平面點集邊界聚點的存在性研究

◎李 波 侯汝臣 孫豐云 （煙臺大學數(shù)學與信息科學學院，山東 煙臺 264005）

引 言

了解平面點集的概念和性質是學習多元函數(shù)微積分，特別是二元函數(shù)微積分的基礎，幾乎所有的教材都會在介紹多元函數(shù)微積分理論之前對平面點集做詳細的介紹.聚點又是平面點集的一個非常重要的概念，對于研究多元函數(shù)的極限，連續(xù)以及微分等分析學性質至關重要.受一道例題的啟發(fā)，本文我們對聚點的一個性質進行了探討和分析，并對結論進行了證明.

在《數(shù)學分析》平面點集與多元函數(shù)一節(jié)有一道例題（P95，例 2）：證明對任何S?R2，?S恒為閉集.其證明過程如下：

證明：假設x0為?S的任意聚點，只需證明x0∈?S即可.對于?ε＞0，由聚點的定義，存在又因為y是S的界點，所以對任意的U（y；δ）?U（x0；ε），U（y；δ）上既有屬于S的點，又有不屬于S的點，所以U（x0；ε）上也既有屬于S的點，又有不屬于S的點，由ε的任意性，得x0是S的界點，即x0∈?S，證畢.

關于該結論還有另外幾種證明方法：

證一：設x∈（?S）c，即?S的余集，則x只能是S的內(nèi)點或外點.如果x為S的內(nèi)點，則?δ＞0，s.t.U（x；δ）?S，由內(nèi)點的定義知U（x；δ） ?（?S）c； 若x為S的外點，則?δ＞0，s.t.U（x；δ）∩S＝?，所以U（x；δ）?Sc，而U（x；δ）是開集，所以U（x；δ）中的點均不是S的界點，即U（x；δ）?（?S）c.由開集定義知（?S）c為開集，則?S為閉集.

證二：設x∈（?S）d（?S的導集，即?S的所有聚點的集合），由聚點的等價定義，存在相異點列｛xn｝?S，xn≠x（n＝1，2，…），s.t.xn→x，則對任意的δ＞0，?N，當n＞N時，xn∈U（x；δ），取n0＞N，由于xn0∈?S，則由界點的定義知U（xn0；δ－｜xn0－x｜）?U（x；δ）中有屬于S的點，也有不屬于S的點，所以x∈?S，則?S為閉集.

證三：設x∈?（?S），則?δ＞0，在中有?S的點y.又由界點定義，在內(nèi)既有S中的點，也有不在S中的點.由于因此U（x；δ）中既有屬于S的點，也有不屬于S的點，于是x∈?S，則?S為閉集.

這幾種證明方法從不同的角度對問題進行了解析，但前提都是先假設邊界存在聚點，再證聚點屬于邊界，從而證明邊界是閉集.我們知道，一個平面點集不存在聚點也稱為閉集，那么問題來了，邊界是否一定存在聚點呢？ 對于該題目的結論及其證明過程有以下幾點思考：

（1）若S為無界點集，?S是否一定有聚點，是否恒為閉集；

（2）若S為有界點集，?S是否一定有聚點，是否恒為閉集；

（3）S和?S聚點的存在性關系如何，S的聚點是不是一定為?S的聚點.

例題中對?S的聚點的存在性沒有做具體的討論，本文對此進行了分析，并給出相應的結論：

〈主定理〉若有界平面點集S有聚點，則其邊界?S必有聚點.

應用閉集套定理和聚點定理給出了證明.需要注意的是，若無界平面點集S有聚點，則其邊界?S不一定有聚點，見〈注 2〉.

預備知識

為讀者閱讀方便，我們給出一些預備知識.

〈平面點集〉 二維坐標平面上所有滿足某性質P的點的集合稱為平面點集，記為S.

〈界點〉 若在點M的任何鄰域U（M）內(nèi)都既含有S中的點，又含有不是S中的點，則稱M為S的界點，全體界點的集合稱為的S邊界，記為?S.

〈內(nèi)點〉設點M∈S，若存在點M的某個鄰域U（M），使得U（M）?S，則稱M為點S的內(nèi)點.

〈有界點集和無界點集〉對于某平面點集E，如果存在一個正常數(shù)r，使得E?U（O；r），則稱E為有界點集，否則，稱為無界點集.

〈聚點〉關于聚點的定義，在拓撲學、實分析和復分析中都有各自的描述：

拓撲學中，設拓撲空間（X，τ），A?X，x∈X，若x的每一個鄰域U（x）都含有A＼｛x｝的點，即U（x）∩A≠?，則稱x為A＼｛x｝的聚點.

