

數形結合體現(xiàn)在高中數學的方方面面，故而合理應用該思想可以更加簡單、直觀、高效、準確地解決不少數學難題。尤其是對一些依靠常規(guī)方法難以有效解決的數學問題而言，靈活應用數形結合方法往往能起到奇效。綜觀高中數學內容，諸如集合、函數、方程與不等式、三角函數、數列、解析幾何、立體幾何、絕對值、概率及統(tǒng)計等相關問題的解決都可以應用數形結合思想。在進行這些內容的教學或者解決相關內容時，教師需要針對性地引導學生合理應用數形結合思想，培養(yǎng)學生相應的解題習慣，確保學生更加高效地解決不同的問題。

以函數問題與解析幾何問題為例，二者的解答可以通過常規(guī)方式完成，也可以利用數形結合方法完成，只不過在實際應用時有一定區(qū)別，教師需要針對二者的數形結合解題方法進行準確教學。其中，函數問題應用數形結合思想的關鍵在于應用形來對數進行直觀表現(xiàn)，如此既能快速解決問題，也能避免大量復雜運算而導致的運算出錯問題;而解析幾何問題中運用數形結合思想，關鍵就在于將幾何結構代數化，利用數來對形進行表達和反映，從而更加具體、準確地進行解答。

例如函數問題：已知f（x）=x2-2ax+2，當x≥-1時，f（x）>a恒成立，試求取a的取值范圍。

解析幾何問題：已知二元一次方程3x+4y=12，且x≥0，y≥0，求M（x，y）=x2+y2-12x-2y+37取得最大值與最小值的點的坐標。

在應用數形結合思想解決這兩個問題時，教師要畫出相應的圖形，分別如圖2和圖3所示，讓學生根據圖形解答問題。

在解決函數問題時，應當將重心放在圖形對代數語言的表達上，引導學生結合題意對圖形進行觀察，并代入問題中給出的條件進行思考，從而求出a的取值范圍。學生在教師的引導下，觀察圖形，代入題目給出的條件，思考當△<0和△≥0時的不同情況，確定兩種情況下a的取值范圍分別為（-2，1）和（-3，1），從而判斷出答案為（-2，1）。

而在解決解析幾何問題時，教師帶領學生對畫出的圖形進行研究，直接通過觀察圖像可得知x的取值范圍為[O，4]，并將M（x，y）變形為M（x，y）=（x-6）2+（y-1）2，那么M（x，y）就代表動點P到定點Q的距離的平方，可直接通過觀察圖形得知點A和點B是M（x，y）取得最大值與最小值的點的坐標。

三、結語

高中數學教學中應用數形結合思想極其有必要，不僅可以更加簡單高效地傳授知識和解決問題，而且能有效培養(yǎng)學生良好的解題思維與習慣。教師在教學實踐中應當積極探索合理滲透、融合與應用數形結合思想的有效路徑，盡量以更加簡單、直觀而高效的方式帶領學生學習，提高教學水平，促進學生數學水平全方位提升。

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