基于培養數學核心素養的專題復習課教學例談

任繼富

【摘要】數學核心素養是指數學學習者在學習數學或學習數學某一個領域所應達成的綜合性能力，其中邏輯推理能力在數學核心素養中屬于較高層級的能力。文章以專題復習為例，從解決實際問題入手，經過課堂教學滲透，培養學生邏輯推理能力，實現數學核心素養的整體提升。

【關鍵詞】數學核心素養;推理能力;最值問題

一、由一道考題引發的思考

在中考第一輪綜合復習過程中，有這樣一道題目：“二次函數y=X2+4x+3圖像上的點到直線y=2x的最小距離為____.”該題初看起來就是點到直線的距離問題，如果是純幾何問題，很多學生都不會覺得有什么困難，但是與二次函數聯系起來后，頓時成了一道難題。

基礎較好的同學容易找到解題思路。設與y=2x平行的直線解析式為y=2x+k，當y=2x+k與y=X2+4x+3圖像相切時，切點到直線y=2x的距離即最小距離，聯解y=X2+4x+3 y=2x+k，根據方程組只有一組解可以得出切點的坐標，然后計算切點到y=2x的距離就是最小距離。解題思路易形成，但運算量大，增加了運算的出錯率。

若日常教學中我們有意識培養學生的邏輯推理能力，那么學有余力的學生會發現更簡便的方法。設二次函數y=x2+4x+3圖像上的一點M坐標為（m，m2+4m+3），過該點作x軸垂線，與直線y=2x交于點N（m，2m），所以線段MN=m2+4m+3-2m=m2+2m+3=（m+1）2+2，易得當m=-1時，MN有最小值2，當MN取最小值時，也就是二次函數y=x2+4x+3圖像上的點到直線y=2x的距離最小，最小距離為2√5/5。

該題的解答讓筆者反思日?！氨馄交钡慕虒W，教師忙于趕教學進度，學生思維訓練的時間有限，教師有意或無意中把核心素養中的能力培養放到了次要位置，導致學生遇到新問題時經常陷于無從下手的窘境。

二、教學中培養學生邏輯推理能力的實踐探索

在數學學習過程中，學生必須具有扎實的基礎知識。在此條件下，教師應訓練學生的推理能力，提升其核心素養。數學推理能力不是憑空出現的，不可一蹴而就，它正是在數學基礎知識上發展起來的，通過不斷地訓練，總結提升，方能達到預期效果。在中考復習過程中，“最短路徑問題”是軸對稱性質、三角形、兩點之間線段最短及勾股定理計算等知識的延續和深化，對解決數學綜合問題起到基礎性作用。本文以一些典型的教學片段進行例談。

1.注重思維啟發，培養推理意識

問題1：如圖1，從A地到B地有三條路可供選擇，你認為哪條路距離最短？說說你的理由。

師：這個問題答案是選哪個？

生：AB。

師：為什么是AB最短？

生：兩點之間，線段最短。

師：很好，這個問題熟悉嗎？

生：熟悉。

師：好的，那以這個問題為基礎，我們學習與它有關的另一個知識，大家有興趣嗎？

生：有。

問題2：如圖2，要在燃氣管道，上修建一個泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

師：這個問題與第1個題目有聯系和區別嗎？

生：有，既有聯系也有區別。

師：具體說一下。

生：兩個問題都用到了“兩點之間，線段最短”。不同的是，問題2的A、B兩點分布在直線l的兩側。

師：很好，大家審題細致，那么怎么解題呢？

生：只要連接AB兩點，直線l與AB的交點就是泵站修的位置。

師：大家很棒，那我們有信心做好接下來的問題嗎？

生：有。

問題3：相傳，古希臘有一位學者海倫，有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：“從A地出發，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地，請問到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？”這個問題對于既是物理學家也是數學家的海倫來說根本不算難題，他稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。

