素?cái)?shù)遞推式
——素運(yùn)式

◎張國平 （福建省南平市福州大學(xué)，福建 南平 353416）

為了述說的方便，明了，現(xiàn)做以下規(guī)定：

PN：P表示素?cái)?shù)，N表示素?cái)?shù)P在素?cái)?shù)序列中的排列位置.如素?cái)?shù)序列：2，3，5，7，11，13，17，19，….

則PN表示 21，32，53，74，115，136，177，198，…，PN－1，PN，PN＋1，….

PN＝21推式：

［2，0］?2N＋0，由于在自然數(shù)中，其最小值為 0，2 是最小的素?cái)?shù)，且是唯一的偶素?cái)?shù)，所以在后面［2，0］不再參與推算.

PN＝32推式：［2，1］，

在PN＝ 74推式中，由于＝ 49，而 74的下一個(gè)素?cái)?shù)P5＝115，故在74推式中，除1 外其最小數(shù)為其下一個(gè)素?cái)?shù)115，即74推式中的數(shù)除1 外的最小數(shù)為74的下一個(gè)素?cái)?shù)115，而其最大的數(shù)為 74！ －1＝209（74！ ＝2×3×5×7 ＝210）.而在74推式中，其數(shù)值小于115的平方的數(shù)必是素?cái)?shù)，而不小于115的平方的數(shù)則有可能不是素?cái)?shù)，但其參與下一推式的推算是必要的，否則，素?cái)?shù)將會缺失！

由于 74的后續(xù)素?cái)?shù)是115，136，177，198，239，….而在 74推式中且 209÷11 ＝19，故而，在74推式中：

11×11＝121；11×13＝143；11×17＝187；11×19＝209；

13×13＝169；13×17＝221＞209（舍）；

17×17＝289＞209（舍）.

一般地，當(dāng)PN為第N個(gè)推式時(shí)，其最小數(shù)除1 外為PN的下一個(gè)素?cái)?shù)PN＋1，其最大的數(shù)為PN！ －1，在中，其值若小于(PN＋1)2的數(shù)必是素?cái)?shù)，且其個(gè)數(shù)是可統(tǒng)計(jì)確定的.

已知方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0，當(dāng)a，b，P為正整數(shù)時(shí)，求a，b，P的解集.

說明：在方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 中，若其解（a，b，P）為整數(shù)，則稱（a，b，P）為方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的解形式.當(dāng)（a，b，P）為正整數(shù)時(shí)，也稱（a，b，P）為方程a2＋b2－P（1＋ab）的解形式，或方程的正解形式.所以，上述之意也是在求方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的正解形式.

解：設(shè)方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的解形式為｛a，J（［a，m］，［a，n］）｝（J為正整數(shù)）.（為什么會這樣去假設(shè)，只是在解二元一次方程的解形式與三元一次方程的解形式中有所感悟而為之）.

所以原方程變?yōu)椋篴2＋（aJ＋m）2－（aJ＋n）［1＋a（aJ＋m）］＝0，

推出a2＋a2J2＋2maJ＋m2－（aJ＋n）（1＋a2J＋am）＝ 0，

推出a2＋a2J2＋2maJ＋m2－［（aJ＋a3J2＋a2Jm）＋n＋na2J＋nam］＝0，

推出a2＋a2J2＋2maJ＋m2－aJ－a3J2－a2Jm－n－na2J－nam＝0，

整理，得－a3J2＋a2（1＋J2－Jm－nJ）－a（nm－2mJ＋J）＋m2－n＝0，

由于－a3J2是獨(dú)立項(xiàng)，故J2＝0，得J＝0.

當(dāng)J＝0 時(shí)，則a2－anm＋m2－n＝0，

所以，a（a－nm）＝ 0，m2－n＝0，得a＝m3，n＝m2，

所以，方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的解形式為（a，b，P）＝｛m3，0（［a，m］，［a，m2］）｝.

由于a2與b2項(xiàng)系數(shù)相同，故（a，b，P）＝ （b，a，P）＝ ｛m3，m，m2｝ ＝｛m，m3，m2｝.

由于a2與b2是二次函數(shù)，所以，當(dāng)a＝m3，P＝m2時(shí)（當(dāng)a＝m，P＝m2時(shí)，b＝m3（m為正整數(shù)）），

則方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 變?yōu)椋╩3）2＋b2－m2（1 ＋m3b）＝ 0，

推出m6＋b2－m2－m5b＝0，

推出b2－m5b＋m6－m2＝0，

因式分解，得（b－m）［b－（m5－m）］＝ 0，得b＝m，或b＝m5－m＝m（m4－1）.

當(dāng)b＝m時(shí)，已有正解形式，當(dāng)b＝m（m4－1）時(shí)，方程的解形式為（a，b，P）＝ （b，a，P）＝ ｛m3，m（m4－1），m2｝ ＝ ｛m（m4－1），m3，m2｝.

由于a，b，P為正整數(shù)，故在正解形式｛m3，m，m2｝中，m為大于0 的正整數(shù).

在正解形式｛m3，m（m4－1），m2｝中，m為大于 1 的正整數(shù).

綜上，正解形式中，P＝m2始終成立，即P總是某正數(shù)的平方.

如果沒要求a，b，P是正整數(shù)的話，那么，以上兩個(gè)正解形式也是其解形式，卻不完全，在此就不多做說明.