在實空間Rn中，關于聚點的定義有三個等價描述：

（1） 點M為點集S的聚點；

（2）點M的任何空心鄰域內(nèi)都含有S中的點；

（3）存在相異點列｛xn｝?S，xn≠x（n＝1，2，…），s.t.xn→x.

在復分析中，若在復平面上的一點M的任意鄰域都有點集S的無窮多個點，則稱M為S的聚點.

〈開集〉若屬于平面點集S的所有點都是內(nèi)點，則稱S為開集.

〈閉集〉若平面點集S的所有聚點都屬于S或者S無聚點，則稱S為閉集.

〈閉集套定理〉設｛En｝為R2中的閉集列，滿足

（1）En?En＋1，n＝1，2，…；

（2）設dn＝d（En），則

則存在唯一的點P?∈En，n＝1，2，….

〈聚點定理〉有界無限點集至少有一個聚點.

三、結論及其證明

首先我們分析一維的情形，如在數(shù)軸上的開區(qū)間（a，b），其導集（所有聚點的集合）為［a，b］，邊界只有a，b兩個點，且為孤立點，所以邊界不存在聚點.又如點列1，2，3，…，其邊界集為顯然二者存在共同的聚點0.對于一維的無界點集，如（a，＋∞），｛n｝，n＝1，2，3，…等，有類似的結論.所以，對于一維數(shù)軸上的點集，集合本身和其邊界聚點的存在性之間沒有必然的聯(lián)系.

接下來，對于二維的情形，我們假設S為有界平面點集，以定理的形式給出結論，并利用閉集套定理和聚點定理給出證明.另外，對于S為無界平面點集的情形，我們以注解的形式結合反例給予說明.

〈定理〉若有界平面點集S有聚點，則其邊界?S必有聚點.

證明若S＝?S，結論顯然成立.若?S≠S，則S中必含有內(nèi)點，記為P0，由內(nèi)點的定義，?δ＞0，s.t.U（P0；δ）?S.又因為S有界，所以?r＞0，s.t.S?U（P0；r），且對于任意的M∈S，ρ（P0，M）＜r.從P0出發(fā)向外作射線交U（P0；r）于點P，記E0為上（包含端點，下同）所有點的集合，則E0既含有S中的點也含有Sc中的點.取的中點記為P1，則中至少有一段滿足既含有S中的點又含有Sc中的點，不妨設滿足條件，記為E1，顯然E1?E0，且取的中點記為P2，則至少有一段滿足既含有S中的點又含有Sc中的點，不妨設滿足條件，記為E2，且滿足依此類推，我們可以得到一個閉集列｛En｝，n＝1，2，…，滿足

（1）En?En＋1，n＝1，2，…；（2）ρ（En）＝即｛En｝，n＝1，2，…構成了一個閉集套.由閉集套定理，存在唯一的點則對任意的中含有｛En｝，n＝1，2，…中無限多個元素，即的任何鄰域都既含有S中的點又含有Sc中的點，故為S的界點.

進一步，從P0出發(fā)可以作無限條射線，按照上述方法可以得到無限個點集S的界點，又由點集S的有界性，我們可以得到一個有界無限點集｛｝∈?S，n＝ 1，2，…，應用聚點定理，得到｛｝存在聚點P?，定理得證.

對于該定理的結論，我們有如下幾點補充說明：

〈注 1〉?S有聚點，則聚點一定屬于?S，進而?S一定為閉集；

〈注2〉S為無界點集的情形，分兩種情況：

（1）S＝?S.若S有聚點，則?S也有聚點，且相同，反之亦然.

舉例 1S＝｛（x，y） ｜x，y∈Z｝，顯然S＝?S無界且元素均為孤立點，無聚點；

舉例 2S＝｛（x，y） ｜y＝kx＋b，k，b∈R｝，S＝?S無界且其元素均為聚點.

（2）S≠?S.若S有聚點，?S未必有聚點.

舉例 設S＝ R2＼｛P0｝，P0為 R2中任一點，顯然?S＝｛P0｝.點集S的聚點集為 R2，而?S為孤立點集，因此沒有聚點.

事實上，如果平面點集S為R2除去一個孤立點集而得到的，其邊界都無聚點.

＜注3＞該結論可以推廣到Rn（n＞2）的空間點集的情形.

舉例 設S＝ Rn＼｛P0｝，P0為 Rn中任一點，顯然?S＝｛P0｝.點集S的聚點集為 Rn，而?S為孤立點集，因此沒有聚點.