師：這個問題與以上兩題有聯系嗎？

生：好像有。

師：請大家一起探究，將A、B兩地抽象為兩個點，將河流抽象為一條直線l，在直線，上找到一點C，使AC與BC的和最小。各組同學可以圍繞這個問題進行深入討論。

顯然大部分同學思維卡住了，教師順勢引出下一問題。

問題4：如圖3，點A、B在直線l的同側，在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最小。

學生獨立思考，嘗試畫圖，相互交流。

教師提示：（1）如果點B與點A在直線l的異側，如何在直線，上找到一點C，使AC與BC的和最?。?/p>

（2）現在點B與點A在同側，能否將點B移到l的另一側點B'處，且滿足直線l上的任意一點C，都能保持CB=CB'？

（3）你能根據軸對稱的知識，找到（2）中符合條件的點B'嗎？

如圖4，出示作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B';（2）連接AB'，與直線l相交于點C，點C即所求。

證明：如圖5，在直線l上任取一點C'（與點C不重合），連接AC'、BC'、B'C.

由軸對稱的性質知，BC=B'C，BC'=B'C'.

∴AC+BC二AC+B'C=AB'，AC'+BC'=AC'+B'C'.

在△AB'C'中，AB'

即AC+BC最短

師：證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C'（與點C不重合）？

教學反思：讓學生體會作法的合理性、正確性，通過以上問題和證明方法的講解分析，啟發學生思考，潛移默化中培養學生的思維意識。教師在設計問題時，運用“兩點之間線段最短”的性質將問題轉化，使學生在觀察實驗、猜測證明的活動中養成思考的習慣。

2.注重變式訓練，發展推理能力

通過學習核心知識，強化變式訓練，有利于幫助學生理解數學思想和掌握數學方法，達到觸類旁通的學習效果，把學習簡單的知識上升到提升數學素養的層次;同時有利于培養學生的思考習慣，提高推理能力，提高解決問題的能力。

變式1：如圖6，牧馬營地在點P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地，請你設計一條放牧路線，使其所走的總路程最短，并說明理由。

變式2：如圖7，C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地a某一處牧馬，再到河邊b飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

變式3：如圖8，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分別是邊AB、BC、AC上的動點，則DE+EF+FD的最小值為________.

變式4：如圖9，已知點A（1，-3）、點B（4，-1）、點P（a，0）、點M（a+2，0），當四邊形PABM的周長最小時，a=_____.

教學反思：變式1與變式2的設計，在于幫助學生對本課內容的理解實現由表及里、從方法到思想的提升。變式3、4是為鞏固對最短路徑問題掌握情況而設計的，表面看變式3、4與最短路徑問題不太一樣，但深入探究發現，核心知識是相同的。比如在變式4中，路徑AB是固定的，可先不考慮，而PM能轉化為一條固定方向和長度的線段。在解答變式題3、4時，若思維止于表面，那么將無法與軸對稱變換聯系，思路將無法形成。

3.注重改編設題，提升思維素養

學生完全自編題目當然有很大困難，但如果改編就容易多了，學生可以試著改變問題的背景，改變問題的條件，改變問題的結論或改變問題的類型。如果教師在設計問題時就注重問題的開放式設計，那么學生改編題目就有了參照，對于激發學生的興趣，發展邏輯思維能力有很大的幫助。

例如：以變式3為母題，啟發學生改變問題的呈現背景，把三角形問題改為矩形問題，如圖10，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F、G分別是AB、BC和對角線AC上的點，則GE+EF+FG的最小值為（ ）.

教學反思：在數學問題的改編中，教師應該嘗試給學生思考的機會，引導學生抓住問題的關鍵因素展開聯想，變化出更多樣的圖形。教師在教學設計中的編題設計環節對學生限制少一些，讓學生有更多的自主權去增加新的條件，從解題人向出題人轉變，跳出思維定式，充分發展邏輯推理能力;將學生設計的題目展示給大家評議。通過評議，學生精準讀懂編題者的設計意圖，更容易形成思維路徑，提高邏輯推理能力，形成解答思路，同時也可以增強學生編題的積極性和自豪感。

【參考文獻】

[1]王小莉.化歸思想在中學數學教學中的滲透——以《最短路徑問題》為例[J].教育現代化，2018（10）：350-352.